參數(shù)不確定系統(tǒng)基于輸出反饋的H∞控制和二次穩(wěn)定性研究

劉世勛　呂明珠中認(rèn)（沈陽）北方實(shí)驗(yàn)室有限公司　（沈陽110141）遼寧裝備制造職業(yè)技術(shù)學(xué)院　（沈陽110034）

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參數(shù)不確定系統(tǒng)基于輸出反饋的H∞控制和二次穩(wěn)定性研究

劉世勛呂明珠
中認(rèn)（沈陽）北方實(shí)驗(yàn)室有限公司（沈陽110141）遼寧裝備制造職業(yè)技術(shù)學(xué)院（沈陽110034）

摘要針對(duì)線性系統(tǒng)的時(shí)變范數(shù)邊界參數(shù)不確定問題和外部干擾問題進(jìn)行了研究，設(shè)計(jì)了能使閉環(huán)控制系統(tǒng)二次穩(wěn)定的線性動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，并對(duì)于所有的允許不確定參數(shù)達(dá)到了規(guī)定程度的擾動(dòng)衰減，獲得了上述問題與標(biāo)定H∞控制問題的等效性，仿真結(jié)果表明，所提出的控制器的設(shè)計(jì)方法與原有方法相比對(duì)不確定參數(shù)具有更好的魯棒性。

關(guān)鍵詞參數(shù)不確定；H∞控制；二次穩(wěn)定；線性動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器；擾動(dòng)衰減中圖分類號(hào)：O231.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-3319（2016）01-00032-02

眾所周知，H∞控制與許多魯棒問題聯(lián)系緊密，如靈敏度最小化和不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。然而，當(dāng)配置不確定參數(shù)時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)H∞控制理論很難保證系統(tǒng)的H∞性能以及穩(wěn)定性。迄今為止，時(shí)變參數(shù)不確定系統(tǒng)的H∞控制器的設(shè)計(jì)問題很少有學(xué)者關(guān)注。參數(shù)不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題是控制領(lǐng)域中最為重要的研究方向之一，目前二次穩(wěn)定性理論是處理線性時(shí)變參數(shù)不確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的最為有效的方法。所謂二次穩(wěn)定性是指存在一個(gè)反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)于固定的Lyapunov函數(shù)是穩(wěn)定的。雖然現(xiàn)有的二次穩(wěn)定性研究結(jié)果很豐富，但是在系統(tǒng)某些性能方面很難保證，如擾動(dòng)衰減問題等。為了進(jìn)一步建立H∞控制問題和魯棒穩(wěn)定之間的關(guān)系，本文研究的系統(tǒng)既受控于時(shí)變不確定參數(shù)，又受控于擾動(dòng)輸入，處理問題的方法就是建立一個(gè)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的且可達(dá)到指定程度的擾動(dòng)衰減。

本文的主要成果在于建立了參數(shù)不確定系統(tǒng)的魯棒H∞問題和標(biāo)定H∞控制問題之間的聯(lián)系。因而，我們可以利用現(xiàn)有的H∞控制方法來解決魯棒H∞控制問題。而基于輸出反饋的二次穩(wěn)定性問題作為一種特殊情況也可以等效于標(biāo)定H∞控制問題，該方法也可以推廣到更為廣義的不確定參數(shù)系統(tǒng)中去。

1　問題的描述

考慮如下參數(shù)不確定系統(tǒng)

這里的所指的參數(shù)不確定矩陣式有界的，并具有如下形式：

這里，F(xiàn)（）?是勒貝格可測(cè)函數(shù)，σ＞0是給定常數(shù)。我們的目的是要對(duì)于（1.1）描述的系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)線性動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，使得其閉環(huán)系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的而且對(duì)于所有滿足（1.3）的不確定參數(shù)具有H∞干擾抑制作用。

考慮如下系統(tǒng)：

定義1.1［1］：對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)值γ＞0，如果能夠滿足如下的條件

1）A是一個(gè)穩(wěn)定矩陣

則系統(tǒng)（1.4）是穩(wěn)定的。

引理1.1［2］：對(duì)于一個(gè)給定γ＞0，系統(tǒng)（1.4）時(shí)穩(wěn)定并擾動(dòng)衰減的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱矩陣使得

當(dāng)系統(tǒng)（1.4）中包含不確定參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)方程變?yōu)?/p>

定義1.2［3］：如果存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P使得所有允許的不確定參數(shù)ΔA（ t）滿足

則系統(tǒng)（1.6）是二次穩(wěn)定的。

同理，如果存在一個(gè)線性動(dòng)態(tài)輸出反饋補(bǔ)償器K（s）使得u=K（s）y 下的閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)二次穩(wěn)定的，則稱不確定系統(tǒng)（1.1）是在基于線性動(dòng)態(tài)輸出反饋下二次穩(wěn)定的。

為了保證系統(tǒng)（1.6）的H∞特性，我們沿用了二次穩(wěn)定性的定義，并得得到了帶有擾動(dòng)衰減的二次穩(wěn)定性的定義。

定義1.3［4］：對(duì)于一個(gè)給定γ＞0，如果存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣P使得對(duì)于所有允許的ΔA（）?滿足

則稱系統(tǒng)（1.6）是帶有擾動(dòng)衰減的二次穩(wěn)定。

引理1.2［5］：設(shè)系統(tǒng)（1.6）是帶有擾動(dòng)衰減的二次穩(wěn)定（γ＞0）則系統(tǒng)不僅是二次穩(wěn)定的且對(duì)于零初始條件下的有

