基于偏導數的Sobol’總測度指標的上下限分析

宋述芳　周　桐　呂震宙

1.西北工業大學,西安,710072　　2.香港理工大學,香港,999077

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基于偏導數的Sobol’總測度指標的上下限分析

宋述芳1周桐2呂震宙1

1.西北工業大學,西安,7100722.香港理工大學,香港,999077

摘要：以Sobol’主測度指標Si作為總測度指標i的下限，建立并推導了基于偏導數的測度指標作為i的新上限。基于泛函和Euler-Lagrange等式，進行了不同變量分布形式下(均勻、正態、指數、Beta、三角分布等)，Sobol’總測度指標i的基于偏導數的上限分析，并給出了新上限詳細的推導過程和具體的計算公式。通過簡單數值和工程算例，驗證了新上限的精度及效率，為更準確地界定總測度指標i的取值區間提供了參考。

關鍵詞：總測度指標；主測度指標；基于偏導數的測度指標；Euler-Lagrange等式

0引言

全局靈敏度(又稱重要測度)指標可以全面反映模型輸入變量的不確定性對模型輸出響應不確定性的貢獻程度，它在工程設計及概率安全評估中具有很重要的作用[1-6]。依據全局靈敏度指標的大小，為基本變量進行重要性排序，進而在設計和優化中優先或者重點考慮重要性程度高的基本變量或者忽略重要性程度低的基本變量，對系統工程設計和優化具有重要的指導作用。

1Sobol’的測度指標

文獻[1-2,6]利用方差分析(analysis of variance, ANOVA)給出了基于方差的重要性測度指標。因而，一般的ANOVA分解被認為是基于方差的重要性分析的基礎。ANOVA分解的前提是假設各子項期望為零且各子項正交，在這種假設下ANOVA的分解唯一，即功能函數Y=f(x)的唯一分解式為

(1)

(2)

fij(xi,xj)表征兩變量(xi,xj)的相互作用，它可以通過下式求得:

fi(xi)-fj(xj)-f0

(3)

類似地，可得到s(s=3,4,…,n)個變量的分解項fi1i2…is(xi1,xi2,…,xis)，也可稱之為s階交叉項，可通過對除這s個變量外的所有變量求數學期望后減去這s階變量的任意子集影響及常數項f0得到。

考慮式(1)各分解項的正交特點，功能函數Y=f(x)的方差:

可以由各分解項方差之和表示，即

(4)

(5)

定義與變量xi有關的子項之和為ui(x)[14]，即

f1…n(x1,…,xn)=f(x)-∫Rf(x)ρXi(xi)dxi

(6)

(7)

(8)

Di=var[E(Y|xi)]

(9)

(10)

其中，E(·)為期望算子，var(·)為方差算子，下標“-i”表示除xi以外的變量，即x-i=(x1,…,xi-1,xi+1,…,xn)，從而可得到輸入變量xi的重要性測度兩個指標的計算表達式分別為

(11)

(12)

求解Sobol’測度指標的方法有很多，如基于MC或QMC模擬的方法(如式(11)、式(12))，隨機抽樣的高維模型替代法(HDMR)等(如式(5))，這些方法多涉及雙重抽樣分析，計算量較大。我們更期望找到較簡單的計算方式以獲得總測度指標的區間，進而確定變量的重要性排序。

2文獻中的Sobol’總測度指標的上下限

2.1下限(lowerbound,LB)

2.2上限(upper bound, UB)

Sobol’等[12]提出的基于偏導數的測度指標(DGSM)定義為對模型輸出偏導數平方的積分。假設模型函數Y=f(x)，其輸入變量x=(x1,x2,…,xn)是相互獨立的隨機向量，其聯合概率密度函數和累積分布函數分別為ρX(x)和FX(x)，如果?f/?xi存在并且平方可積，變量xi的DGSM指標υi為

(13)

表1　滿足log-concave概率分布情況下的

定理1在以下假設條件下：①隨機輸入變量相互獨立；②函數f(x)為實函數；③f(x)的一階導數為實函數；④隨機變量xi的分布是Boltzman概率測度，有

(14)

其中，FXi(xi)為隨機變量xi的累積分布函數。

定理2在以下假設條件下：①隨機輸入變量相互獨立；②函數f(x)為實函數；③f(x)的一階導數為實函數；④隨機變量xi的分布是log-concave概率測度, 有

(15)

3.1均勻分布

(16)

并且當且僅當u是常數的時候等號成立。

(17)

其中，Hn為n維的超立方體空間，ui為與變量xi有關的項。

根據變量代換可得出(a,b)區間上的均勻分布變量的總測度指標的新上限為

(18)

3.2其他變量分布類型

假設對于其他分布，構造如下形式的上限：

(19)

假設Φ=Φ[u]是一個關于u(t)的泛函，即

(20)

將積分不等式轉化為變分法求泛函極值的問題，當u(t)滿足∫Ru(t)ρ(t)dt=0時使得泛函Φ[u]最小。假設泛函有極值函數u*=t-μ，其中μ是隨機變量t的平均值，此極值函數需滿足Euler-Lagrange方程：

(21)

