主軸-球軸承系統的非線性頻響研究

農勝隆，高尚晗

（1.廣西科技大學鹿山學院，廣西 柳州 545616；2.廣西科技大學 機械工程學院，廣西 柳州 545006）

因摩擦因數小、承載特性好，角接觸球軸承廣泛應用于高速機床電主軸系統。隨著電主軸轉速及精度要求的不斷提高，需要對電主軸-角接觸球軸承系統的非線性動態特性進行更深入的研究。

軸承參數對系統非線性動態特性的影響吸引了眾多研究者的注意［1］。文獻［2-3］將Hertz方程引入球軸承-轉子整體系統模型中，研究軸承配置對主軸支承剛度的影響，發現軸承預緊力越大，支承剛度也越大，系統的固有頻率也相應增大。文獻［4-5］對球軸承支承剛性轉子的穩定性問題進行了系統研究，通過相軌跡、龐卡萊映射及功率譜等描述了系統的周期、擬周期、混沌及分岔等振動響應特性，發現軸承內外圈的表面波紋度及鋼球數量對轉子系統的穩定性及動態響應均有較大影響，鋼球表面波紋度的影響可忽略不計。游隙是引起系統非線性動態響應的關鍵因素，通常用于補償主軸高速轉動時出現的熱膨脹。文獻［6］對非線性軸承游隙影響下的Jeffcott轉子系統進行研究，發現其振幅隨軸承徑向游隙增大而減小。

鋼球與內外圈之間為點接觸［5］，可采用非線性非光滑的Hertz接觸力進行建模。因此，系統研究了Hertz接觸力作用下，軸承負游隙對系統非線性振動響應的影響，為進一步提高主軸-球軸承系統的穩定性提供一定的理論基礎。

1 Bernoulli-Euler梁模型及邊界條件

電主軸結構如圖1所示，當主軸高速旋轉時，轉子的柔性振動響應特征明顯。可根據電主軸結構特點，將轉子簡化為連續梁模型，如圖2所示，軸承1位于第1段轉子末端的A點，軸承2位于第1段與第2段轉子之間的B點。采用Bernoulli-Euler連續梁模型對高速電主軸轉子-軸承的振動響應進行研究，角接觸球軸承及轉子的參數見文獻［7］。

圖1 電主軸結構示意圖Fig.1 Structure diagram of motorized spindle

圖2 主軸-球軸承簡化模型Fig.2 Simplified model of spindle-ball bearing

為使系統的研究結果具有通用性，需要對系統振動響應偏微分方程組及其邊界條件進行量綱一化，由此引入以下量綱一的量:為量綱一的轉子軸向坐標;為量綱一的轉子橫向振幅；x為轉子的軸向坐標；y為轉子的橫向振幅；e為轉子不平衡量；L為轉子長度；ω為轉動頻率；t為時間；ωs為計算頻率；E為彈性模量；I為轉子的橫截轉動慣量；ρ為轉子密度；A為轉子的橫截面積；η為量綱一頻率；δ為轉子單位長度截面系數；r0為轉子截面系數；為量綱一的徑向游隙；Gr為徑向游隙；λ為截面系數比；下標1，2分別表示圖2所示簡化模型的第1，2段轉子；即

若不考慮剪切變形及轉動慣量的影響，對于圖2的二階Bernoulli-Euler連續梁模型，其振動響應的偏微分方程組為

則量綱一的偏微分方程組為

根據Hertz彈性理論［4］，球軸承支承力為

式中：k為鋼球與內外圈的接觸剛度；θi為第i個鋼球的相位角；Z為鋼球個數。由此可知，球軸承支承力具有非線性非連續特性，而該特性會引起電主軸-球軸承系統產生復雜的非線性響應。

（1）式描述連續梁所固有的振動特性。而整體轉子-軸承系統的動態響應則需要引入邊界條件來確定［8］，邊界條件即為轉子運動邊界上方程的解應該滿足的條件。由（3）式及文獻［8］中連續梁的邊界條件表達式可知，2階連續轉子在A點的邊界條件為

