李英，李寶福，李如琰

（1.上海大學 機電工程與自動化學院，上海 200072；2.上海市軸承技術研究所，上海 201800）

1 概述

自潤滑關節(jié)軸承是一種無需補充潤滑劑的特殊形式的關節(jié)軸承，結構如圖1所示，其中，Fr為徑向載荷；Fa為軸向載荷；α為結構參數。軸承內外圈之間含有由自潤滑材料組成的襯墊，襯墊粘貼在軸承外圈內球面，襯墊內球面與軸承內圈外球面形成配合面［1-2］。

圖1 自潤滑關節(jié)軸承Fig.1 Self-lubricating spherical plain bearing

自潤滑關節(jié)軸承在承受徑向載荷和軸向載荷時，接觸面產生接觸應力。接觸應力是軸承設計過程中的一個重要依據，一般情況下，軸承設計時以投影面上的平均接觸應力為依據［3］。而實際工況下，軸承接觸應力分布并不均勻，直接影響軸承襯墊的磨損、發(fā)熱量及壽命。因此，接觸應力分析對軸承優(yōu)化設計及了解軸承使用狀況至關重要。

下文主要研究自潤滑關節(jié)軸承的接觸應力分布，采用理論計算和有限元分析相結合的方法，推導并驗證接觸應力的計算公式，為自潤滑關節(jié)軸承的優(yōu)化設計及力學分析提供依據。

2 自接觸應力解析模型

自潤滑關節(jié)軸承襯墊是一種各向異性非線性材料，力學性能復雜。為簡化分析，將襯墊假設為線彈性體，又由于襯墊較薄，采用表面接觸力學里的Winkler模型［4］進行接觸應力分析。

在軸承模型上建立球坐標系，如圖2所示。圖中z軸為軸承軸線，O點為軸承外圈內球面中心、O1為內圈外球面中心。無載荷時，O與O1重合。假設 P（x，y，z）為空間內一點，其球面坐標為（r，θ，φ），其中 r為原點 O與點 P間的距離；θ為有向線段OP與z軸正向的夾角；φ為從z軸正向來看自x軸按逆時針方向轉到OM所轉過的角，M點為P點在xy平面上的投影。

圖2 空間球坐標系Fig.2 Space spherical coordinates

無載荷時，取襯墊內球面（內圈外球面）上任一點P（r，θ，φ）及其徑向上的襯墊外球面（外圈內球面）的對應點Q（R，θ，φ），其中R為原點O與點Q間的距離。經過PQ點取如圖3所示的一個微元體 PP1P2P3（QQ1Q2Q3），其中面 PP1P2P3位于軸承內圈外球面，面QQ1Q2Q3位于外圈內球面，Δθ為在θ角上的微小增量，Δφ為在φ角上的微小增量。研究在載荷作用下襯墊上微元體PP1P2P3（QQ1Q2Q3）的變形及應力。

圖3 微元體示意圖Fig.3 Diagram of micro unit

由于襯墊變形根據彈性理論進行計算，而彈性理論具有疊加性，則軸承在同時承受徑向載荷和軸向載荷時，變形也可以疊加。復合工況下，只需分別對受純徑向載荷或純軸向載荷時的接觸應力進行計算，將結果疊加即可。

2.1 徑向載荷作用下的接觸應力計算

軸承內圈在徑向力Fr作用下，沿x軸移動ΔX，襯墊受擠壓變形，襯墊上微元體面PP1P2P3以同樣的方式平移至P′P′1P′2P′3，外圈內球面上微元體面QQ1Q2Q3位置不變。則可得微元體的徑向變形量Δlx為

正應變ε為

根據應力-應變的關系，正應力σ（與P′Q同向）為

式中：E為襯墊材料的彈性模量。

軸承僅受徑向載荷時，接觸面上的摩擦力與運動方向相反，接觸面上關于xz平面對稱的任意兩點的摩擦力在x軸方向的分力大小相等，方向相反，可以相互抵消，故在這種工況下分析襯墊變形時，不計摩擦力。徑向載荷Fr與接觸面上接觸應力沿x方向的總和平衡，即

接觸面內任意一點的接觸應力為

2.2 軸向載荷作用下的接觸應力計算

軸承僅受軸向載荷時，接觸面上摩擦力與運動方向相反，摩擦力在z軸方向的分力相互疊加，摩擦力對軸向載荷有貢獻，考慮摩擦力，設襯墊摩擦副的摩擦因數為f。軸承在軸向力Fa作用下，內圈沿z軸移動ΔZ，襯墊上微元體面PP1P2P3以同樣的方式移至 P′P′1P′2P′3，位于外圈內球面上的面QQ1Q2Q3則位置不變。根據幾何關系，微元體的軸向變形量Δlz為

正應變ε和剪切角γ分別為

根據應力-應變關系，正應力σ與切應力τ分別為

式中：ν為襯墊材料泊松比。σ與P′Q同向，τ方向為（0，-cosθ，sinθ）。

切應力由摩擦力提供，則必須滿足τ≤fσ，即

軸承模型θ角一般為60°～120°，只有當摩擦因數f大于2時，才有可能滿足τ≤fσ，而實際自潤滑關節(jié)軸承摩擦因數一般小于0.1，則大多數自潤滑關節(jié)軸承的切應力按胡克定律計算，即τ＝fσ。

