探討高階有理差分方程的全局動(dòng)力學(xué)行為的發(fā)展

劉純英

【摘 要】本文主要探討了非線性有理差分方程的全局漸近穩(wěn)定性證明的發(fā)展歷程，并總結(jié)了有理差分方程的全局動(dòng)力學(xué)行為證明方法。

【關(guān)鍵詞】差分方程；全局漸近穩(wěn)定性；全局動(dòng)力學(xué)行為

20世紀(jì)90年代以前的計(jì)算數(shù)學(xué)工作者都致力于各種差分方程的計(jì)算方法研究，數(shù)值計(jì)算誤差分析以及保證計(jì)算的精度符合實(shí)際的要求等等，之后至今數(shù)十年來，差分方程的理論研究發(fā)展的較為迅猛，出現(xiàn)了大批的成果，而這些成果中尤其具有代表性的著作是1992年R.P.Agarwal的專著[1]和1993年V.L.Kocic，G.Ladas的專著[2]. Agarwal從差分方程的基本理論，包括基本概念和符號(hào)，到已經(jīng)發(fā)表的文獻(xiàn)中重要結(jié)果進(jìn)行了詳盡的系統(tǒng)的闡述。該書在2000年進(jìn)行了再版，擴(kuò)充了一些內(nèi)容并且補(bǔ)充了一些具有實(shí)際意義的模型。而Kocic與Ladas的專著[2]中在介紹基本理論，總論已有結(jié)果和方法的基礎(chǔ)上提出了許多研究問題。并且把研究過程中遇到解決不了問題在書中以“Open problems and Conjectures”的形式提出，這引起了研究者的極大的興趣。

到1995年國(guó)際差分方程專業(yè)期刊《Journal of Difference Equation and Applications》的創(chuàng)業(yè)更加推動(dòng)了差分方程的理論發(fā)展，尤其是雜志主編G.Ladas教授把各國(guó)學(xué)者在研究過程中遇到的難題以“Open problems and Conjectures”的形式在雜志專欄中提出，為差分方程理論研究提供了有意義的課題。

近來，高階有理型差分方程的定性性質(zhì)引起了大家的極大興趣，高階有理型差分方程的全局動(dòng)力學(xué)行為是近幾年來各國(guó)研究差分方程的熱點(diǎn)，這是因?yàn)榉蔷€性差分方程的全局行為的基本理論的發(fā)展的結(jié)果都來自于高階有理型差分方程。

研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局漸近穩(wěn)定性沒有固定的方法，對(duì)不同的問題所用的研究方法不同，Lyapunov 泛函方法仍是一種有力的工具，尋找有效的手段研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局漸近穩(wěn)定性還有待于進(jìn)一步探索。

正是在此基礎(chǔ)上，對(duì)四階及以上階次的差分方程解的全局漸近穩(wěn)定性進(jìn)行研究，這將對(duì)差分方程解的定性性質(zhì)的研究有極大的推動(dòng)作用。

差分方程經(jīng)常用于模擬生物學(xué)，電子學(xué)，生物學(xué)，工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中出現(xiàn)的微分方程或時(shí)滯微分方程的離散模擬或數(shù)值求解。近年來，全局漸近穩(wěn)定性的定性性質(zhì)引起了大家的極大興趣，通過對(duì)有理差分方程的全局漸近穩(wěn)定性的研究，通過分析關(guān)于平衡解的半環(huán)的分布規(guī)律來確定平衡解的穩(wěn)定性，得到了此類有理差分方程解的全局漸近穩(wěn)定性的一些充分條件。這些性質(zhì)在生態(tài)學(xué)，物理，化學(xué)，工程，醫(yī)學(xué)等諸多方面的研究中都有非常重要的應(yīng)用，因此，對(duì)它的研究具有重要的實(shí)際意義和應(yīng)用前景。

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[責(zé)任編輯：楊玉潔]