說明1.2：帶有擾動(dòng)衰減的二次穩(wěn)定性的定義是二次穩(wěn)定到H∞特性的擴(kuò)展，而且由于（1.8）中也存在不變矩陣P的要求，使得該定義也存在保守性。但是，該定義將二次穩(wěn)定和擾動(dòng)衰減聯(lián)系起來，為我們提供了一個(gè)處理參數(shù)不確定和擾動(dòng)輸入的可行方法。

2　研究結(jié)果

為了便于建立魯棒H∞和標(biāo)定H∞控制問題的等效性，我們引入如下一個(gè)系統(tǒng)：

下面，我們要建立一個(gè)關(guān)鍵性的引理。

引理2.1：對(duì)于給定常數(shù)γ＞0，若存在一個(gè)矩陣P＞0使得

對(duì)于所有滿足（1.3）的F（t）成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε0＞使得

證明：充分性。對(duì)于任意ε0＞，有必要性。假設(shè)存在一個(gè)矩陣P＞0，滿足

可見，存在一個(gè)常數(shù)ε＞0使得

成立。

推論2.1：對(duì)于給定常數(shù)γ＞0，（1.1）的自然系統(tǒng)（u（t）≡0）是帶擾動(dòng)衰減二次穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)標(biāo)定參數(shù)ε0＞使得（2.1）的自然系統(tǒng)（u（t）≡0）是一致擾動(dòng)衰減穩(wěn)定的。

定理2.1：令γ＞0是一個(gè)描述衰減程度的數(shù)值，K（s）代表一個(gè)給定的線性動(dòng)態(tài)控制器，則系統(tǒng)（1.1）是基于輸出反饋控制器K（s）帶有擾動(dòng)衰減二次穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε0＞使得（2.1）的閉環(huán)系統(tǒng)和K（s）是一致擾動(dòng)衰減穩(wěn)定的。

證明：設(shè)K（s）是下面的狀態(tài)空間描述：

其中，

同樣，系統(tǒng)（2.1）帶有控制器（2.4）的狀態(tài)空間方程為

說明2.1：定理2.1建立了系統(tǒng)（1.1）的魯棒H∞控制問題和系統(tǒng)（2.1）的標(biāo)定H∞控制問題的等效性。因此，H∞魯棒控制問題可以通過現(xiàn)有的H∞控制理論得到解決。此外，定理2.1也允許參數(shù)化所有的線性動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器來解決魯棒H∞控制問題。

下面，我們來討論系統(tǒng)（1.1）基于線性動(dòng)態(tài)輸出反饋的二次穩(wěn)定性問題。

與魯棒H∞控制問題相似，系統(tǒng)（1.1）的二次穩(wěn)定性可以等效為如下系統(tǒng)的H∞控制問題：

定理2.2：系統(tǒng)（1.1）基于一個(gè)給定線性動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器K（ s）二次穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)（2.7）的閉環(huán)系統(tǒng)和是以擾動(dòng)衰減穩(wěn)定的。

說明2.2：從定理2.2可以看出，H∞控制理論也可以推廣到基于線性動(dòng)態(tài)輸出反饋的二次穩(wěn)定性問題。此外，定理2.2也允許參數(shù)化所有的線性動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器來解決系統(tǒng)（1.1）二次穩(wěn)定性問題。

3　仿真實(shí)例

考慮如下含有擾動(dòng)參數(shù)d的不確定系統(tǒng)：

對(duì)于如上系統(tǒng)，當(dāng)不確定參數(shù)d的最大攝動(dòng)值為12.65時(shí)，由定理2.1，設(shè)輸出反饋控制器為

當(dāng)不確定參數(shù)d在［0，12.65］范圍內(nèi)攝動(dòng)時(shí)，該參數(shù)不確定系統(tǒng)在上述控制器K的作用下魯棒穩(wěn)定。此外，由文獻(xiàn)［6］給出的魯棒穩(wěn)定控制條件在0≤d≤11.62時(shí)有可行解，但當(dāng)d=12.65時(shí)沒有可行解存在，這說明本文給出的控制器設(shè)計(jì)較文獻(xiàn)［6］具有更低的保守性。

下面借用文獻(xiàn)［9］給出的不確定系統(tǒng)穩(wěn)定指標(biāo)，定義泛函ρ（d）作為不確定系統(tǒng)穩(wěn)定的度量指標(biāo)，其值為通過輸出反饋后得到的閉環(huán)系統(tǒng)中所有特征值實(shí)部的最大值，圖1分別給出了按照不同方法得到的ρ（d）值，其中，曲線1代表基于標(biāo)準(zhǔn)二次穩(wěn)定理論，曲線2代表本文定理2.1的數(shù)值結(jié)果。

圖1　兩種方法得到的ρ（d）值對(duì)比

由圖1可知，采用標(biāo)準(zhǔn)二次穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)在不確定參數(shù)d變化到4以后時(shí)失穩(wěn)；而本文方法對(duì)于不確定參數(shù)d在［0，12.65］范圍內(nèi)變化時(shí)均有嚴(yán)格可行解存在。

4　結(jié)論

本文提出了時(shí)變參數(shù)不確定系統(tǒng)的線性動(dòng)態(tài)輸出H∞控制問題，根據(jù)帶擾動(dòng)衰減的二次穩(wěn)定性的定義，解決了基于線性動(dòng)態(tài)輸出反饋的魯棒H∞控制問題和二次穩(wěn)定性問題，并用已有結(jié)果作為本文的實(shí)例，可較好的改善原有結(jié)果的保守性。仿真結(jié)果表明，本文方法對(duì)于不確定參數(shù)系統(tǒng)具有更好的魯棒性。

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（責(zé)任編輯：興安）

基金項(xiàng)目：2015年遼寧裝備制造職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用性專項(xiàng)研究課題“新型傳感器的電磁兼容在線測(cè)試及優(yōu)化設(shè)計(jì)研究”（2015YYYJ-4）