基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測模型

姚　成，　　袁宏俊

(安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠　233000)

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基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測模型

姚成，袁宏俊

(安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠233000)

摘要：將向量夾角余弦和誘導廣義有序加權對數平均(IGOWLA)算子相結合，構建了基于向量夾角余弦的IGOWLA算子的組合預測模型，并給出了優性組合預測的概念；最后，根據實例驗證了該組合預測模型是科學的和有效的，且此模型是優性組合預測.

關鍵詞：向量夾角余弦；誘導廣義有序加權對數平均算子；組合預測；優性預測

鑒于各個預測方法的優劣，在對指標數據進行預測的過程中，僅使用一種方法，勢必會影響預測精度.基于這一問題，Bates和Granger提出了組合預測的概念[1].在此之后，組合預測方法被廣泛應用到各個領域，同時越來越多的學者將組合預測方法作為自己的研究重點，并獲得了很多有價值的成果[2-7].Yager提出有序加權平均(OWA)算子[8]，但傳統的組合預測方法仍存在對不同單項預測方法取固定權系數的問題，基于此，學者們從改善某種擬合誤差的角度，提出了一系列基于不同算子的組合預測方法.例如，陳華友等在文獻[9-11]中在以誤差平方和為準則的條件下，分別依據不同的算子建立了組合預測模型，并給出了確定權系數的數學規劃模型；江立輝等[12]創新性的給出了誘導廣義有序加權對數平均算子(IGOWLA)的概念，并構建了根據IGOWLA算子的點預測的組合預測模型.傳統的組合預測方法大都是以不斷改善擬合誤差平方和為基礎來建立模型，從而求出權重系數，程玲華和陳華友[13]給出了依據向量夾角余弦的加權調和平均組合預測模型.本文在此基礎上，結合IGOWLA算子，從向量夾角余弦出發，建立基于向量夾角余弦的IGOWLA算子最優組合預測模型，并給出了針對該模型的優性組合預測的概念，最后，根據實例驗證了該組合預測模型是科學的和有效的.

1基本概念及組合預測模型

1.1IGOWLA算子

定義2[14]設〈v1,a1〉,〈v2,a2〉,…,〈vm,am〉為m個二維數組，令

(1)

(2)

在此稱GOWLAw是m維廣義有序加權對數平均算子，記為GOWLA算子，將a1,a2,…am由大到小進行排序，其中第i個數即為bi，λ∈(-∞,0)∪(0,+∞).

(3)

則稱函數IGOWLAw是m維廣義有序加權對數平均算子，簡稱IGOWLA算子，其中v-index(i)是v1,v2,…,vm中第i大的元素所對應的下標，v1,v2,…,vm稱為誘導變量，λ∈(-∞,0)∪(0,+∞).特殊地，若λ=1時，IGOWLA算子退化成IOGWA算子.

1.2基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測模型

假設某指標數據的實際值為xt(t=1,2,…,N)，此指標數據可以通過m種單項預測方法進行預測，xit是第i種預測方法t時刻相應的預測值(i=1,2,…,m;t=1,2,…,N).

定義5稱vit為在第t時刻第i種預測方法相應的預測精度，滿足

(4)

由(4)式知vit∈[0,1]，將vit記為xit的誘導值，因此，第t時刻可以得到預測精度和其對應的預測值的m個二維數組〈v1,x1〉,〈v2,x2〉,…,〈vm,xm〉.

設W=(w1,w2,…wm)T為IGOWLA算子中m種不同預測方法的加權向量，將第t時刻m種預測精度數據列v1,v2,…,vm由大到小進行排序，記v-index(i)是第i個預測精度的下標，根據定義4，可得預測精度序列v1,v2,…,vm所產生的IGOWLA算子組合預測值，記為：

在誘導廣義有序加權對數平均算子的組合預測模型中，為了方便測算，對其時間序列取對數λ次冪.

對(5)式兩邊取對數λ次冪，得到：

(6)

定義6令τi和τ分別為：

(7)

(8)

(9)

根據(9)式，(8)也可表示為：

(10)

τi和τ分別是第i種預測方法預測值數據列、組合預測值數據列與實際值數據列的向量夾角余弦.顯然τi，τ∈[0,1],且向量夾角余弦值越大表示組合預測精度越高.

式(9)表明基于IGOWLA算子組合預測值序列與實際觀察值序列的向量夾角余弦是組合預測方法的權重系數w1,w2,…wm的函數，且向量夾角余弦越大，表示組合預測方法效果越好.

因此，基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測模型表示為式(10)的最優化模型：

(11)

定義7如果τ>τmax，在此將權重w1,w2,…wm決定的組合預測模型稱為優性組合預測；如果τmin≤τ≤τmax，在此將此組合預測模型稱為非劣性組合預測；如果τ<τmin，在此將此組合預測模型稱為劣性組合預測.

