深入概念，活學活用

吳存紅

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深入概念，活學活用

吳存紅

一、深入理解兩個概念

概念1二次根式

【概念深入】二次根式的定義是從形式上界定的（不是本質定義），只要具備的形式就是二次根式，這里a可以是數，也可以是代數式，同時a必須大于或等于0.

例1下列各式中，哪些是二次根式？

我們可以利用下面的思維導圖進行直觀的判斷：

解：（3）（4）（5）（6）是二次根式.

【小結提升】判斷一個式子是不是二次根式，一定要緊扣定義，看式子是否完全具備二次根式的兩個特征：

（2）看是否“合法”：被開方數a需要滿足a≥0.不滿足其中任何一個特征，就不是二次根式.

概念2最簡二次根式

一般地，如果一個二次根式滿足下面兩個條件：

（1）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；

（2）被開方數中不含分母.

這樣化簡后得到的二次根式叫做最簡二次根式.

【概念深入】第（1）條指被開方數中的每一個因數（或因式）的指數都要小于根指數2，如果被開方數是多項式，要先因式分解，再進行判斷.第（2）條指被開方數中必須是整數或整式，不能含分數和分式.

【小結提升】把二次根式化簡為最簡二次根式不僅使結果看起來更簡潔，而且為二次根式的加減提供了便利.二次根式的加減實質就是合并同類二次根式，而同類二次根式就是指化為最簡二次根式后被開方數相同的二次根式.下面我們通過一個例題來具體看一看.

例3計算：

【小結提升】同學們在進行二次根式的運算時可以類比有理數的運算和整式的運算，將數與式進行類比，將合并同類二次根式與合并同類項進行類比，形成知識鏈.

二、活用雙重非負性

活用1：“三英聚會”

在初中階段，有三種最常見的具有非負性質的代數式：絕對值代數式、偶次冪代數式、二次根式.當這三種代數式聚在一起的話，會擦出什么樣的火花呢？我們一起來看下面的例題：

∴ab-c=-1.

【小結提升】如果幾個非負數的和為零，那么每個非負數均等于零，從而可求出a、b、c的值，解答所求問題.

活用2：“門當戶對”

∴2-x≥0.

解得：x≤2.

活用3：“左右為難”

當同一問題的二次根式被開方數相反時，能得到什么結論呢？下面我們來看一下.

解：由二次根式被開方數的非負性可知：x-4≥0且4-x≥0，解得x=4.于是y=-5.

故（x+y）2016=1.

【小結提升】每個二次根式的被開方數均為非負數，如果一個問題里面出現的兩個二次根式的被開方數恰好為相反數（比如則要同時滿足兩個條件：a≥0和-a≥0（解得a≤0）.我們把a的兩個取值范圍放到同一個數軸上（如圖1所示），就會發現a真的是“左右為難”，不過好在還有一條“活路”（即a=0）.這樣，問題便迎刃而解！

圖1

作者單位：（江蘇省太倉市沙溪實驗中學）