基于模糊綜合評判法的點權

郭 偉

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

基于模糊綜合評判法的點權

郭 偉

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

文章主要研究了復雜網絡中點權的計算方法。通過模糊綜合評判法，給出了教學知識傳播中教師的點權大小，對復雜網絡中的點權計算進行了補充。

復雜網絡；模糊綜合評判法；點權

1 引言

近幾年來，國內外掀起了研究復雜網絡的熱潮。對網絡的研究最早起源于歐拉開創的圖論。之后的近兩百年中，數學家們一直致力于對簡單的規則網絡和隨機網絡進行抽象的數學研究。隨著近年來計算機存儲能力和數據處理能力的增強，人們獲得了真實網絡的特征數據，通過研究發現真實的網絡既不是規則的，也不是隨機的，而是呈現一定規律的復雜網絡。復雜網絡之所以復雜，不僅在于網絡規模的巨大、網絡結構的復雜，而且還在于網絡在時間、空間上都具有動態復雜性，相應的網絡行為也具有復雜性。實證研究發現：許多現實網絡，包括信息網絡、社會網絡和生物網絡都是復雜網絡。本文主要研究的是復雜網絡中的點權大小的計算。

所謂網絡是由節點和連線組成的一個整體，這里的節點和連線是廣義的，其中節點表示系統的組成元素，兩節點的連線表示各元素之間的相互作用。雖然定義看似簡單，但是網絡卻能夠呈現高度的復雜性。網絡的發展從最初的規則網絡（度服從單點分布）到艾爾德和萊利的隨機網絡理論（度分布服從泊松分布）。然而，影響深遠的進展則是近年來在統計物理中出現的小世界網絡（smallworld networks）（度分布服從泊松分布）和無標度網絡（scale-free networks）（度分布服從冪律分布）的研究。

泊松度分布如圖1所示：圖中的曲線是一條鐘形曲線，該圖形在網絡平均度數k處有一個峰值。網絡中大多數節點的連線都集中在它的附近，而連接線數遠離它的結點所占比例指數衰減，說明具有泊松分布的網絡節點有同質性，人們將k稱為網絡的特征標度（characteristic scale）。然而，另一個圖中的曲線沒有峰值，且隨k衰減（如圖2所示）。

圖2-1 泊松度分布

圖2-2 冪律度分布

（其中橫坐標表示節點數，縱坐標表示連線數）

從圖形中還可以看出，現在大多數節點僅有少量連線，而少數節點擁有大量連線，這種節點稱為中樞節點（hubs）。因為結點的異質性，于是特征標度消失了，為給這類網絡一個名稱，巴拉巴西（Barabasi）提出了無標度網絡的概念。

無標度網絡最重要的特性是標度不變性（scale invariance）。下面從指數函數與冪律函數對標度改變的反映來解釋標度不變性或無標度特性的概念。

冪律函數y=cxa；指數函數z=ce-x。現在改變測量單位標度，即乘以因子λ，觀察這兩個函數如何變化。顯然，

由第一個式子可知：函數圖形的形狀沒有發生變化，同時函數的指數也沒變。

由第二個式子可知：函數圖形的形狀已經改變，同時函數的指數也乘以因子。

以上說明冪律具有標度不變性，即不依賴于所采用的測量單位；而指數函數則不具備。

點權：在復雜網絡中的加權網中，與節點度ki相對應的自然推廣就是點強度或點權Si，其定義為：，其中Ni是節點i的近鄰集合，ωij代表相鄰兩點間的邊權。也就是說點權的大小由邊權來決定。

2 主要方法和結果

上述復雜網絡中對點權的定義，只是根據網絡節點度的大小來衡量點的重要性。本文從真實的教學知識傳播網絡出發，以節點表示每個人，節點與節點之間的連線表示知識的傳播。在這里節點與節點之間的不同即點權之間的差異主要是由每個人所擁有的知識量大小不同來決定的。當然，要精確地計算每個人的知識擁有量是不現實的，但是我們可以利用相對科學、合理的模糊方法來計算知識擁有量。因此本文利用模糊綜合評判法來計算個人所擁有的知識量。

Istvan Z.Kissa等[1]在傳染病模型的基礎上研究了基于個體的有向加權網絡模型，通過學科間的研究課題的擴散，說明了有向加權網絡對知識傳播的擬合性較好，并對有向加權網絡中的權重進行了討論。周濤等[2]對復雜網絡上傳播動力學研究做了綜述，并介紹了經典傳播模型，討論了小世界網絡和無標度網絡的傳播特性以及網絡免疫技術，提出了實際傳播網絡的邊的權重不同，如何去分析邊權（或頂點權）分布對傳播行為的影響的問題可研究性。以上文章都對網絡中的點權的重要性進行了研究，但未給出其具體的計算方法。李鵬翔等[3]對原始的系統科學的研究方法通過度量節點刪除時網絡連通的破壞程度來反映網絡節點（集）的重要性進行了改進，通過節點（集）被刪除后形成的所有不連通節點對之間的距離（最短路）的倒數之和來反映節點刪除時網絡連通的破壞程度，即所刪除節點（集）的重要性，從另一個角度考查了點權的重要性。以下是本文給出的具體方法。

由于確定一個人的知識擁有量并不能夠精確的通過數據來計算，所以這里采用模糊綜合評判法來求出教師的點權。在知識傳播過程中，教師是知識傳播的傳播者。既然是傳播者，那么發出信號是很關鍵的，即教師的語言表達能力是知識傳播過程中的主要因素。以下通過對某班（49人）的調查研究運用模糊綜合評判法求出點權，其中的指標體系參考考核教師教學工作的評價表得出。不同的是，這里采用了模糊綜合評判法對教師的教學工作進行評測。

（1）確定因素集

（2）確定權重向量

評價項目的權重系數向量（如表1所示）

WF=（0.20，0.20，0.25，0.20，0.15）。

表1 某班教師測評

（3）統計、確定單因素評價隸屬度向量，形成隸屬度矩陣。該隸屬度是表（1）中評價結果占總人數的比重。利用maple軟件可得：

表1-2 某班教師點權

綜合隸屬度S=WFR=>

結果：可以看到，通過模糊綜合評判法，可以更合理、更科學的計算出點權的確切數值，當然，在其他的網絡結構中，點權的計算仍然可以通過此方法來計算獲得。所以，本文是對復雜網絡中的點權給出了又一角度的計算方法。

［1］Kiss，I.Z.，et al.Can epidemic models describe the diffusion of topics across disciplines？Journal of Informetrics（2009），doi：10.1016/j.joi.2009，（08）：002.

［2］周濤，傅忠謙，牛永偉.復雜網絡上傳播動力學研究綜述［J］.自然科學進展.2005，15（5）：513-518.

［3］李鵬翔，任玉晴，席酉民.網絡節點（集）重要性的一種度量指標［J］.系統工程.2004，22（4）：13-20.

Based on the Fuzzy Com prehensive Evaluation M ethod of Vertex W eight

GUOWei
（Departmentof Mathematics Changzhi University，Changzhi Shanxi 046011）

This papermainly studies a complex network vertex weight calculation method.By fuzzy comprehensive evaluation method is presented,the teachers'teaching knowledge dissemination of vertex weight of complex network size，the vertex weight computing added.

complex network；fuzzy comprehensive evaluation method；vertex weight

TP393

A

1673-2014（2011）02-0106-03

2011—01—06

郭 偉（1982— ），男，山西長治人，碩士，主要從事復雜網絡研究。

（責任編輯 趙巨濤）