考慮波紋度和不平衡力的薄壁軸承-轉子系統非線性分析

康鋒，張耀強，楊茹萍，牛青波

(1. 河南科技大學 土木工程學院，河南 洛陽 471003；2. 洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039)

薄壁軸承因輕量化等特點,在機器人手臂關節、航空發動機等結構中廣泛應用。在軸承加工制造過程中，由于加工工藝等原因，滾道表面不可避免會產生波紋度，在長期磨損后也會出現質量偏心，從而產生不平衡力，引起強迫振動。在軸承-轉子系統中，由于這些非線性激勵源的存在，會引起諸多用線性理論難以解釋的動力學現象和一些不可預測的破壞后果[1]。近年來，眾多學者開始用非線性動力學理論來分析這些現象。文獻[2]考慮了波紋度等非線性因素對滾子軸承-轉子系統的影響，其研究表明波紋度引起的振動頻率會使系統產生強烈的振動。文獻[3]研究了帶有波紋度和不平衡轉子的高速球軸承的非線性動力學特性，由于不平衡轉子和滾動體波紋度的作用，振動頻譜圖的最大振幅出現在波通過頻率、旋轉頻率及組合頻率處。文獻[4]提出了一種在考慮滾動零件波紋度、離心力和陀螺力矩的影響下計算球軸承特性的方法，分析表明由于波紋度的影響，軸承振動頻率成分發生了變化。文獻[5]在考慮非線性因素和不平衡力的基礎上建立動力學方程，對滾動軸承-轉子系統進行了分析，結果表明增大不平衡力，強迫振動會增強，并誘發系統產生混沌振動。文獻[6-7]所做的研究僅考慮了強迫振動，沒有涉及軸承內外圈波紋度等相關參數。以上研究均未充分考慮內外圈波紋度和強迫振動等因素，且關于薄壁軸承的研究較少。

現以薄壁軸承-轉子系統為研究對象，在綜合考慮內外圈波紋度、彈性恢復力、變柔度等非線性因素和不平衡力的基礎上，建立軸承-轉子系統非線性動力學方程，采用RK4算法求解，結合分叉圖、Poincaré映射圖和頻譜圖對薄壁軸承-轉子系統的混沌、分岔及振動響應頻率等非線性動力學特性進行分析。

1 薄壁軸承-轉子系統的動力學分析模型

薄壁軸承-轉子系統可以簡化為一個剛性平衡轉子兩端由2個相同的薄壁軸承的對稱支承。薄壁軸承-轉子系統動力學模型如圖1所示，假設只承受徑向載荷[8]，其內外圈分別與轉軸、機架剛性接觸，滾動體均勻分布在保持架當中做純滾動[9]，內外滾道表面具有正弦波的波紋度[10]，設表面波紋度“凸出”為正，“凹進”為負[11]，不計潤滑作用，O,Oe分別為轉子的形心和質心，e為轉子質心的偏移量。薄壁軸承-轉子系統內部關系示意圖如圖2所示，A為波紋度最大幅值，p為波紋度幅值，Fe為質量偏心引起的不平衡力，ω為轉速，φj為第j個滾動體在t時刻的角位置。

圖1 薄壁軸承-轉子系統動力學模型

圖2 薄壁軸承-轉子系統內部關系示意圖

1.1 薄壁軸承內外圈波紋度

在t時刻，與第j個滾動體接觸的內外滾道表面波紋度幅值pij和pej為

j=1，2，3…Z，

(1)

式中：Nw為波紋度波數；β為波紋度初始相位角，(°)；Z為滾動體個數；ω0,ω1分別為保持架、內圈的角速度，r/min；D為滾道直徑，mm；下標i，e分別表示軸承內、外圈。

1.2 彈性恢復力

根據Hertz接觸理論可知，第j個滾動體與內外滾道接觸的局部彈性恢復力Fj與彈性接觸變形量uj的關系為

(2)

uj=[(xcosφj+ysinφj)cosα-Gr+pij-pej]+，

式中：Kb為系統總接觸剛度，N/m1.5；τ=3/2；x,y分別為內圈中心在豎直和水平方向上的位移，mm；α為接觸角；Gr為徑向游隙，μm；下標“+”表示如果括號內的值為負或0，取uj=0。

在薄壁軸承-轉子系統中，彈性恢復力F為所有局部彈性恢復力Fj之和，即

(3)

1.3 薄壁軸承-轉子系統的非線性振動微分方程

根據Lagrange方程，薄壁軸承-轉子系統的非線性振動微分方程為

(4)

式中：M為轉子系統內圈、轉子和滾動體的總質量，kg；C為軸承運轉時的等效阻尼系數，N·s/m；Fr為施加在轉子上的恒定垂直力，N。

軸承在運轉過程中，其轉子的振動為變柔度振動；轉子質量偏心也會引起系統發生強迫振動；滾動體每次通過內圈波紋度波峰時，系統會產生波通過振動WPV(Wave Passage Vibration)[12]。這些振動頻率對系統的非線性動力學特性都會有影響，但影響程度會隨著工況條件的改變而改變。變柔度振動頻率fvc、強迫振動頻率ffv、波通過振動頻率fwpv分別為

(5)

