一種基于DCT和Arnold變換的圖像置亂新算法

張運華（青島科技大學信息學院，山東青島，266061）

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一種基于DCT和Arnold變換的圖像置亂新算法

張運華
（青島科技大學信息學院，山東青島，266061）

摘 要：圖像置亂變換是通過一定規則將圖像攪亂，使其內容不再直觀可見，主要目的是在網絡傳輸中使圖像信息不易被非法獲取。針對圖像空間位置置亂方法易被破解的缺點，本文提出了基于變換域的圖像置亂新方法，一是將待置亂圖像進行DCT變換，獲得圖像的幅頻圖；二是在頻率域內采用Arnold變換對其置亂，獲得置亂圖像。為了測試算法的魯棒性，還對該算法進行了抗攻擊破壞測試。實驗證明：本方法不僅魯棒性強，而且相比傳統Arnold圖像置亂算法具有更強的安全性。

關鍵詞：圖像置亂；信息加密；Arnold變換；DCT變換

引言

網絡信息的保護方法經過幾年的研究，從初期的密碼技術［1］發展到了現在的隱藏技術［2］。而隱藏技術的實現也有其短板，即如果單純地使用各種簡單傳統的隱藏信息的算法，那么攻擊者只需使用簡單的算法進行窮舉攻擊或者選擇明文攻擊等就能夠輕而易舉地截獲這類秘密信息。如果將待隱藏信息先進行信息置亂，使其“面目全非”，看上去與原有信息毫無任何關系，然后再對置亂后的信息實施隱藏技術，這樣使得人們很難通過計算機破解算法截獲其隱藏信息，則網絡信息更加安全了。

圖像信息是網絡信息重要內容，傳統的圖像置亂算法有Hilbert曲線、Arnold變換［3-4］等典型方法，它們是通過在空間域對像素位置重新排列達到視覺效果上的置亂。這些算法存在置亂次數繁多以及加密效果不佳的缺陷，這些缺陷的存在將導致圖像在網絡傳輸過程中存在魯棒性不強、抗惡意攻擊能力弱、安全系數不高等不足，為解決這些問題本文提出一種基于DCT（Discrete Cosine Transformation）和Arnold變換的圖像置亂新算法，在不增加計算量的前提下，提高其魯棒性及加密效果，使其具有更強的安全性。本文內容安排如下，首先介紹DCT變換的原理與傳統的基于Arnold變換的圖像置亂算法；然后引入本文的基于DCT 和Arnold變換的圖像置亂新算法；最后通過實驗驗證本文提出的方法解決了傳統置亂方法魯棒性不強，抗攻擊能力弱，安全指數不高等問題。

1 DCT變換

離散余弦變換是N.Ahmed、T.Natarajan以及K.R.Rao在1974年提出的，對于一個NXN的像素塊，其二維離散余弦變換（DCT）定義為：

其中0uM，0vN。

而二維離散余弦逆變換（IDCT）定義為：

其中0uM，0vN。

其中上述兩式中變量c定義為：

DCT是從傅里葉變換演變得來的，將原函數進行偶延拓，則其傅里葉變換結果則是實數函數，這樣可得到簡化的傅里葉表達式，將自變量離散化，就是所謂的離散余弦變換［5］。DCT繼承了傅里葉變換中的數據分解正交化特征，圖像進行DCT變換后，在頻域矩陣左上角表示低頻，右下角是高頻，而且變換矩陣在低頻的幅值大，在高頻的幅值小，而且大多數的圖像信號的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分，所以歸一化之后，會在高頻產生很多0系數，說明DCT比FFT變換具有更好的能量聚集度。而且當信號的統計特征符合或接近馬爾可夫過程的統計規律時，DCT的去相關性能力可以達到K-L變換［6］（Karhunen-Loeve變換）準最佳變換的效果，是圖像信號進行變換的最佳方法，因此被廣泛應用于數字圖像處理領域。

2 傳統Arnold圖像置亂

2.1 Arnold變換

Arnold變換最初是由俄國數學家Arnold提出的，又因其常采用貓臉（Cat）圖像來演示器置亂效果，故名Cat映射［7］，它具有可逆性以及結構穩定性等良好的性質［8］，設想將一個貓臉圖像繪制在平面的單位正方形中，通過如下公式進行變換處理：