表2　滿足log-concave概率分布情況下的新上限A(xi)函數

表2中的常數K1、K2、K3和K4分別為

K2≥0

4算例及分析

將文獻[12-13]提出的基于偏導數的測度指標DGSM稱為γUB1，本文所提出的新上限稱為γUB2，通過對不同分布、不同類型的功能函數進行測試，驗證其正確性與有效性。

4.1數值算例

4.1.1均勻分布算例

算例1～3的函數及測度指標結果顯示列于表3，其中所有輸入變量均服從(0,1)區間上的均勻分布，變量之間相互獨立。

表3　算例1～3的函數及測度指標結果對比

圖1　算例3的隨α的變化趨勢圖

4.1.2指數分布算例

算例4～6的函數及測度指標結果參見表4，其中輸入變量x1,x2,x3,x4分別服從均值為1,2,3,4的指數分布，變量之間相互獨立。

表4　算例4～6的函數及測度指標結果對比

圖2　算例5的隨α的變化趨勢圖

工程算例1懸臂梁結構在自由端受到載荷P作用，以自由端位移不超過0.004 m建立極限狀態方程為

其中，彈性模量E=200 GPa。將梁的長L、寬b和高h看作隨機變量，其均值分別為0.5 m，0.02 m，0.05 m，標準差為0.05 m，0.002 m，0.005 m，其中，L和h為對數正態分布變量，b為正態分布變量，載荷P為(200，400)N的均勻分布變量。該算例的測度指標對比表參見表5。

表5　工程算例1的測度指標結果對比

從表5可以看出，兩種上限給出的變量重要性排序是一致的，且都能夠很好地找出對輸出響應影響小的兩個參數b和h，均勻分布時指標γUB2比γUB1好，正態分布時指標γUB1≤γUB2，當且僅當為正態線性函數時，等號成立。

工程算例2基于材料的蠕變和疲勞試驗數據，并考慮一級載荷水平，文獻[17]采用如下非線性極限狀態方程來定義失效與安全的邊界線：

g(Nc,Nf,nc,nf,θ1,θ2)=

Dc=nc/NcDf=nf/Nf

其中，θ1和θ2為從試驗數據中得到的兩個參數；Nc與Nf分別為蠕變壽命和疲勞壽命；nc和nf分別為蠕變載荷和疲勞載荷作用的實際周次。

文獻[17]依據試驗分析，假定上述極限狀態方程中的基本隨機變量Nc、Nf、nc、nf均服從對數正態分布，θ1和θ2服從正態分布(表6)，則該算例的測度指標對比參見表7。

表6　基本變量分布形式

表7　工程算例2的測度指標結果對比

工程算例3單層單跨結構(圖3)的極限狀態方程為

f(x)=0.01 m-u3(A1,A2,P)=

圖3　單層單跨結構

SiStotiγUB1γUB2A10.996370.997621.023521.19883A20.002290.002330.002340.00239P0.000360.000380.002410.00038

5結語

本文圍繞Sobol’總測度指標和基于偏導數的測度指標進行了如下工作：建立了(0,1)區間上均勻分布變量的偏導數測度指標，并將其作為Sobol’總測度指標的新上限，在此基礎上基于泛函和Euler-Lagrange等式，推導出了正態分布、指數分布、Beta分布、三角分布等分布形式的偏導數測度指標公式。采用QMC方法，在輸入變量服從不同分布，不同的功能函數情況下，計算出不同測度指標，并比較它們之間的關系，從理論和數值上證實了所提指標的可靠性。通過算例比較分析得出，對于均勻分布來說，大多數情況下，γUB2優于γUB1，對于指數分布來說，當函數非線性程度不高時，γUB2的優越性還是很明顯的，但隨著函數非線性程度的提高，γUB1的優勢逐漸顯現出來。此外，γUB2和γUB1確定的變量重要性排序和總測度指標基本一致。

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(編輯王艷麗)

收稿日期：2015-08-03

基金項目：國家自然科學基金資助項目(NSFC51308459)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(310201401JCQ01014，3102015BJ(Ⅱ)CG009)

中圖分類號：TP302.7

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.13.014

作者簡介：宋述芳,女,1982年生。西北工業大學航空學院副教授。主要研究方向為飛行器設計、飛行器可靠性工程。發表論文30余篇。周桐，男,1993年生。香港理工大學機械工程學院博士研究生。呂震宙,女,1966年生。西北工業大學航空學院教授、博士研究生導師。

Analyses for Lower and Upper Bounds of Sobol’ Total Sensitivity Index Based on Derivative

Song Shufang1Zhou Tong2Lü Zhenzhou1

1.Northwestern Polytechnical University，Xi’an,710072 2.Hongkong Polytechnical University,Hongkong,999077

Abstract:A main sensitivity index Si was set as the lower bound of i and the new upper bound of i was built based on the derivative. On the basis of functional analysis and Euler-Lagrange equation, the new upper bound of i based derivative was analyzed for different variable distribution types, such as uniform, normal, exponential, triangular, Beta distribution etc. The derived process and formulas were presented in detail. Several numerical and engineering examples were used to verify the precision and efficiency of the presented bounds, which may provide the accurate bounds of i.

Key words：total global sensitivity index;main global sensitivity index;derivative based global sensitivity index;Euler-Lagrange equation