基于多目標遺傳算法的貝塞爾超聲變幅桿優化設計方法研究

紀華偉　趙雙雙　胡小平

杭州電子科技大學，杭州，310018

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基于多目標遺傳算法的貝塞爾超聲變幅桿優化設計方法研究

紀華偉趙雙雙胡小平

杭州電子科技大學，杭州，310018

摘要：為設計滿足蜂窩復合材料加工要求的高性能超聲變幅桿，提出了一種基于多目標遺傳算法的超聲變幅桿優化設計方法。以變幅桿的結構參數為設計變量，以諧振頻率和放大系數為優化設計目標，建立了貝塞爾超聲變幅桿的數學優化模型。通過在遺傳算法中調用ANSYS仿真軟件，對變幅桿進行了建模和動力學分析，獲得了計算目標函數所需的參數，采用多目標遺傳算法求出了Pareto最優解集，在所求出的Pareto最優解集中選擇了一組最符合設計要求的解作為超聲變幅桿的設計參數。為驗證設計的有效性，對所設計的變幅桿進行了性能測試并對蜂窩復合材料進行了試切實驗。實驗結果表明：通過該優化設計方法得到的變幅桿放大倍數為7.66，較優化設計前提高了29%，且工作頻率更接近于設計頻率。通過仿真分析和性能實驗，驗證了該方法的有效性和可靠性，試切實驗結果表明所設計的變幅桿滿足加工要求，工藝效果好。

關鍵詞：貝塞爾超聲變幅桿；多目標優化；遺傳算法；蜂窩復合材料

0引言

蜂窩復合材料具有高比強度和高比剛度等優點，在航空航天領域得到了越來越廣泛的應用，并不斷向新領域擴展。傳統方法在加工蜂窩復合材料的過程中，存在加工零件表面質量差、尺寸精度低和加工粉塵大等問題。超聲切割加工作為加工蜂窩復合材料的一種較好的方法，有著廣泛的應用前景[1-2]。超聲切割加工裝置主要由超聲電源、換能器、變幅桿和工具頭組成。從超聲電源發出的超聲頻電振蕩信號由換能器轉換為超聲頻機械振動后傳遞到變幅桿，再由變幅桿將振幅放大后傳到工具上，工具與蜂窩材料之間發生間斷性沖擊與分離，使材料發生分離。超聲變幅桿的主要作用，一是將機械振動位移或速度放大，把能量集中在較小的輻射面上進行聚能；二是作為機械阻抗的變換器，在換能器和聲負載之間進行阻抗匹配，使超聲能量由換能器更有效地向負載傳輸[3]。蜂窩復合材料的超聲切割加工系統不同于一般的超聲輔助加工系統，為達到蜂窩復合材料沖擊分離的目的，并保證零件的加工質量和效率，工具端部的振幅要達到10～50 μm，而一般的超聲換能器的輸出振幅為2～10 μm，因此，需要采用具有較大變幅能力的變幅桿以獲得滿足工程需要的振幅。

目前，對指數形、圓錐形以及階梯形等簡單形狀變幅桿的設計、優化和仿真分析的研究較多，且優化目標較為單一[4-8]。對于蜂窩復合材料的加工，需要較大的放大系數和穩定的工作頻率，簡單形狀的變幅桿無法較好地滿足加工需求。指數形和圓錐形變幅桿的放大系數較小，工具端部振幅達不到加工要求；階梯形變幅桿雖然放大系數較大，但它在截面突變處會產生應力集中，導致工作過程中截面突變處溫度較高，不適合長期工作。貝塞爾曲線形超聲變幅桿與圓錐形和指數形變幅桿相比，放大系數較大，與階梯形變幅桿相比，不會出現應力集中現象，應力分布較均勻。但是，由于貝塞爾曲線形變幅桿形狀復雜，有多個結構參數，每個參數都會對其性能產生影響，如何統籌兼顧各個參數，使之達到最佳的工作性能，是這種變幅桿設計的關鍵。目前，對貝塞爾曲線形超聲變幅桿的設計以經驗設計、仿真分析和反復修正為主，設計效率低，設計精度差。

