隨機生長四參數(shù)生成孔隙模型及其分形描述

朱維偉　姚約東　鄒　威　王德強

中國石油大學(xué)(北京)石油工程教育部重點實驗室,　北京　昌平　102249

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隨機生長四參數(shù)生成孔隙模型及其分形描述

朱維偉姚約東鄒威王德強

中國石油大學(xué)(北京)石油工程教育部重點實驗室,北京昌平102249

摘要：儲層孔隙是油氣儲存和運移的主要通道,孔隙結(jié)構(gòu)的研究在油氣田開發(fā)中占有十分重要的位置。通過隨機生長四參數(shù)算法,建立了21組不同孔隙度、相同概率生長方向和若干組相同孔隙度、具有優(yōu)勢生長方向的孔隙模型,定量計算了各個孔隙模型的分形盒維數(shù)及其多重分形譜,對比研究孔隙結(jié)構(gòu)與分形維數(shù)相關(guān)關(guān)系的結(jié)果表明孔隙介質(zhì)具有很好的分形性質(zhì),孔隙度與盒維數(shù)在雙對數(shù)表示下,具有高度線性相關(guān)性。多重分形譜特征參數(shù)?Δα?與孔隙度相對獨立,能夠反映孔隙結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)性,其值越大,說明孔隙結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)性越強。

關(guān)鍵詞：隨機生長四參數(shù)；孔隙度；分形；盒維數(shù)；多重分形

0前言

孔隙微觀結(jié)構(gòu)的研究對石油與天然氣開發(fā)有重要意義。常規(guī)的孔隙結(jié)構(gòu)研究主要有毛管壓力曲線法,核磁共振法,掃描電鏡法,CT掃描法和測井方法等[1-3],這些實驗或者現(xiàn)場測試方法一般耗時長,費用高,過程復(fù)雜。本文采用隨機生長四參數(shù)法建立孔隙模型,具有操作簡單、結(jié)果直觀、后續(xù)計算方便的優(yōu)勢。儲層孔隙被認(rèn)為是具有統(tǒng)計意義上的分形體,但通常是基于理論推導(dǎo),或二維圖像的計算,缺少三維儲層的分形計算。對于孔隙結(jié)構(gòu)與分形參數(shù)的相關(guān)關(guān)系,也討論甚少,對于局部孔隙結(jié)構(gòu)的表征,也是常規(guī)分形所不能表達(dá)的。本文基于單重和多重分形盒維數(shù)的計算方法,深入研究了孔隙結(jié)構(gòu)和分形維數(shù)的相關(guān)關(guān)系,并且利用多重分形進(jìn)行孔隙結(jié)構(gòu)非均質(zhì)性的表征。

1隨機生長四參數(shù)法建立孔隙模型

本文采用隨機生長四參數(shù)算法[4-5],進(jìn)行隨機孔隙結(jié)構(gòu)建模,建立由孔隙和固體顆粒兩相構(gòu)成的三維多孔介質(zhì)模型,其中孔隙為生長相,固體顆粒為非生長相,初始相全為固體顆粒。具體構(gòu)造步驟如下：

1)本文構(gòu)建立方體區(qū)域作為孔隙模型的生長區(qū)域。在構(gòu)造區(qū)域內(nèi)隨機分布孔隙節(jié)點生長核,其分布概率為pd,對于構(gòu)造區(qū)域內(nèi)每一個網(wǎng)格節(jié)點在[0,1]區(qū)間內(nèi)生成平均分布隨機數(shù),隨機數(shù)不大于pd的節(jié)點即為生長核。

2)對于初始隨機分布的孔隙節(jié)點進(jìn)行遍歷,將每個孔隙節(jié)點向三維空間進(jìn)行隨機生長。其生長方向涉及到26個方向,包括6個主方向,12個面對角方向,8個體對角方向。本文算法是對初始孔隙節(jié)點和生長之后的孔隙節(jié)點循環(huán)遍歷,不涉及到單獨節(jié)點連續(xù)生長的情況,因此為了生成各個方向生長均勻的孔隙模型,各個方向的生長概率ps均相同,以孔隙節(jié)點為生長原點,向26個方向上的非孔隙鄰點重新生成隨機數(shù),當(dāng)生成的隨機數(shù)小于ps時,該點生長為孔隙節(jié)點。