變柔度振動頻率fvc與強迫振動頻率ffv的關系為

fvc=ffvBN，

(6)

式中：BN為與薄壁軸承相關的系數，其值取決于軸承尺寸。

2 系統非線性動力學特性分析

以某機器人薄壁軸承單元為例，利用MATLAB對薄壁軸承-轉子系統進行動態數值仿真分析。薄壁軸承-轉子系統的主要參數：M=6.0 kg，Fr=10 N，C=220 N·s/m[11]，Z=42，Di=213.808 mm，De=236.284 mm，α=0°，Gr=10 μm。

波紋度和不平衡力是影響系統非線性特性的重要因素。由于滾動軸承-轉子系統振動微分方程的強非線性特性，采用RK4算法進行求解，積分步長取一個激勵周期的1/300，計算結果有選擇性的采用分叉圖、Poincaré映射圖或頻譜圖分析系統的非線性動力學特性。

2.1 僅考慮外圈波紋度和不平衡力的非線性分析

為便于分析，參考文獻[13-14]，取Ai=0 μm，Ae=1 μm，不平衡力Fe=0.05Fr，x方向位移隨轉速變化的分叉圖和不同轉速下x方向的Poincaré映射圖分別如圖3和圖4所示。

圖3 x方向位移隨轉速變化的分叉圖(Fe=0.05Fr)

由圖可以看出：在轉速nrotor=820～960 r/min時，系統呈4周期振動;在nrotor=970～1 420 r/min時，系統呈2周期振動;在nrotor=630～810 r/min和1 430～2 010 r/min時，系統處于混沌狀態;在nrotor=3 070～4 450 r/min時，系統呈擬周期振動。

其他參數不變，取不平衡力Fe=0.25Fr。x方向位移隨轉速變化的分叉圖如圖5所示，由圖可知，系統響應混沌區由2個增加到3個，分別為轉速nrotor=520～860 r/min，nrotor=1 430～ 2 520 r/min和nrotor=3 150～3 990 r/min。由此可見，增大不平衡力會使系統混沌區增大。

圖5 x方向位移隨轉速變化的分叉圖(Fe=0.25Fr)

2.2 僅考慮內圈波紋度和不平衡力的非線性分析

取內圈波紋度最大幅值Ai=1 μm，Ae=0 μm，不平衡力Fe=0.05Fr。nrotor=740,2 050,3 680 r/min時的振動響應的振幅頻譜圖分別如圖6所示。

圖6 振幅頻譜圖(Ai=1 μm,Ae=0 μm)

由圖可知,系統在nrotor=740 r/min時，豎直x方向主要是波通過振動頻率fwpv分量，水平y方向主要是強迫振動頻率ffv倍頻分量，y方向比x方向振動復雜。當nrotor=2 050 r/min時，x方向fwpv分量減少，ffv出現，y方向僅有1倍、2倍ffv分量。在nrotor= 3 680 r/min時，x方向ffv分量明顯增大，fwpv減小，y方向只有1倍ffv。由此可見，隨轉速增大，強迫振動頻率在系統振動響應中逐漸增強。

其他參數不變，取不平衡力Fe=0.25Fr。以系統非線性動力學特性最顯著的轉速為例分析，nrotor=3 680 r/min時的振動響應的振幅頻譜圖如圖7所示。

圖7 轉速nrotor=3 680 r/min的振幅頻譜圖

由圖6和圖7可知，增大不平衡力，x方向振動頻譜圖變為一連續的寬頻譜，頻率成分復雜，y方向出現新的峰值頻率，即波通過頻率分頻分量。同時x,y方向最大振幅也增大。x,y方向最大振幅隨不平衡力的變化趨勢如圖8所示，由圖可知，系統y方向最大振幅大于x方向，并隨不平衡力的增大呈波浪式遞增。由此可見，增大不平衡力，系統的振動響應頻率變得復雜，最大振幅呈波浪式遞增。

圖8 x,y方向最大振幅隨不平衡力的變化

2.3 考慮內外圈波紋度和不平衡力的非線性分析

取軸承內外圈波紋度最大幅值Ai=Ae=1 μm，不平衡力為Fe=0.05Fr和Fe=0.25Fr時，轉速nrotor=3 680 r/min時的振動響應的振幅頻譜圖如圖9所示。

圖9 振幅頻譜圖(Ai=Ae=1 μm)

由圖可知，x方向的振動響應比y方向復雜，其響應有強迫振動頻率、波通過振動頻率和變柔度振動頻率。不平衡力較大時，系統振動會出現變柔度振動頻率與強迫振動頻率的組合頻率及波通過振動頻率與強迫振動頻率的組合頻率。不平衡力增大會使系統的振動頻率組成更加復雜，同時振幅也會增大。由此可見，不平衡力增大會使系統的振動響應頻率變得復雜，其對水平y方向的振動影響要大于豎直x方向。

3 結束語

通過文中建立的模型來分析不平衡力和轉速對薄壁軸承-轉子系統非線性動力學特性的影響。結果表明：增大不平衡力會使系統的混沌振動范圍增大；隨轉速增加，強迫振動頻率在系統振動響應中逐漸占據主要地位；不平衡力對系統水平方向振動的影響要遠大于豎直方向。