完美數：極具挑戰的數學難題

曹向東/編譯

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完美數：極具挑戰的數學難題

曹向東/編譯

今年1月7日，美國數學家庫珀通過參與一個名為“互聯網梅森素數大搜索”（GIMPS）的國際合作項目，找到了目前人類已知的最大完美數——2^74207280（2^74207281-1）。它是第49個完美數，長達44 677 235位；如果用普通字號將它連續打印下來，其長度可達200公里！這一數論研究新成果的問世也使“完美數”這一數學概念走進公眾視野。美國布朗大學曹向東博士特為本刊發來此稿，對人類探索完美數的歷程及其科學意義、實用價值等作了詳盡和深入淺出的介紹。

公元前三世紀，古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》第九章中首次給出了尋找完美數2^（P-1）（2^P-1）的方法，被譽為歐幾里得定理；由此開創了研究2^P-1型素數的先河

完美數又稱“完全數”、“完備數”或“完滿數”，是一種特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函數），恰好等于它本身。

完美數的由來

古希臘學者對數字情有獨鐘。他們在對數的因數分解中，發現了一些奇妙的性質，如有的數的真因數之和彼此相等，于是誕生了親和數（如最小的一對親和數220和284）；而有的真因數之和居然等于自身，于是發現了完美數（如最小的一個完美數6）。公元前4世紀，古希臘哲學家柏拉圖在其所著的《理想國》一書中首先提出了完美數的概念。但在公元前6世紀，古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯及其學派就已經開始探究完美數了。

畢達哥拉斯曾經說過：“6象征著完美的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不過，有人認為古印度人和以前生活在西亞地區的希伯來人早就知道完美數特征了，而古希臘人則將人們對完美數的認識提升到了一個更高的層次。

在中國文化里，有六常（仁、義、禮、智、信、孝）、六畜（牛、羊、馬、豬、狗、雞）、六谷（稻、黍、稷、粱、麥、苽）、六書（象形、指事、會意、形聲、轉注、假借）、六味（苦、酸、甘、辛、咸、淡）等說法，還有六出紛飛、六根清靜、六合之內、六神無主、身懷六甲、六六大順等成語。在中國歷史長河中，六之所以熠熠生輝，是因為它是一個完美數，也是人們最先認識的完美數。難怪有學者說，中國發現完美數比其他國家還早。

《圣經》注釋家通常認為，6是上帝創造世界時所用的基本數字，上帝花了6天時間創造萬物。而古羅馬天主教思想家圣·奧古斯丁卻認為，6這個數本身就是完美的，并不因為上帝造物用了6天；事實上，因為這個數是一個完美數，所以上帝在6天之內把一切事物都造好了。這使得完美數充滿了神秘的色彩，所以有些書籍稱之為“上帝之數”。

公元前三世紀，古希臘數學家歐幾里得在其名著《幾何原本》中證明了素數有無窮多個，如2、3、5、7、11等等。該書第九章最后一個命題首次給出了尋找完美數的方法，被譽為歐幾里得定理：“如果2^P-1是素數（其中指數P也是素數），則2^（P-1）（2^P-1）是完美數。”并給出了證明。

1644年，法國數學家梅森在未經證明的情況下斷言：當P≤257時，只有這11個完美數。這就是著名的“梅森猜測”

公元一世紀，畢達哥拉斯學派成員、古希臘數學家尼可馬修斯在其數論專著《算術入門》中，正確地給出了 6、28、496和8 128這四個完美數，并通俗地復述了歐幾里得尋找完美數的定理及其證明。他還將自然數劃分為三類：富裕數、不足數和完美數，其意義分別是小于、大于和等于所有真因數之和。

完美數在古希臘誕生后，吸引著人們像淘金般去尋找。可是，一代又一代人付出了無數的心血和汗水，第5個完全數沒人找到。后來，由于歐洲不斷進行戰爭，希臘科學逐漸衰退，一些優秀的科學家帶著他們的成果和智慧紛紛逃往阿拉伯、印度、意大利等國，從此，希臘文明一蹶不振。

極艱辛的探究

到了13世紀，完美數的研究才出現一線曙光。意大利數學家斐波那契經過推算宣布找到了一個尋找完美數的有效法則，可惜沒有人共鳴，成為過眼煙云。光陰似箭，1456年，還當人們迷惘之際，有人偶然發現在一位無名氏的手稿中，竟神秘地給出了第5個完美數33 550 336。這比起第4個完美數8 128大了4 000多倍。跨度如此之大，在計算落后的年代可想發現者之艱辛了，但是手稿里沒有說明他是用什么方法得到的，又沒有公布自己的姓名，這更使人迷惑不解了。

在無名氏的成果鼓勵下，15至19世紀是研究完美數不平凡的日子，其中17世紀出現了小高潮。16世紀意大利數學家塔塔利亞小時曾被法國入侵者用刀砍傷舌頭，落下了口吃的疾患，后來靠自學成才。他研究發現：當N=2和N=3至39的奇數時，2^（N-1）（2^N-1）是完美數。

17世紀有“神算大師”之稱的龐格斯在一本洋洋700頁的巨著《數的玄學》中，一口氣列出了28個所謂“完美數”，他是在塔塔利亞給出的20個的基礎上補充了8個。可惜兩人都沒有給出證明和運算過程，后人發現其中有許多是錯誤的。

意大利數學家克特迪歷盡艱辛，終于在1588年正確地發現了第6個和第7個完美數2^16（2^17-1）和2^18（2^19-1），但他又錯誤地認為2^22（2^23-1）、2^28（2^29-1）和2^36（2^37-1）也是完美數。這三個數后來被法國數學家費馬和瑞士數學家歐拉否定了。