按照上述算法,得到的多孔介質(zhì)模型見圖1。

圖1　孔隙度為0.15的多孔介質(zhì)模型

2.1孔隙結(jié)構(gòu)及其分形維數(shù)

Mandelbrot提出的分形概念[6]已經(jīng)廣泛運用于多學(xué)科的理論研究和工程應(yīng)用[7-12]。分形體的根本性質(zhì)是自相似性,指局部和整體有某種相似的形,包括嚴(yán)格自相似和統(tǒng)計意義上的自相似兩種情況。長期以來,儲層孔隙被認(rèn)為是具有統(tǒng)計意義上的分形體[13-17],本文通過具體的三維孔隙結(jié)構(gòu)計算其分形維數(shù)進(jìn)行驗證,并且進(jìn)一步探討孔隙度和分形維數(shù)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

分形維數(shù)的定義中,由于盒計數(shù)維數(shù)求取方便,含義簡明直觀,容易理解,因此有較為廣泛的運用,在描述孔隙分形中,也通常采用盒計數(shù)維數(shù)進(jìn)行表征[18],其求取公式如下：

(1)

根據(jù)式(1)計算21組不同孔隙度模型相應(yīng)的盒維數(shù),結(jié)果表明隨機孔隙模型具有自相似性,各模型相關(guān)系數(shù)均高達(dá)0.99以上,不同孔隙度下的盒維數(shù)D相關(guān)關(guān)系曲線如圖2。

圖2　孔隙度與盒維數(shù)相關(guān)曲線

從圖2可以看出,隨著孔隙度的增加,孔隙模型的分形維數(shù)也隨之增大,其增長模式接近線形,擬合程度達(dá)到0.986,進(jìn)一步做出孔隙度對數(shù)值和分形維數(shù)對數(shù)值的相關(guān)曲線(圖3)。

圖3　孔隙度與盒維數(shù)雙對數(shù)相關(guān)曲線

由圖3擬合結(jié)果可以看出,孔隙度和盒維數(shù)的雙對數(shù)值成高度的線性相關(guān)性,相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.999,因此儲層孔隙分形維數(shù)對數(shù)值可以嚴(yán)格表征儲層的孔隙度大小。

2.2孔隙結(jié)構(gòu)的多重分形描述

孔隙結(jié)構(gòu)的盒維數(shù)只能反映出儲層孔隙分布的大致情況,不能對孔隙分布的局部信息進(jìn)行表達(dá),因此引入多重分形對孔隙分布的局部信息進(jìn)行描述[19-20]。

多重分形指一個分形集由若干個子集組成,不同的標(biāo)度情況下,各個子集的分形維數(shù)也不同。多重分形的盒維數(shù)計數(shù)方法就是在考慮盒子內(nèi)像素數(shù)的差別,歸一化后得到一個概率分布集,再用一個多重分形譜進(jìn)行描述。對于孔隙結(jié)構(gòu)的多重分形描述,其關(guān)鍵點在于定義孔隙系統(tǒng)的概率分布函數(shù)如式(2)：

(2)

χq(r)=∑Pi(r)q=r(q)

(3)

由式(4)、(5)得到多重分形譜線：

(4)

(5)

2.3多重分形譜的求取

以孔隙度分別為0.15,0.25四組孔隙模型為例,繪制lnχq(r)-ln r曲線(圖4)。

a)孔隙度=0.15

b)孔隙度=0.25圖4　不同孔隙度模型lnχq(r)-ln r曲線

從圖4可以發(fā)現(xiàn),lnχq(r)和ln r成很好的線性關(guān)系,說明所建立的孔隙模型滿足分形標(biāo)度不變性質(zhì),是多重分形體,可以求解其多重分形譜。出于計算穩(wěn)定性的要求,本文在尺度r=1/32下,計算各個孔隙模型的多重分形譜線,見圖5。

