探討高階有理差分方程的全局動力學行為的發展

劉純英

【摘 要】本文主要探討了非線性有理差分方程的全局漸近穩定性證明的發展歷程，并總結了有理差分方程的全局動力學行為證明方法。

【關鍵詞】差分方程；全局漸近穩定性；全局動力學行為

20世紀90年代以前的計算數學工作者都致力于各種差分方程的計算方法研究，數值計算誤差分析以及保證計算的精度符合實際的要求等等，之后至今數十年來，差分方程的理論研究發展的較為迅猛，出現了大批的成果，而這些成果中尤其具有代表性的著作是1992年R.P.Agarwal的專著[1]和1993年V.L.Kocic，G.Ladas的專著[2]. Agarwal從差分方程的基本理論，包括基本概念和符號，到已經發表的文獻中重要結果進行了詳盡的系統的闡述。該書在2000年進行了再版，擴充了一些內容并且補充了一些具有實際意義的模型。而Kocic與Ladas的專著[2]中在介紹基本理論，總論已有結果和方法的基礎上提出了許多研究問題。并且把研究過程中遇到解決不了問題在書中以“Open problems and Conjectures”的形式提出，這引起了研究者的極大的興趣。

到1995年國際差分方程專業期刊《Journal of Difference Equation and Applications》的創業更加推動了差分方程的理論發展，尤其是雜志主編G.Ladas教授把各國學者在研究過程中遇到的難題以“Open problems and Conjectures”的形式在雜志專欄中提出，為差分方程理論研究提供了有意義的課題。

近來，高階有理型差分方程的定性性質引起了大家的極大興趣，高階有理型差分方程的全局動力學行為是近幾年來各國研究差分方程的熱點，這是因為非線性差分方程的全局行為的基本理論的發展的結果都來自于高階有理型差分方程。

研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局漸近穩定性沒有固定的方法，對不同的問題所用的研究方法不同，Lyapunov 泛函方法仍是一種有力的工具，尋找有效的手段研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局漸近穩定性還有待于進一步探索。

正是在此基礎上，對四階及以上階次的差分方程解的全局漸近穩定性進行研究，這將對差分方程解的定性性質的研究有極大的推動作用。

差分方程經常用于模擬生物學，電子學，生物學，工程學和經濟學等學科中出現的微分方程或時滯微分方程的離散模擬或數值求解。近年來，全局漸近穩定性的定性性質引起了大家的極大興趣，通過對有理差分方程的全局漸近穩定性的研究，通過分析關于平衡解的半環的分布規律來確定平衡解的穩定性，得到了此類有理差分方程解的全局漸近穩定性的一些充分條件。這些性質在生態學，物理，化學，工程，醫學等諸多方面的研究中都有非常重要的應用，因此，對它的研究具有重要的實際意義和應用前景。

【參考文獻】

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[責任編輯：楊玉潔]