軸向載荷Fa與接觸面上接觸應力沿z方向的總和平衡，即

接觸面內任意一點的接觸應力為

3 接觸應力有限元仿真

理論公式推導過程中做了很多簡化，與實際工況有較大出入，有限元計算可以把實際工況考慮進去，更接近真實值，因此利用有限元分析來驗證理論公式的合理性。以GE40自潤滑關節(jié)軸承為例，在ANSYS軟件中建立模型，進行接觸應力分析。GE40軸承材料參數見表1，幾何結構如圖4所示。

表1 自潤滑關節(jié)軸承材料參數Tab.1 Material parameters of self-lubricating spherical plain bearing

圖4 自潤滑關節(jié)軸承幾何結構Fig.4 Geometric structure of self-lubricating spherical plain bearing

3.1 徑向載荷作用下接觸應力的有限元分析

軸承僅受徑向載荷時，在ANSYS中建立三維模型，采用Solid45單元進行網格劃分，在軸承內圈內表面施加沿x軸正方向的徑向載荷Fr，固定軸承外圈，在軸承外圈的內球面上粘接襯墊，在軸承內圈與襯墊的接觸面處建立接觸對，由于內圈剛度遠大于襯墊剛度，接觸對采用面-面剛柔接觸的形式，接觸面摩擦因數設置為0，與理論分析一樣，進行無摩擦時的接觸分析［5-8］。

通過ANSYS分析，得到接觸面的接觸應力分布如圖5所示。提取受載接觸面上節(jié)點的接觸應力值，繪制θ＝0°且φ在-90°～90°上的接觸應力曲線如圖6所示；φ＝0°，θ在（90°-α）～（90°+α）上的接觸應力曲線如圖7所示；有限元結果與理論計算結果的相對誤差分布如圖8所示。

圖5 接觸應力云圖（徑向）Fig.5 Nephogram of contact stress（radial direction）

圖6 θ＝0°時接觸應力曲線（徑向）Fig.6 Contact stress curve when θ＝0°（radial direction）

圖7 φ＝0°時接觸應力曲線（徑向）Fig.7 Contact stress curve when φ＝0°（radial direction）

圖8 理論計算與有限元分析相對誤差（徑向）Fig.8 Relative error between theoretical calculation and FEA（radial direction）

由圖5可知，最大接觸應力出現在受載面中心處。由圖6和圖7可知，除了邊緣處，其他地方都非常吻合。邊緣處理論計算值近似按正弦規(guī)律減小，有限元值突然大幅減小，是由于有限元分析邊角處網格劃分精度低，分析結果誤差大。由圖8可知，除了邊緣處誤差，軸承總體誤差為5%～10%，最大誤差出現在φ＝90°和φ＝-90°的邊界處，理論值小于有限元值，這是由于理論分析時假設微元之間沒有相互作用，而實際上是相互擠壓的，橫向效應會導致理論結果與有限元結果有誤差。進一步分析其他型號自潤滑關節(jié)軸承如GE20，GE16等發(fā)現，結構參數 α在 20°～30°時，理論接觸應力計算值都能達到同樣的精度，說明理論接觸應力公式具有普遍性。

3.2 軸向載荷作用下接觸應力的有限元分析

軸承僅受軸向載荷時，接觸面上相同θ角處接觸應力相等，采用軸對稱模型進行分析，選用PLANE182單元進行網格劃分，在軸承內圈施加沿z軸正方向的軸向載荷Fa，固定軸承外圈，在軸承外圈的內球面上粘接襯墊，在軸承內圈與襯墊的接觸面處建立接觸對，分別設置摩擦因數為0，0.05，0.10，依次進行有摩擦的接觸分析［5-8］。

通過ANSYS分析計算，得到軸承內圈與襯墊接觸處的接觸應力分布。摩擦因數為0.10時，接觸應力分布如圖9所示，接觸應力曲線如圖10所示，不同摩擦因數下接觸應力有限元結果與理論計算結果的相對誤差曲線如圖11所示。

圖9 接觸應力云圖（軸向）Fig.9 Nephogram of contact stress（axial direction）

圖10 φ＝0°時接觸應力曲線（軸向）Fig.10 Contact stress curve when φ＝0°（axial direction）

圖11 理論計算與有限元分析相對誤差（軸向）Fig.11 Relative error between theoretical calculation and FEA（axial direction）

由圖9可知，接觸面最大應力出現在接觸面邊緣處，接觸面非承載部分接觸應力為0。由圖10可知，與徑向載荷相似，最大誤差出現在軸承端面的邊緣處，除此之外，兩接觸應力曲線基本吻合，這是由于有限元分析邊緣處網格劃分精度低，分析結果誤差大。由圖11可知，摩擦因數越小，相對誤差越大，這是由于理論計算時假設τ≤fσ，而實際情況并非如此，一般來說摩擦因數越小誤差會越大。軸承受軸向載荷時，接觸應力與摩擦因數有直接關系，接觸分析時，須考慮摩擦因數。此外，摩擦因數為0.10或0.05時，除了邊緣處誤差，整體誤差在3%左右，因為理論分析時假設微元之間沒有相互作用，而實際上是相互擠壓的。進一步分析其他型號自潤滑關節(jié)軸承如GE20，GE16等發(fā)現，結構參數α＝20°～30°時，也具有類似的結論，說明理論接觸應力公式具有普遍性。

4 結束語

采用理論方法對自潤滑關節(jié)軸承進行接觸應力分析，通過有限元分析驗證理論公式的精度可知，理論公式在一般的自潤滑關節(jié)軸承上普遍適用。

當襯墊材料剛度遠遠小于內圈剛度，軸承結構參數α＝20°～30°時，利用理論公式計算軸承接觸應力值，可以保證受徑向載荷時接觸應力值誤差在10%以內，受軸向載荷時在3%左右。