微分中值定理的高階形式*

李麗芳　杜娟　宋慶鳳（天津城建大學 理學院，天津 300384）

?

微分中值定理的高階形式*

李麗芳杜娟宋慶鳳
（天津城建大學 理學院，天津 300384）

摘要：文章使用數值分析中多項式插值理論將微分中值定理推廣到更為廣泛的高階形式，打破了須已知函數在區間等分點上的函數值的限制，并用差商形式更為簡潔地表示出高階微分中值定理，給出了新的證明方法。

關鍵詞：微分中值定理；高階；插值；差商

引言

微分中值定理揭示了函數在某區間的整體性質與其在該區間內部某一點的導數之間的關系，是微分應用的理論基礎，在微積分理論中占有極其重要的地位，因而一直以來都是人們研究的熱門課題。文獻［1］利用數學歸納法將微分中值定理作了推廣；文獻［2］利用向量形式的微分中值定理，將微分中值定理推廣到了高階形式；文獻［3］給出了高階微分中值定理的一般形式；文獻［4-6］引用了高階微分中值定理的形式并對它們進行了不同角度的探討。文章致力于使用多項式插值法理論將微分中值定理推廣到更為廣泛的高階形式，用差商表示出高階Lagrange中值定理與高階Cauchy中值定理，并給出新的證明方法。

首先，簡要介紹一下文章將涉及到的多項式插值理論［7］。

設已知函數f（x）在區間［a，b］上一系列互異節點a=x0＜x1＜…＜xn=b處的函數值f（xi），i=0，1…，n，則存在惟一n次多項式p（x）滿足：p（xi）=f（xi），i=0，1，…，n。

（2）取Nn（x）=f（x0）+（x-x0）f［x0，x1］+…+（x-x0）（x-x1）…（x-xn-1）f［x0，x1，…，xn］

其中f［x0，x1，…，xk］為f（x）關于節點x0，x1，…，xk的k階差商，則Nn（x）是n次多項式且滿足：Nn（xi）=f（xi），i=0，1…，n，稱Nn（x）為f（x）的Newton插值多項式。

差商性質：f（x）的n階差商f［x0，x1，…，xn］可表示為f=（x0），f（x1），…，f（xn）的線性組合其中

一、高階Lagrange中值定理

定理1設f（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x）在（a，b）內存在x0，x1，…，xn，是區間（a，b）上任意n+1個互異節點，則存在ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）=n！f［x0，x1，…，xn］。

證明：設Nn（x）為f（x）的Newton插值多項式，即

Nn（x）=f（x0）+（x-x0）f［x0，x1］+…+（x-x0）（x-x1）…（x-xn-1）f［x0，x1，…，xn］

令φ（x）=f（x）-Nn（x），則φ（xi）=0，i=0，1…n，連續n次使用Rolle中值定理得，存在ξ∈（a，b），使得φ（n）（ξ）=f（n）（ξ）-Nn（n）（ξ）=0，而N（n）（x）= n！f［x0，x1，…，xn］，故f（n）（ξ）=n！f［x0，x1，…，xn］。

若僅取兩個節點x0=a，x1=b，則得Lagrange中值公式：f，因此，定理1是Lagrange中值定理的推廣。

由上述差商性質立即可得下列推論1。

推論1設f（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x）在（a，b）內存在，x0，x1，…，xn是區間［a，b］上任意n+1個互異節點，則存在ξ∈（a，b）使得若取節點x0，x1，…，xn為區間［a，b］的等分點，即由推論1，于是可得下列推論2。

推論2設f（x）∈cn-1［a，b］，fn（x），在（a，b）內存在，則存在ξ∈（a，b），使得

二、高階Cauchy中值定理

定理2設f（x），g（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x），g（n）（x）在（a，b）內存在，且對任一x∈（a，b），g（n）（x）≠0，x0，x1，…，xn是區間［a，b］上任意n+1個互異節點，則存在ξ∈（a，b）使得

證明：首先根據定理1，存在η∈（a，b），使得g［x0，x1，…，xn］=η！g（n）（η）≠0，故（*）式有意義。

設hi（x）（i=0，1，…n）是過點（xk，g（xk））（k=0，1，…，n且k≠i）的關于g（x）的n-1次Lagrange插值多項式，由上述多項式插值理論，

顯然對一切i，g（xi）-hi（xi）≠0且

連續n次使用Rolle中值定理得，存在ξ∈（a，b）使得F（n）（ξ）=0，即注意到hi（n）（ξ）=0，得，亦即

于是，

若僅取兩個節點x0=a，x1=b，則得Cauchy中值公式：

因此，定理2推廣了Cauchy中值定理。

推論3設f（x），g（x）∈cn-1［a，b］，f（n）（x），g（n）（x）在（a，b）內存在，且對任一x∈（a，b），g（n）（x）≠0，則存在ξ∈（a，b）使得

文章推論2，推論3正是文獻［1-6］介紹的高階Lagrange中值定理與高階Cauchy中值定理。

參考文獻

［1］杜家祥.柯西中值定理與拉格朗日中值定理的高階形式［J］.淮北煤師院學報，2001，22（4）：68-70.

［2］洪勇.高階微分中值定理及其應用［J］.四川師范大學學報（自然科學版），1998，21（6）：620-623.

［3］匡繼昌.高階微分中值定理［J］.北京教育學院學報（自然科學版），2014，9（3）：1-5.

［4］周曉中.動態區間上高階Cauchy微分中值“中間點”的漸進性［J］.商丘師范學院學報，2005，21（2）：67-68.

［5］姜國晶，郝金彪.關于高階微分中值公式的幾點注記［J］.遼寧師范大學學報，1992，15（1）：74-76.

［6］李文娟.柯西中值定理的逆問題及漸進性［J］.數學的實踐與認識，2014，44（22）：293-298.

［7］熊洪允，曾紹標，毛云英.應用數學基礎（第四版）下冊［M］.天津：天津大學出版社，2010.

中圖分類號：O174

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）13-0259-02

*基金項目：天津城建大學教育教學改革與研究項目（JG-1321）

作者簡介：李麗芳（1979-），女，山西長治人，天津城建大學數學系，講師，碩士學位，研究方向：常微分方程。

Abstract：In this paper，the differentialmeanvaluetheoremisextendedtoawiderrange of higher order form by using the theory of polynomialinterpolationinnumericalanalysis.It has broken the limitation of the functionvalues known in theintervalbisectionpoint，andmoresuccinctlyexpressedhigherorderdifferentialmeanvaluetheoremusingthedifference quotient forms.Meanwhile，the new proofmethodispresented.

Keywords：differential mean value theorem；higher order；interpolation；difference quotient