本文以貝塞爾曲線形變幅桿為對象，研究基于多目標遺傳算法的變幅桿的優化設計方法及其關鍵技術。首先，以變幅桿的結構參數為設計變量，以諧振頻率和放大系數為優化設計目標，建立超聲變幅桿的數學優化模型，進而利用NSGA-Ⅱ多目標遺傳算法對變幅桿進行優化設計，最后，對所設計的變幅桿進行性能測試以及對蜂窩復合材料進行試切實驗，以驗證優化方法的正確性。

1變幅桿的參數化建模與動力學分析

在工程應用中，由于多目標優化問題的復雜性，目標函數所需參數往往很難通過數學計算得到，必須借助于有限元計算程序。ANSYS自帶的APDL是一種可通過參數化變量方式建立分析模型并可自動完成有限元分析的腳本語言，是完成優化設計的基礎。因此，本研究采用APDL和命令流相結合的方法，建立了貝塞爾曲線形變幅桿有限元參數化模型，在此基礎上利用ANSYS對模型進行動力學分析(包括模態分析和諧響應分析)，并提取影響變幅桿聲學性能的諧振頻率和放大系數作為優化目標。

以三次貝塞爾曲線作為超聲變幅桿的母線形狀，如圖1所示，P0、P1、P2、P34個控制點在平面中定義了三次貝塞爾曲線，(X，Y)為控制點坐標。根據工程中所用換能器的輻射面面積和工具頭的大小，確定變幅桿的大小端半徑R和r，依據半波長理論確定變幅桿長度L。

圖1　三次貝塞爾曲線及參數

經過理論計算和分析，貝塞爾曲線形變幅桿的相關結構參數和初值如表1所示。

表1　各結構參數及其初值　mm

基本參數確定后，建立變幅桿有限元模型，對變幅桿進行模態分析和諧響應分析，得到變幅桿的縱振頻率和振型，從而了解變幅桿的振動特性。諧響應分析用于確定變幅桿在承受隨時間按正弦規律變化的載荷時的穩態響應，以獲得變幅桿振幅放大系數。由分析結果可知，變幅桿諧振頻率為21.671kHz，與系統工作頻率20kHz偏差較大，放大系數為5.93，需進行優化設計以滿足加工要求。

2優化模型的建立

2.1設計變量

在優化過程中，R、r和L作為已知量，P0和P3固定，P1和P2在圖1所示的虛線框中運動，由于這兩點的位置直接決定曲線的形狀，進而影響超聲變幅桿的聲學性能，因此，將P1和P2的坐標作為設計變量，即

X=(X1,X2,Y1,Y2)

(1)

2.2目標函數

諧振頻率是超聲變幅桿的重要性能參數，只有變幅桿的諧振頻率等于系統工作頻率，產生共振，才能在輸出端產生最大的振幅。若其與系統工作頻率差別過大，不僅會影響超聲切割加工的質量，還可能導致超聲聲學系統的破壞，甚至損壞超聲電源[8]。放大系數是超聲變幅桿工作在諧振頻率時，輸出端與輸入端的質點位移的比值，其大小將直接影響加工的效率和加工質量。為了提高超聲變幅桿的綜合性能，將其諧振頻率和放大系數作為優化目標，優化時，超聲變幅桿的諧振頻率越接近系統工作頻率越好，放大系數越大越好，而遺傳算法優化是求極小值的，所以建立的多目標優化函數如下：

(2)

式中，fr為變幅桿的諧振頻率；f為超聲加工系統的工作頻率，本研究根據實際加工需要，所用工作頻率為20 kHz；M為變幅桿的振幅放大系數。

2.3約束條件

此約束為邊界約束，變幅桿的結構參數在一定范圍內取值，這里選取優化變量的范圍為

(3)