圖5　不同孔隙度多重分形譜線

圖5中紅色曲線為孔隙度為0.15的多重分形譜線,藍(lán)色曲線為孔隙度為0.35的多重分形譜線,可以看出孔隙度從0.15至0.35的所有模型多重分形譜線都在由紅藍(lán)線構(gòu)成的包絡(luò)線中,因此,不同孔隙度模型的多重分形譜線具有相似性。以包絡(luò)線為代表進(jìn)行具體分析,見表1。

表1不同孔隙度模型的多重分形參數(shù)比較

孔隙度?D㊣0?Δα㊣?Δf(α)㊣?f(α)㊣max0.151.621.0952.7452.9870.351.521.1732.0912.998

2.4非均質(zhì)孔隙及其分形描述

由于天然沉積、地質(zhì)構(gòu)造等作用,天然的儲層孔隙結(jié)構(gòu)顯然與本文所建立的隨機孔隙結(jié)構(gòu)有明顯不同,孔隙的生長在各個方向并不是等概率生長,本文建立了孔隙度為0.25,存在優(yōu)勢生長方向的非均質(zhì)孔隙模型。通過提高優(yōu)勢生長方向的生長概率來實現(xiàn)優(yōu)勢生長,其優(yōu)勢方向,沿某一方向或沿某一平面生長,共建立非均質(zhì)模型5個,與等概率隨機生長模型對比,結(jié)果見表2。

表2存在優(yōu)勢生長方向的隨機孔隙模型分形參數(shù)對比

模型孔隙度盒維數(shù)?Δα㊣等概率0.252.87871.140219優(yōu)勢生長10.252.87101.160101優(yōu)勢生長20.252.87561.152628優(yōu)勢生長30.252.87301.142911優(yōu)勢生長40.252.87861.143530優(yōu)勢生長50.252.87571.150965

從表2可以看出,存在優(yōu)勢方向的非均質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu),其盒維數(shù)均小于等概率生長的隨機孔隙模型,這是由于存在優(yōu)勢方向,即孔隙生長會更有向優(yōu)勢方向生長的趨勢,從而減弱了整體占滿整個構(gòu)造空間的趨勢,因此盒維數(shù)會有所有下降。由于盒維數(shù)與孔隙度有很強的相關(guān)性,因此盒維數(shù)并不能獨立反映出孔隙結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)性,然而Δα的值相對于孔隙度是獨立的,能夠獨立反映出孔隙結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)性,從表2可以看出,非均質(zhì)的孔隙結(jié)構(gòu)的Δα值更大。

3結(jié)論

1)孔隙結(jié)構(gòu)是分形體,能夠用分形理論進(jìn)行研究,孔隙結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)與孔隙度成較好的線性關(guān)系,在雙對數(shù)坐標(biāo)下,兩者有相當(dāng)高的線性相關(guān)性,相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.999以上。

2)分形盒維數(shù)與孔隙度關(guān)聯(lián)性大,但只能反映孔隙結(jié)構(gòu)的總體狀況,不能反映局部分布結(jié)構(gòu)和非均質(zhì)性。

3)孔隙結(jié)構(gòu)具備多重分形的標(biāo)度不變性質(zhì),是多重分形體,其特征參數(shù)Δα與孔隙度相互獨立,能夠有效描述孔隙結(jié)構(gòu)的局部信息和非均質(zhì)性,其值越大,則表示孔隙結(jié)構(gòu)非均質(zhì)性越強。

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收稿日期：2015-12-29

基金項目：國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)(2015 CB 250900)；新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃(NCET-13-1030)

作者簡介：朱維偉(1993-),男,江蘇南京人,碩士研究生,主要從事油氣田開發(fā)研究工作。

DOI:10.3969/j.issn.1006-5539.2016.03.013