點B的邊界條件為

式中：Fe為轉子的不平衡力。

C點的邊界條件為

2 特征方程

引入

式中：φ為轉子響應相位角。

將（7）式代入（6）式，消去sin（τ+φ），得

定義系數如下

通過求解（11）式，可得到不同的頻率η下的函數H1～H8，進而求得確切的系統方程模態函數，最終得到系統的頻率響應曲線。

令

特征方程組（11）式可通過平均法求得，即在0～π范圍內對α進行積分，得系統特征方程組為

轉子-軸承系統連續梁模型與有限元模型的頻響曲線如圖3所示。角接觸球軸承的線性剛度表達式與文獻［7］相同，且軸承預緊力Fa＝200 N。由圖可知，連續梁模型與有限元模型固有頻率的誤差在1.2%以內，其誤差在允許范圍之內，說明文中所建立的連續梁模型是可靠的。有限元模型的固有頻率比連續梁模型大，是由于連續梁模型的柔性大，其固有頻率較小。

圖3 連續梁模型與有限元模型頻響曲線Fig.3 Frequency response curves of continuous beam model and finite element model

由于系統的邊界條件具有非線性非連續特性，因此，轉子-軸承系統的特征方程組（13）式是非線性非連續方程組，其系統頻響曲線會表現出復雜的非線性振動響應特征。

3 計算結果

軸承1游隙固定在-5，軸承2游隙變化時，系統第1階固有頻率附近的頻響曲線如圖4所示。由圖4a可知，當系統頻率η較小，并離第1階固有頻率（M1點）較遠，系統的振動響應穩定，1個η值對應1個振幅；當η接近第1階固有頻率時，系統頻響曲線向右彎曲，在M2點處，1個η值對應3個幅值，系統響應明顯呈現非線性。若減小軸承負游隙值，系統頻響曲線如圖4b所示，右彎曲之前有短暫左彎曲現象，但在其非線性響應區域，1個值仍對應3個幅值。繼續減小軸承負游隙值（圖4c），系統頻響曲線的左彎曲幅度更大，出現了1個值對應5個幅值的非線性響應區域。由圖4可知，軸承負游隙值減小，系統的第1階固有頻率會增大，非線性頻響曲線右彎曲的幅度會降低。

圖4 軸承2游隙變化時，系統第1階固有頻率附近的頻響曲線Fig.4 Frequency response curves near the first natural frequency of system with clearance variation of bearing 2

當軸承1與2的游隙都為0時，系統的頻響曲線如圖5所示，其頻響曲線會出現交叉，但圖3中未出現該現象。由此可知，頻響曲線的交叉是由于球軸承的非連續支承特性引起的。若想避免交叉，則需減小軸承負游隙值，即削弱軸承非連續特性的影響。

圖5 ＝＝0時，系統的頻響曲線Fig.5 Frequency response curves of system with＝＝0

軸承1游隙固定在-5，軸承2游隙變化時，第2階固有頻率附近的頻響曲線如圖6所示，該曲線同樣表現出明顯的硬剛度特性。與第1階固有頻率處的非線性頻響曲線特性類似，當軸承負游隙值較大時，第2階固有頻率附近出現1個值對應3個幅值的非線性響應區域（圖6a）；減小軸承負游隙值，會出現1個值對應5個幅值的非線性響應區域（圖6b）。隨軸承負游隙值減小，頻響曲線的多值區域減小，其背骨線向右彎曲的程度也隨之降低。

圖6 軸承2游隙變化時，系統第2階固有頻率附近的頻響曲線Fig.6 Frequency response curves near the second natural frequency of system with clearance variation of bearing 2

由以上計算結果可知，當軸承負游隙值較大時，軸承的非線性及非連續特性較為明顯，背骨線向右彎曲的幅度較大，其響應的非穩定區域也較大；減小軸承負游隙值，鋼球及套圈的接觸區域增加，軸承的非線性及非連續特性相應減弱，背骨線向右彎曲的幅度減小，非穩定區域也同樣減小。

4 結束語

由于軸承非線性非連續Hertz支承特性的影響，系統頻響曲線呈現硬剛度特性。隨著軸承負游隙值減小，系統的硬剛度特性相應減弱，故可通過減小軸承負游隙值來減小非線性響應區域。由于鋼球與內外圈之間的非連續點接觸，主軸系統的頻響曲線中還會出現交叉現象。分析結果為角接觸球軸承的設計分析提供了參考。