二次根式試題選粹

張麗

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思維訓(xùn)練營(yíng)/題海優(yōu)選

二次根式試題選粹

張麗

二次根式是初中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，歷年來(lái)也是中考必考知識(shí)點(diǎn)，為了幫助同學(xué)們更加有效地掌握本章內(nèi)容，下面列舉了一些常見(jiàn)例題應(yīng)用，分別涉及二次根式的定義、有意義的條件性質(zhì)、二次根式的化簡(jiǎn)、分母有理化等一系列相關(guān)知識(shí)，最后列舉了一些關(guān)于二次根式的綜合應(yīng)用例題，意在給同學(xué)們提供復(fù)習(xí)方向.

一、二次根式的定義、性質(zhì)與化簡(jiǎn)

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開(kāi)方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

二、最簡(jiǎn)二次根式、二次根式的乘除法、分母有理化

A.①②B.③④

C.①③D.①④

【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查二次根式是否同時(shí)滿(mǎn)足最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件，同時(shí)滿(mǎn)足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是.

解：選C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：

（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；

（2）被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

例3計(jì)算：

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算和分母有理化，熟悉相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

三、同類(lèi)二次根式、二次根式的混合運(yùn)算、化簡(jiǎn)求值

例4在下列各組根式中，是同類(lèi)二次根式的是（）.

∴C錯(cuò)，很顯然，D錯(cuò).∴選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是同類(lèi)二次根式的概念，要判斷同類(lèi)二次根式，首先要把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再看被開(kāi)方數(shù)是否相同，如果被開(kāi)方數(shù)相同，則是同類(lèi)二次根式，如果不同，則不是同類(lèi)二次根式.

【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則以及絕對(duì)值的性質(zhì)和二次根式的化簡(jiǎn)方法，分別整理得出即可.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)與混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

例6（1）先化簡(jiǎn)，再求值：

【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則先把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把x與y的值代入計(jì)算即可.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，在解答此題時(shí)要注意通分及約分的靈活應(yīng)用.

例7閱讀下面問(wèn)題：

試求：

【分析】本題考查的是二次根式分母有理化，確定分母有理化因式是關(guān)鍵，本題屬于閱讀理解題，可根據(jù)已有的解題方法來(lái)解決問(wèn)題.

四、二次根式在綜合及實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

例8觀察下列各式及驗(yàn)證過(guò)程：

式①驗(yàn)證：

式②驗(yàn)證：

（1）針對(duì)上述式①、式②的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出n=4時(shí)變化的式子；

（2）請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足上述規(guī)律的用n（n為任意自然數(shù)，且n≥2）表示的等式，并加以驗(yàn)證.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的也是同學(xué)們的閱讀理解能力，讓同學(xué)們根據(jù)已有的解題方法來(lái)解決問(wèn)題，從而提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用題要解決的是實(shí)際問(wèn)題，而實(shí)際問(wèn)題是豐富多彩的，因此，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，不但需要二次根式的有關(guān)知識(shí)，而且需要多方面的能力和廣泛的知識(shí)積累.

解：小明的解法不對(duì).改正如下：

例11先閱讀下列的解答過(guò)程，然后再解答：

由于4+3=7，4×3=12，

解：由題意可知m=13，n=42，

由于6+7=13，6×7=42，所以

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同學(xué)們的閱讀理解能力，要根據(jù)已有的解題技巧來(lái)解決問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)探究能力.

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，二次根式處于相當(dāng)重要的地位，二次根式是在平方根的基礎(chǔ)上提煉出來(lái)的，同學(xué)們要會(huì)正確運(yùn)用二次根式的概念和性質(zhì)解決問(wèn)題.當(dāng)然，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合、方程、轉(zhuǎn)化等思想，在學(xué)習(xí)過(guò)程中同學(xué)們要善于總結(jié)歸納，學(xué)會(huì)應(yīng)用，這對(duì)知識(shí)的掌握及解題能力的提高有著至關(guān)重要的作用.

作者單位：（江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué)）