一類線性微分方程的整函數解

王曉媛 劉雅坤 禚彩萍

中國石油大學(華東)

一類線性微分方程的整函數解

王曉媛 劉雅坤 禚彩萍

中國石油大學(華東)

整函數解；微分方程；Nevanlinna 理論

一、背景

19世紀20年代，Nevanlinna提出了整函數和亞純函數值分布理論，為復微分方程的研究提供了有力工具。1933年，K.Yosida利用該理論對一些微分方程進行了研究，同時給出了J.Malmquist在1913年提出的著名理論的新的證明和推廣。從1950年開始，H.Wittich利用Nevanlinna理論深入系統地研究微分方程[3,4,7]。

在討論復域上的微分方程時，證明所給微分方程的整函數解或亞純解的存在性和唯一性總是很有趣卻又非常困難的。最近，關于多種類型的微分差分方程的整函數解和亞純解的存在性、增長性，有很多成果[1,2,6]。

二、引言

首先，回顧一些關于二階齊次線性周期微分方程的結論：

f''+P(ez) f'+Q(ez) f=0，其中，P(ez)、Q(ez)均為ez的多項式，且不同時為0。上述方程的所有解均是整函數。

近年來，很多作者已經探究了二階線性微分方程整函數解的零點、增長性以及相關問題[5]，主要涉及的線性微分方程的形式為：f''+e-zf'+Q(z) f=0，其中，Q(z)為有限級整函數。

三、正文

1.主要的引理

定義1.1[4]:設f是一個非常數亞純函數，T(r, f )=N(r, f )+m(r, f ),r＞0是f的特征函數。

引理 1.1[8]:令h是一個非常數整函數，且f(z)=eh(z)，那么就有：(1)當h(z)是一個p次多項式時，ρ( f )=μ( f )=p；(2)當h(z)是一個超越整函數時，ρ( f )=μ( f )=∞；(3) ρ2( f )=ρ(h)。

注1.1:從引理1.1和例1.1可以看出，對任意非零常數c和正整數p，函數f(z)=exp(czp)的超級為p，函數g(z)=exp(cez)的級為無窮大，超級為1。

引理1.4[8]:令h是一個非常數整函數，且f(z)=eh(z)，那么(1) T(r,h)=o(T(r, f ))(r→∞)；(2)T(r,h' )=S(r, f )。

引理1.5[8]:假定f和g是非常數亞純函數，使得ρ(f)＜μ(g)，那么T(r, f )=o(T(r, g))(r→∞)。

引理1.6[8]:令f和g是亞純函數，使得T(r, f )=O(T(r, g))(r→∞, rE)，其中E是有限度量的集合，那么ρ(f)≤ρ(g)。稱為朗斯基行列式。

2.主要結果

那么

引理 2.1的證明：

定理2.1的證明：

則

(2.9)給出了

假定f的級有限，由引理 1.3、引理 2.1和(2.10)，有

證畢。

[1] R.G.Halburd and R.J.Korhonen, Diffenence analogue of the lemma on logarithmic derivative with applications to difference equations, J.Math.Anal.Appl.314 (2006), 477-487.

[2] R.G.Halburd and R.J.Korhonen, Nevanlinna theory for the difference operator, Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.31 (2006), 463-478.

[3] E.Hille, Ordinary differential equations in the complex domain, Dover publications, Inc.Mineola, New York, 1976.

[4] I.Laine, Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin/New York, 1993.

[5] J.Langley, On complex oscillation and a problem of Ozawa, Kodai Math.J., 9 (1986), 430-439.

[6] L.W.Liao, C.C.Yang and J.J.Zhang, On meromorphic solutions of certain type of non-linear differential equations, Ann.Acad.Sci.Fenn.Math., 38 (2013), 581-593.

[7] H.Wittich, Ganze transzendente L¨osunger algebraischer Differentialgleichungen, Math.Ann., 122 (1950), 221-234.

[8] C.C.Yang and H.X.Yi, Uniqueness Theory of Meromorphic Functions, Science Press, Beijing/New York, 2003.

王曉媛（1994年11月12日-），女，漢族，河南三門峽人，中國石油大學（華東）理學院，2013級本科生，數學與應用數學專業

本文屬大學生創新創業訓練計劃資助項目階段性成果(項目編號：201610425064)