角接觸球軸承剛度計算與分析

王東峰，方斌，李慶榮，張進華

(1.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術重點實驗室，河南 洛陽 471039；3.滾動軸承產業技術創新戰略聯盟，河南 洛陽 471039；4. 西安交通大學 機械工程學院，西安 710049；5.西安市鐵路公安處，西安 710000)

符號說明

A——內、外溝曲率中心距

Dw——鋼球直徑

Dpw——球組節圓直徑

E——等效彈性模量

f——溝道曲率系數

Fc——鋼球離心力

Fx，Fy，Fz——外載荷在x，y，z方向的分量

Jw——鋼球轉動慣量

k0——橢圓率參數，接觸區長半軸與短半軸之比

K——鋼球與套圈的接觸剛度

K0——鋼球與套圈的Hertz接觸常數

K′——軸承剛度

l——受載前內外溝曲率中心的距離

m——鋼球質量

Mg——鋼球受到的陀螺力矩

My，Mz——外載荷在y，z軸的轉矩

n——軸承轉速

Q——鋼球與套圈的接觸載荷

R——溝道半徑

Rs——內溝道曲率中心軌跡的半徑

x——外溝曲率中心與球心的距離

Z——鋼球個數

α——接觸角

φ——鋼球的方位角

θ——鋼球的姿態角

φ——鋼球的位置角

λ——載荷分配系數

γy——y軸方向的內外圈相對角位移

γz——z軸方向的內外圈相對角位移

δ——鋼球與套圈的接觸變形

δx,δy,δz——x,y,z軸方向的內外圈相對位移

ω——內圈的旋轉角速度

ωw1——鋼球的自轉角速度

ωw2——鋼球的公轉角速度

Δ——球心與溝道曲率中心的距離

下標

a——軸向

r——徑向

e——外圈

i——內圈

k——第k個鋼球

隨著機床主軸特性向高速、高精度、高剛性的方向發展，主軸的動態性能在其設計過程中需加以考慮。角接觸球軸承作為機床主軸的核心零部件，其性能參數對主軸整體性能的影響至關重要。通過試驗確定主軸軸承性能參數的成本較高，有必要通過建立合適的數學模型，對機床主軸角接觸球軸承的特性進行仿真分析。

角接觸球軸承仿真計算作為典型的非線性問題引起了眾多的研究[1-7]，文獻[1]分析了溝道接觸應力和變形的關系，并建立平衡方程分析了球軸承在任意外載荷下的載荷分布；文獻[2]建立了完善的球軸承擬靜力學模型，并綜合考慮了離心力和陀螺力矩的作用，并結合溝道控制理論建立模型；文獻[3]建立了角接觸球軸承動態下剛度矩陣的5自由度求解模型；文獻[4]進一步介紹了動剛度矩陣的推導過程并將其應用于主軸模型。文中在上述研究的基礎上，對角接觸球軸承的剛度問題進行了研究。

1 軸承剛度計算

1.1 幾何關系分析

將軸承看成由內圈節點和外圈節點組成的單元，其中內圈節點相對于外圈節點有5個自由度，包括3個平動自由度和2個轉動自由度。

圖1 受載前后鋼球中心與溝曲率中心幾何位置關系

由圖1可知，動態條件下鋼球與內外圈接觸角的三角函數表達式為

(1)

Aak=lsinα+δx+γyRssinφk-γzRscosφk,

Ark=lcosα+δycosφk+δzsinφk,

l=Ri+Re-Dw=(fi+fe-1)Dw,

1.2 受力分析

1.2.1 鋼球受力分析

在建立鋼球的整體平衡方程之前，需要對鋼球進行受力分析。為了簡化分析過程，通常假設鋼球在一個套圈上作純滾動，而在另一個套圈上同時存在滾動和自旋運動，發生純滾動的套圈通常被稱為控制套圈，鋼球受力情況就可以分為內圈控制理論以及外圈控制理論。鋼球受力分析如圖2所示，對于外圈控制理論，可認為λik=0，λek=2，而對于內圈控制理論，則有λik=λek=1。

圖2 鋼球受力分析

由圖2可得，鋼球受力平衡方程為

(2)

根據Hertz接觸理論，鋼球與套圈的接觸載荷與變形關系為

(3)