經過（4）式處理后的貓臉圖像將由產生空間圖像像素的混亂，圖像的視覺效果又清晰變得模糊難辨，這種效果就是Arnold變換。

實際上式（4）定義的Arnold變換是把像素按照一定規則在空間位置進行移動，所有像素完成一次位置更換，可得一種置亂圖像，因此，這種像素點的位置更迭可以不斷地進行迭代多次，達到更深度的置亂效果。這種類似的空間域變換算法還有幻方變換以及面包師變換等等。

這里需要闡明的是Arnold變換的迭代具有周期性特點，即當迭代到某一步時，置亂圖像就能會復原成原始圖像，并且該周期大長短隨著參數N的變化會發生很大變化［9］，Dyson和Falk對Arnold變換的周期性進行了研究，指出對對于任意的 ，Arnold變換的周期為 ，這一結論可以指導使用者在算法實施時應避免設置迭代次數。

實際上，對于二維圖像空間像素的位置變換方式來說，根據Arnold變換人們演變出一類變換規律類似的空域置亂算法。其中，比較典型的算法有齊東旭［10］等所述，即針對如（5）式的2X2矩陣：

當（5）中各個元素滿足等式ad-bc=1時，其所展示的空間像素置亂規律都可作為空間置亂方法實現圖像的置亂。

為了提高離散Arnold變換在圖像置亂效果中的靈活性和安全性，對其變換矩陣C中的元素進行優化約束，當滿足如下關系式時，可獲得廣義的Arnold變換：

其中，參數a，b，c，d∈G且gcd（ad-bc， N） = 1.

針對（6）式，若a=1， d=1+bc，或a =1+bc，d=1，或b=1，c=ad-1，或b=ad-1，c=1時，則獲得典型廣義Arnold變換［11］。

2.2 傳統基于Arnold變換的置亂方法

數字圖像是模擬圖像的離散化，在計算機中撿起表示為一個數值矩陣。矩陣中元素的值就是對應該圖像在這個位置的RGB顏色分量值或灰度值。離散化Arnold變換就是專門針對正方形數字圖像的：

在式（7）中，N表示的是圖像的高度值和寬度值。

對數字化圖像來說，對應點的RGB顏色值或灰度值的移動就是前面所提到的位置，也就是將相應點（x， y）處的像素對應的RGB顏色值或灰度值置換到新位置（x'， y'）處。假如對某一數字圖像將其在左端輸出的（x'， y'）T做為下次Arnold變換的輸入，將這個過程重復做下去，那么我們想要得到的置亂后的圖像就是那幅當迭代到某一步時出現的符合要求的“雜亂無章”的圖像。

事實上，基于Arnold變換的置亂研究僅僅局限于在同一個方向上對圖像進行置亂，置亂效果不是很好，并且沒有恢復的過程，它的安全性由算法來決定，當秘密圖像的攻擊者知道所采用算法時，恢復這些圖像是很簡單的。同樣，Hilbert曲線以及Arnold反變換的數字圖象置亂算法也都存在一些缺陷，即安全性不夠高，置亂周期較短，需要進行較多次數的置亂變換才能使原始圖像雜亂無章，這些算法也不便應用于任意大小的數字圖像置亂中。基于這些方面的不足，在下一章中我們將提出一種新的基于DCT變換和Arnold變換的圖像置亂算法。

3 實現算法

基于Arnold變換的置亂研究僅僅局限于在同一個方向上對圖像進行置亂，置亂效果不是很好，并且沒有恢復的過程，它的安全性由算法來決定，當秘密圖像的攻擊者知道所采用算法時，恢復這些圖像是很簡單的。所以本文使用一種基于DCT和Arnold變換的圖像置亂新算法，如圖1所示：