定義7說明當各個單項預測值數據列與實際值數據列的向量夾角余弦最大值低于組合預測值數據列與實際值數據列向量夾角余弦值時，將此組合預測模型稱為優性組合預測模型.

2實例分析

為了驗證本文提出的組合預測模型的優越性，選出五種誤差對模型精度進行評價：

其中，i=1,2,…,m，表示第i種單項預測方法.

本文利用文獻[16]的數據進行基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測模型的分析，實際值和預測值數據見表1.

表1　實際值與預測值數據

依據(4)式測算出2種預測方法在11個時刻的預測精度，見表2.

表2　預測精度

將表2的數據代入模型(11)中，分別取λ為1、2、3，得到基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測模型的最優權重系數，見表3所示.

表3　最優權重系數

將最優權重系數代入(12)式的基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測模型:

(12)

可以計算出不同參數λ對應的基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測值，數據見表4所示.

表4　實際值及基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測值

利用文中給出的基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測模型的精度評價指標體系，可以分別計算出兩種單項預測方法和基于不同參數λ對應的IGOWLA組合預測方法的對應的預測誤差，如表5所示.

表5　預測誤差

由表5可以看出，在λ取1、2、3這三個值時，兩種預測方法的預測誤差值遠大于本文給出的組合預測模型的誤差值，表明了本文提出的組合預測方法好于以上兩種預測方法，可以給出精度更高的預測結果.

此外，通過(7)式能夠測算出兩種預測方法的預測值數據列與實際值數據列的向量夾角余弦，當λ取1時，得τ1=0.999981，τ2=0.999882；當λ取2時，τ1=0.999929，τ2=0.999571；當λ取3時，τ1=0.999849,τ2=0.999107.基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測模型測算出的預測值數據列與實際值數據列的向量夾角余弦，在λ取1、2、3時分別為0.999982、0.999931、0.999850，均大于max(τ1,τ2)，故根據定義7的表述可知本文給出的組合預測模型是優性組合預測.

綜上所述，可以得出基于向量夾角余弦的IGOWLA算子組合預測模型能夠很好地提高預測精度，是一種行之有效的預測方法.

3結語

本文將向量夾角余弦和誘導廣義有序加權對數平均(IGOWLA)算子相結合，建立了基于向量夾角余弦的IGOWLA算子的最優組合預測模型，并給出了優性組合預測的概念，最后，根據實例驗證了該組合預測模型是科學的和有效的，且此模型是優性組合預測.然而本文對基于向量夾角余弦的IGOWLA算子的最優組合預測模型的一些性質，例如優性組合預測的存在性等理論問題缺乏具體的討論，這些問題有待更深入的研究.

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[8]Yager R R.On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decisionmaking[J].Systems,Man and Cybernetics,IEEE Transactions on,1988(1):183-190.

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[11]陳華友,盛昭瀚.一類基于IOWGA算子的組合預測新方法[J].管理工程學報,2006(4):36-39.

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[14]Yager R R.Induced aggregation operators[J].Fuzzy Sets and Systems,2003(1):59-69.

[15]Zhou L G,Chen H Y.Generalized Ordered Weighted Logarithm Aggregation Operators and Their Applications to Group Decision Making[J].International Journal of Intelligent Systems,2010(7):683-707.

[16]楊蕾,陳華友,王宇.基于貼近度的誘導廣義OWA算子最優組合預測模型[J].統計與決策,2013(5):24-26.

Combination Forecasting Model Based on Vectorial Angle Cosine and IGOWLA Operator

YAO Cheng，YUAN Hong-jun

(AnhuiUniversityofFinanceandEconomics,Bengbu,Anhui233000)

Abstract：An optimal combination forecasting model is proposed based on the combination of vectorial angle cosine and the induced generalized ordered weighted logarithmic averaging(IGOWLA)operator．The conception of superior combination forecasting are given.And it is shown that the model can improve the accuracy of combination forecasting effectively by an example calculation.

Key words：vectorial angle cosine；induced generalized ordered weighted logarithmic averaging(IGOWLA)operator；combination forecasting；superior forecasting

收稿日期：2016-03-21

基金項目：教育部人文社會科學研究青年基金項目：區間型組合預測創新方法及其有效性的研究(12YJC630277)；安徽財經大學重點科研基金資助項目：廣義信息集成算子的構成及其應用的研究(ACKY1612ZDB).

作者簡介：姚成，1990年生，男，安徽亳州人，碩士研究生，研究方向：經濟統計；

中圖分類號：O224

文獻標識碼：A

文章編號：1671-9743(2016)05-0025-05

袁宏俊，1978年生，男，安徽廬江人，副教授，碩導，研究方向：組合預測.