線性平散時變系統(tǒng)可靠鎮(zhèn)定

甘乃峰　谷曉沛鞍山師范學院　（鞍山114007）

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線性平散時變系統(tǒng)可靠鎮(zhèn)定

甘乃峰谷曉沛
鞍山師范學院（鞍山114007）

摘要研究了套代數(shù)框架下線性離散時變系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制器的分解，它是從另一個角度研究可靠鎮(zhèn)定問題，并給出了兩個控制器同時鎮(zhèn)定系統(tǒng)以及一個鎮(zhèn)定控制器分解成兩個鎮(zhèn)定控制器的結果，上述結果中控制器的設計依賴于唯一參數(shù)的選取。

關鍵詞套代數(shù)；線性離散時變系統(tǒng)；控制器分解中圖分類號：O1-0

文獻標識碼：A

文章編號：1003-3319（2016）01-00032-02

控制系統(tǒng)的可靠鎮(zhèn)定考慮的是設計多個控制器同時鎮(zhèn)定系統(tǒng)，當其中部分控制器失效時，剩余控制器仍舊控制系統(tǒng)，它是多重系統(tǒng)同時鎮(zhèn)定的對偶問題.文［1，2］首先提出可靠鎮(zhèn)定問題，并從數(shù)學框架角度出發(fā)用較少的控制器實現(xiàn)系統(tǒng)的可靠鎮(zhèn)定。

本文主要研究了在套代數(shù)框架下平散時變系統(tǒng)的可靠鎮(zhèn)定問題，即給定平散時變系統(tǒng)和一個鎮(zhèn)定控制器情況，設計另一個控制器，使得它們一起鎮(zhèn)定系統(tǒng)，以及一個鎮(zhèn)定控制器分解方法。

1　套代數(shù)相關理論

定義2.1［3］：如果N是一個完備套，是它的對應的投影族，

是一個與P對應的套代數(shù)。其中B（H）是H中所有有界線性算子構成的代數(shù)。再令，那么也是空間上的一個完備套，與其對應的套代數(shù)為

值得注意的是，在標準正交基下，套代數(shù)中的元素的矩陣表示是一個下三角型矩陣。

關聯(lián)性是具有現(xiàn)實意義，即未來的輸入不可能對現(xiàn)時的輸出結果產生影響。

定義2.3［3］：He空間上，按預解拓撲連續(xù)的關聯(lián)線性變換稱為線性系統(tǒng)。

將He上所有線性系統(tǒng)構成的集合記為L（H）。

2　控制器的設計與分解

引理3.1［3］如果B（H）f∈和，那么f是可逆的。

下面給出文［3］中介紹的反饋系統(tǒng)是鎮(zhèn)定的充要條件的對偶形式。

推論3.2［3］如果系統(tǒng)L（H）L∈具有左互素分解和控制器K具有右互素分解，則是穩(wěn)定的充要條件在S中可逆。

設

已知鎮(zhèn)定系統(tǒng)L，則

由雙Bezout恒等式可得

帶入上式整理得

因此，

選擇Q1使得，只要，就有

由引理3.1得MM+NN 在S中可逆，由推論3.2得K2鎮(zhèn)定系統(tǒng)L。由此可知，當K1鎮(zhèn)定系統(tǒng)L時，則存在控制器K2也鎮(zhèn)定系統(tǒng)L，并且K1+ K2鎮(zhèn)定系統(tǒng)L。證畢

控制器的分解是從另外的一個角度考慮可靠鎮(zhèn)定問題，即給定鎮(zhèn)定對象L∈L（H）和控制器K，如何分解K=K1+ K2，使得K1及K2單獨作用時均能有效地鎮(zhèn)定系統(tǒng)L。

定理3.4：鎮(zhèn)定系統(tǒng)L∈L（H）的控制器K=（Y-QN?）-1（X+QM?），Q∈S在滿足條件

（I +MY-MQN?）-1∈S 的條件下可分解為

K=K1+ K2且K1，K2分別鎮(zhèn)定系統(tǒng)L。

證明：設可鎮(zhèn)定系統(tǒng)L的左右互素分解分別為L =M?-1N?=NM-1，其中M，N，M?，N?∈S。則鎮(zhèn)定系統(tǒng)L的所有控制器為：

參數(shù)稍作變化，不妨設

其中A，B∈S，待定。考慮

參考文獻

［1］D. D. Siljak. On reliability of control［C］. In Proc. 17th IEEE Conf. Decision Control，1978，687-694.

［2］D. D. Siljak. Reliable control using multiple control systems［J］. Int. J. Contol，1980，31（2）：303-309.

［3］Vidyasagar M and N Viswanadham. Reliable stabilization using a multi-controller configuration. Automatica. 1985，21（5）：599-602.

［4］陳祥杰，王詩宓，方崇智.控制系統(tǒng)的可靠鎮(zhèn)定［C］.中國控制會議論文集，太原，1985，90-95.

［5］T.Q.Yu，The transitivity in simultaneous stabilization［J］. Systems Control Letters. 2011，60（1）：1-6.

（責任編輯：文婷）