如何理解并有效應用反比例函數中“k”值的幾何意義

季紅娟

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知識學習園/難點提示

如何理解并有效應用反比例函數中“k”值的幾何意義

季紅娟

一、正確理解“k”值的幾何意義

k的幾何意義：反比例函數圖像上的點（x，y）具有兩坐標之積為常數這一特點，即過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，兩條垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積為常數

A.S1

C.S2

圖1

圖2

圖3

A.S1S2>S3

C.S1=S2>S3D.S1=S2

【解析】（1）正方形ABOC的邊長為2，則面積為4，所以=4.因為圖像位于第二象限內，所以k<0，所以可以得到k=-4.

（2）根據k的幾何意義，可知S1=S2=S3，所以選D.

（3）根據k的幾何意義，可知S1=S2，設PE與反比例函數交于點G，則△GOE的面積與S1，S2相等，則S1=S2

【點評】在把k與矩形、三角形面積結合起來用時，必須根據圖像所在的象限來判斷k的正負.

二、活用“k”值的幾何意義是關鍵

A.1B.2C.3D.4

圖4

圖5

A.1B.2C.4D.8

圖6

A.①②③B.②③④

C.①③④D.①②④

【解析】（1）將BA延長與y軸相交，根據k的幾何意義，可以知道矩形ABCD的面積即為，所求面積為2，選B.

【點評】能將圖形靈活地進行割與補，并與k值的幾何意義結合起來，可以很輕松地解決較復雜的圖形問題.

三、反比例函數中幾何圖形的綜合應用

A.8B.10C.12D.24

【解析】根據已知點的橫坐標得出其縱坐標，進而求出直線AB的解析式，及其與x軸橫坐標交點，即可得出△AOC的面積.

圖7

【點評】此題主要考查了反比例函數系數k的幾何意義以及用待定系數法求一次函數解析式，得出直線AB的解析式是解題關鍵.

圖8

A.S1=S2B.2S1=S2

C.3S1=S2D.4S1=S2

【解析】根據題意，易得A、B兩點關于原點對稱，可設A點坐標為（m，n），則B的坐標為（-m，-n）；在Rt△EOF中，由AE=AF，可得A為EF中點，分析計算可得S2，矩形OCBD中，易得S1，比較可得答案.

【點評】本題考查反比例函數系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于本知識點是中考的重要考點，同學們應高度關注.

圖9

如圖10，過C點作CE⊥x軸，垂足為E.

圖10

∵Rt△ABO中，∠OBA=90°，

∴CE∥AB，

∵C為Rt△ABO斜邊OA的中點，

∴CE為Rt△ABO的中位線，

作者單位：（江蘇省常州市武進區前黃實驗學校）