第一步：將待置亂圖像進行DCT變換，獲得圖像的幅頻圖；

第二步：再在頻率域內采用Arnold變換對其置亂，獲得置亂圖像；

第三步：對置亂圖像進行Arnold逆變換，得到原幅頻圖的恢復圖像；

第四步：對恢復的幅頻圖進行DCT逆變換，恢復原始圖像。

圖1 兩種置亂算法對比圖

從上圖可以看出，相比原始基于Arnold置亂方法，本算法增加了一層基于D C T變換的圖像置亂的秘鑰，恢復過程中需要在完成傳統Arnold逆變換后進行DCT逆變換才能成功完成恢復，使得數字圖像在網絡傳輸過程中魯棒性和抗攻擊能力增強，從而安全指數得到極大提高，也無疑為其攻擊者在破譯時增加了很高的難度系數。

4 實驗測試和分析

4.1 本算法置亂實現

本實驗選取兩幅大小為256×256的圖像：Lena圖像和Singer圖像，在MATLAB上分別使用傳統基于Arnold圖像置亂算法與本章所述算法對兩幅圖像進行試驗，且實驗過程中對兩種算法都分別進行了10次置亂，如圖2與圖3所示。其中，圖2為針對Singer圖像的Arnold置亂和本算法置亂的結果對比。圖3為針對Lena圖像的Arnold置亂和本算法置亂的結果對比。

通過對比發現，進行10次置亂后兩種算法的置亂效果差別差別不大，而且本文所用算法要稍好于傳統算法的置亂效果，使得圖像在傳輸過程中的安全性得到了一定的保障。

圖2 兩種算法的singer圖像置亂比較

圖3 兩種算法的Lena圖像置亂

4.2 魯棒性測試

目前評價圖像置亂算法優劣可以從統計特性和魯棒性等多個方面進行評價，但本文主要從魯棒性來進行測試，所以在分別進行了10次Arnold置亂后，我們使用剪切破壞試驗來模擬攻擊者的攻擊，如圖4與圖5所示。

圖4 兩種算法的singer抗攻擊性對比

圖5 兩種算法的Lena抗攻擊性對比

經過相同位置相同大小的剪切破壞后后，再將其置亂圖像還原，通過比較傳統算法與本算法的恢復圖像發現，本算法的恢復圖像要明顯比傳統基于Arnold變換的算法要清晰平滑，即通過本文提出的算法可以抵抗常規的攻擊，具有更加穩健的健壯性。

5 結束語

針對傳統Arnold變換在圖像置亂中存在的視覺效果和安全性難以令人滿意的缺陷，本文在傳統的基于Arnold變換的圖像空間位置置亂方法的基礎上，討論了使用DCT變換方法來將原始圖像預置亂，再進行Arnold變換的圖像置亂方法。同時闡述了DCT變換與Arnold變換的基本原理，給出了兩者將結合進行圖像置亂的新算法，并通過實驗證明該算法的可行性以及其健壯的魯棒性，為圖像數據傳輸的安全性提供了可靠地的保證。雖然此算法加大了攻擊者破解圖像信息的難度，但是仍然存在被破譯的可能性，因此，在如何進一步提高置亂算法的有效性與安全性等方面都有待于研究。

參考文獻

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A New Algorithm for Image Scrambling Based on Arnold and DCT Transforming

Yunhua Zhang
（Information Institute， Qingdao University of Science and Technology， Qingdao， Shandong， 266061， China）

Abstract：Image scrambling is an important image encryption method whose main purpose is to screw the given image， so that the image information in the network transmission is not easy to be illegally obtained.In view of the shortcoming that can be easy to be cracked in the space position， a new image scrambling method based on transform domain is proposed in this paper.First， DCT transform for an image is performed and its amplitude-frequency picture is obtained.Then， Arnold transform in frequency domain for the picture is realized and the scrambling image is accomplished.In addition to detect its robustness the destruction test was done to against the attack.Experimental results showed that the algorithm is not only more robust， but also enhances the security of image scrambling algorithm relative to the traditional method.

Key words：Image scrambling； Information Encryption； DCT Transform； Arnold Transform

中圖分類號：TP242.2

文獻標識碼：A

文章編號：2095-8412 （2016） 02-142-05

DOI：工業技術創新 URL： http//www.china-iti.com 10.14103/j.issn.2095-8412.2016.02.009

作者簡介：

張運華（1980-），青島科技大學碩士研究生。研究方向：信息處理和加密。

E-mail： zhangyunhua2008@163.com