3多目標遺傳算法優化求解與優化結果分析

傳統的多目標優化方法如加權組合法、目標規劃法等都是通過某種數學變換將多目標轉化為單目標進行求解，這種方法在工程應用中往往受設計人員主觀因素的影響，很難取得最優解[9]。Deb等[10]提出的NSGA-Ⅱ多目標遺傳算法是目前公認的最為有效的求解多目標優化問題的算法之一。NSGA-Ⅱ的主要思想是：利用非支配排序算法對種群進行非支配分層，然后通過選擇操作得到下一代種群，使用共享函數的方法保持群體的多樣性。相比其他優化方法，NSGA-Ⅱ有如下優勢：計算復雜性降低，能夠更好地保持種群的多樣性和避免優秀個體的流失，而且無需主觀地設定一些算法參數，從而進一步提高計算效率和算法的魯棒性；該算法求得的Pareto最優解分布均勻，收斂性和魯棒性好；該算法一次運行可以獲得多個Pareto最優解，決策者可以根據系統的實際要求選擇最終的滿意解，為各目標之間的權衡分析提供了有效的工具。

本文以MATLAB高級語言為平臺編寫多目標優化程序，反復調用ANSYS批處理模式自動完成變幅桿的建模和動力學分析，以獲取計算目標函數所需的參數。要想實現MATLAB對ANSYS的調用，必須先實現兩者的數據傳遞，而它們都有較強的文件操作能力。同時，ANSYS軟件提供了批處理運行方式，即在不打開軟件的情況下可以在后臺運行計算并輸出結果，這使得在遺傳算法程序中可以調用ANSYS進行數據傳遞，數據流向如圖2所示。

圖2　MATLAB與ANSYS的數據傳遞

本文采用謝菲爾德(Sheffield)大學的遺傳算法工具箱，通過MATLAB高級語言編寫優化程序。采用遺傳算法對貝塞爾曲線形變幅桿進行多目標優化設計,流程如圖3所示。

圖3　遺傳算法優化流程圖

考慮到實際加工過程對振幅和頻率的實際要求，式(2)中f1(x)和f2(x)的權重系數均取0.5，利用權重系數法，借助NSGA-Ⅱ多目標遺傳算法求解多目標優化模型，選定初始種群規模為30，經過40次遺傳算法迭代得到超聲變幅桿結構參數的多目標Pareto最優解，優化前后設計變量值如表2所示，變幅桿母線形狀如圖4所示。

表2　優化前后設計變量值　mm

圖4　優化前后變幅桿母線形狀

應用有限元分析軟件ANSYS對優化后的超聲變幅桿進行動力學分析，優化后，變幅桿的諧振頻率為20 kHz，等于系統工作頻率；變幅桿放大系數為7.92，比優化前的5.93提高了約34%。通過本方法對超聲變幅桿進行優化設計，不僅使其諧振頻率更接近其工作頻率，還使得振幅放大系數得到顯著提高。

4實驗測試

為了驗證本研究所提出的變幅桿的優化設計方法的正確性，利用316不銹鋼加工了優化后的貝塞爾曲線形變幅桿。考慮到變幅桿與外界的裝配問題, 在節點處增加了一厚度為4 mm、外徑為62 mm的法蘭盤，對其與柱形換能器連接成的整體進行實驗研究，兩者通過螺栓連接，如圖5所示，其中換能器的理論設計頻率為20 kHz，理論放大倍數為7.92。

圖5　連接后的換能器與變幅桿

4.1性能測試

為驗證設計結果，通過實驗測量其諧振頻率、阻抗特性、放大系數等參數。利用PV70A阻抗分析儀測試整體的諧振頻率，測試結果如圖6所示。

圖中F即諧振頻率。實驗測得的諧振頻率為19.874 kHz，與理想值20 kHz的相對偏差為0.63%，實驗頻率與設計頻率非常接近。分析偏差產生的原因，一方面可能是加工誤差和材料參數偏差，另一方面可能是理論設計時未考慮法蘭的影響。圖形顯示的導納圓是個規則的單圓，且對數坐標圖中只有一對極小值和極大值，阻抗測試結果表明，該變幅桿工作性能良好。