1.2.2 溝道控制準則與姿態角確定

鋼球姿態角θ是鋼球旋轉軸與軸承軸向軸心線之間的夾角，其值與所使用溝道控制方式有關。內、外溝道控制理論的使用條件見表1[1]，其中E為第2類完全橢圓積分。

表1 溝道控制準則與鋼球姿態角的確定

1.2.3 整體平衡方程

假設外力作用在內圈上，則將所有鋼球與軸承內圈之間的作用力相疊加，可以得到軸承整體的受力平衡方程為

。(4)

Newton-Raphson法具有收斂速度快、通用性強等特點，故上述非線性方程組利用該方法進行求解。

1.3 軸承剛度計算

在上述角接觸球軸承擬靜力學模型的基礎上，可以使用以下2種方法求解軸承剛度。

1)根據鋼球與溝道的Hertz接觸剛度間接計算軸承整體剛度，接觸剛度為

(5)

式中：F為第1類橢圓積分；∑ρ為Hertz兩接觸體在接觸點處主平面內等效曲率和。

接觸剛度的軸向和徑向分量為

(6)

(7)

利用所有鋼球接觸剛度的串并聯便可得到軸承的剛度[7]，即

(8)

2)將軸承所受外力F=[Fx,Fy,Fz,My,Mz]T對軸承內圈相對于軸承外圈的相對位移向量δ=[δx,δy,δz,γy,γz]T求偏導，即可以得到軸承剛度矩陣[4]，其中對角線上的元素稱為軸承的主剛度，也是實際工程中最為常用的軸承剛度指標。

(9)

K中的任意元素Kij(i,j=1,2,3,4,5)通過文獻[4]求得。

方法1求解速率快，但高速時計算精度差，不能用于精確求解高速軸承剛度；方法2雖然求解效率一般，但求解精度高。故文中選用第2種方法進行求解。

2 計算結果及分析

2.1 靜剛度計算

以7008C軸承為例進行靜剛度計算，其結構參數見表2。

表2 軸承結構參數

對不同預緊力下的靜剛度求解并進行多項式擬合，可得軸承靜剛度隨預緊力的變化曲線如圖3所示。

圖3 軸向剛度-預緊力曲線

從圖3可以看出，軸承剛度隨預緊力的增大而增大，其剛度求解結果略小于理論值，相對誤差在5%以下，說明靜態剛度求解較為準確。同理可得，在中預緊下，軸承靜剛度隨徑向外載荷變化曲線如圖4所示，由圖可以看出，隨著徑向載荷增大，軸承的軸向剛度減小，而徑向剛度增大，且徑向剛度增大趨勢比軸向靜剛度減小趨勢更為明顯。

圖4 120 N預緊力下靜剛度-徑向載荷曲線

2.2 動剛度計算

7008C在輕中重預緊力下剛度-轉速及軸向位移-轉速曲線如圖5所示。

圖5 不同預緊力下軸承剛度、位移與轉速的關系

由圖5可知，軸承動剛度隨轉速的增大而減小，即出現了剛度軟化現象。軸承的軸向位移隨轉速增大也減小，這是因為隨著轉速的增大，內外圈在鋼球離心力的作用下有遠離的趨勢。此外軸向剛度和軸向位移兩者隨轉速的變化規律有一定的相似性。10 000 r/min下7008C軸承y，z方向上的徑向剛度隨外載荷的變化曲線如圖6所示，隨y方向上徑向載荷的增大，軸承y方向上的徑向剛度隨之增大，z方向上的徑向剛度減小。

圖6 y，z方向上的徑向剛度隨y方向徑向載荷的變化曲線(n=10 000 r/min)

計算結果表明，預緊力和轉速是軸承剛度最重要的2個影響因素，因此將三者放在一起研究，7008C軸承預緊力-轉速-剛度及軸承預緊力-轉速-軸向位移的擬合曲面關系如圖7所示，即可以通過其中任意2個參數來確定第3個參數。實際工作中往往通過工作剛度和工作轉速來確定所需要的初始預緊力，從而對特定工況下軸承初始預緊力的選擇給出一定的推薦數值。

圖7 軸承預緊力、轉速與剛度、軸向位移的關系圖

3 結論

1)所提出的軸承剛度計算方法是可行的。

2)軸承靜剛度隨著預緊力的增大而增大。

3)在相同預緊力作用下，隨著徑向載荷的增大，軸向靜剛度減小，而徑向靜剛度逐漸增大，且徑向靜剛度增大趨勢較軸向靜剛度減小趨勢更為明顯。

4)軸承動剛度隨著轉速的增大會發生剛度軟化現象，預緊力越大，軟化點越高，且其剛度的變化與軸向位移的變化具有相似性。