利用基恩士的超高速/高精度CMOS激光位移傳感器LK-G5000對變幅桿輸出端振幅進行測試。在功率為96 W、振幅為60%時，測試結果如圖7所示。從圖中曲線可以看出，超聲波變幅桿做簡諧振動，振幅呈周期性變化，且振幅分布十分穩定，變幅桿輸出端振幅為18 μm，此功率下換能器的輸出振幅為2.35 μm。由此可得，變幅桿的實際放大系數為7.66，與優化前相比提高了29%，與仿真結果的相對偏差為3.2%。偏差產生的原因，一方面是加工誤差，另一方面是由于換能器和變幅桿連接時采用手動裝配，預緊力不足影響了超聲波的傳播質量。

4.2試切實驗

為了解所設計變幅桿的超聲切割效果，利用優化設計所得到的貝塞爾曲線形超聲波變幅桿對NOMEX蜂窩復合材料進行超聲切割加工實驗，實驗裝置如圖8所示。切割加工后的蜂窩復合材料表面如圖9所示，切割表面沒有明顯的毛刺，未出現開裂、壓塌等缺陷，滿足蜂窩復合材料零件的加工要求，而且加工過程中變幅桿表面溫升較小。

圖6　諧振頻率測試結果界面圖

圖7　變幅桿輸出端振幅測試結果界面圖

圖8　試切裝置

圖9　切割后蜂窩復合材料表面

試切實驗結果表明：工具振幅滿足加工要求，工藝效果好，切割過程容易實現，加工后的蜂窩復合材料的表面質量較好。

5結束語

本文建立了貝塞爾曲線形變幅桿的多目標優化數學模型，并將多目標遺傳算法應用于該變幅桿的結構優化設計中，通過對變幅桿有限元參數化建模和分析文件的調用，方便地實現了諧振頻率最接近工作頻率和放大系數最大兩目標參數的優化。利用該優化設計方法，獲得了目標空間內的Pareto最優解，得到變幅桿結構參數的最優組合，有效克服了超聲變幅桿設計時人工經驗依賴性強的缺陷。通過實驗驗證了該方法的正確性和有效性。本文的研究方法可以方便地實現多方案設計。

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(編輯袁興玲)

收稿日期：2015-08-25

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51475130)；國防科工局重大專項(A3920133001)

中圖分類號：TH113.1

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.13.003

作者簡介：紀華偉，男，1976年生。杭州電子科技大學機械工程學院副教授、博士。主要研究方向為精密定位與微納驅動、特種加工技術。趙雙雙，女，1989年生。杭州電子科技大學機械工程學院碩士研究生。胡小平，女，1970年生。杭州電子科技大學機械工程學院教授、博士。

Optimal Design Method for Bezier Ultrasonic Horn Based on Multi-objective Genetic Algorithm

Ji HuaweiZhao ShuangshuangHu Xiaoping

Hangzhou Dianzi University,Hangzhou,310018

Abstract:In order to design high performance ultrasonic horn that was used to manufacture honeycomb composite material, a new approach was put forward to design ultrasonic horn based on multi-objective genetic algorithm. By using structural parameters of the ultrasonic horn as design variables, the resonant frequency and amplification factor as optimization goals, an optimization mathematical model of the Bezier ultrasonic horn was established. To get the parameters for calculating fitness function, a finite model and dynamics analysis of ultrasonic horn were carried out by calling ANSYS software from genetic algorithms, and the Pareto-optimal solution set was obtained by genetic algorithm, then, the most suitable parameters of ultrasonic horn were chosen for horn design. At last, the performance test of ultrasonic horn and trial cut experiment of honeycomb composite material show that amplification factor of optimized ultrasonic horn is as 7.66, it is 29 percent higher, and the working frequency is closer to design frequency than un-optimized ultrasonic horn. Simulation and experimental results confirm the reliability and validity of the proposed design method.

Key words:Bezier ultrasonic horn; multi-objective optimization; genetic algorithm; honeycomb composite material