1644年法國數學家梅森在其所著的《物理數學隨感》一書中指出，龐格斯給出的28個“完美數”中，只有8個是正確的，即當P=2、3、5、7、13、17、19 和31時，2^（P-1）（2^P-1）是完美數，同時又增加了P= 67、P=127和P=257。在未證明的情況下他武斷地說：當P≤257時，只有這11個完美數。這就是著名的“梅森猜測”。

“梅森猜測”吸引了許多人的研究，德國數學家萊布尼茲和哥德巴赫都認為是對的；他們低估了完美數的難度。1730年9月，被稱為世界四大數學家雄獅之一的歐拉，時年23歲，正值風華茂盛。他出手不凡，給出了一個出色的定理：“每一個偶完美數都是形如2^（P-1）（2^P-1）的自然數，其中P是素數，2^P-1也是素數”，并給出了證明。這是歐幾里得定理的逆定理。有了歐幾里得和歐拉兩個互逆定理，公式2^（P-1）（2^P-1）就成為判斷一個偶數是不是完美數的充要條件了。

歐拉研究“梅森猜測”后指出：“我冒險斷言：每一個小于50的素數，甚至小于100的素數使2^（P-1）（2^P-1）是完美數的僅有P取2、3、5、7、13、17、19、31、41和47，我從一個優美的定理出發得到了這些結果，我自信它們具有真實性。”

1772年歐拉因過度拼命工作雙目已經失明了，但他仍未停止探究；他在致瑞士數學家丹尼爾的一封信中說：“我已經心算證明 P=31時，2^30 （2^31-1）是第8個完美數。”他的頑強毅力和解題技巧令人贊嘆不已。同時，他發現自己過去認為P=41和P=47時是完美數是錯誤的。歐拉定理和他發現的第8個完美數的方法，使完美數的探究發生了深刻變化，可是人們仍不能徹底解決“梅森猜測”。

1876年法國數學家魯卡斯創立了一種檢驗素數的新方法，證明P=127時確實是一個完美數，這使“梅森猜測”之一變成事實；他的新方法給人們探究完美數帶來了生機，同時也動搖了“梅森猜測”，因為數學家借助他的新方法發現猜測中P=67和P=257時不是完美數。在以后1883至1931年的48年間，數學家發現“梅森猜測”中P≤257范圍內漏掉了P=61、P=89和P=107時的3個完美數。

雖然“梅森猜測”中有錯漏，但是梅森在17世紀的歐洲起了一個極不平常的思想通道作用，在學人心目中有著崇高的地位。為了紀念他對科學的貢獻，1897年在首屆國際數學家大會上（2^P-1）型的素數被命名為“梅森素數”。可以說，只要找到梅森素數，就可以找到與其對應的完美數。

在完美數的探究歷程中，出現過很多有趣的事件。例如，1936年3月27日，美聯社（AP）播出了一條令外人都瞠目結舌的新聞：紐約《先驅論壇報》報道說，芝加哥的數學家克利格宣稱自己發現了一個155位的完美數2^256（2^257-1）；他認為自己已證明2^257-1是個素數。克利格說他花了17個小時把它算了出來，但證明它卻用了5年之久。其實早在1922年，比利時數學家克萊契克運用抽屜原理驗證了2^257-1不是素數。克利格下這樣的結論，實在令人驚嘆他孤陋寡聞。

在“手算筆錄年代”，人們前赴后繼，不斷另辟新路徑，創造新方法，耗時兩千多年，僅找到12個完美數，即P=2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107和127時，2^（P-1）（2^P-1）是完美數。17世紀，法國數學家、哲學家、物理學家笛卡爾曾經公開預言：“能找出完美數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美人亦非易事。”歷史也證實了他的預言。完美數稀少而優美，所以被人們稱為 “數論寶庫中的 ‘鉆石’”。

計算機來助力

電子計算機的出現，大大加快了探究完美數的步伐。1952年美國數學家魯濱遜將“盧卡斯-萊默檢驗法”編譯成計算機程序，使用SWAC型計算機在幾個月內，就找到了5個梅森素數：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。也就是說，他發現了5個完美數。

2016年，美國數學家庫珀找到了目前人類已知的最大完美數2^74207280（2^74207281-1），它是第49個完美數，長達44 677 235位

探究完美數不僅極富挑戰性，而且對探究者來說有一種巨大的自豪感。例如，1963年6月2日晚上8點，當第23個梅森素數2^11213-1通過大型計算機被找到時，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節目播放，在第一時間發布了這一重要消息。而發現這個素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系里發出的信封都蓋上了“2^11213-1是個素數”的郵戳。由此可知，第23個完美數是2^11212（2^11213-1）。

隨著指數P值的增大，每一個完美數的產生都艱辛無比；而數學家和數學愛好者仍樂此不疲，激烈競爭。例如，在1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數2^23209-1時，有人告訴他們：在兩星期前美國加州的高中生諾爾就已經給出了同樣結果。為此他們潛心發奮，又花了一個半月的時間，使用Cray-1型計算機找到了新的梅森素數2^44497-1。這件事成了當時不少主流報紙的頭版新聞。后來史洛溫斯基還獨自發現了6個梅森素數，因而被人們譽為“素數大王”。也可以說，他是“完美數大王”。

分布式計算技術的出現使完美數的探究如虎添翼。1996年初，美國計算機專家沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，并把它放在網頁上供數學家和業余數學愛好者免費使用。這就是舉世聞名的“互聯網梅森素數大搜索”（GIMPS）項目，也是全世界第一個基于互聯網的分布式計算項目；該項目主要利用大量普通計算機的閑置處理能力來獲得相當于超級計算機的運算能力。美國計算機專家庫爾沃斯基于1997年建立了 “素數網”（PrimeNet），使分配搜索區間和向GIMPS發送報告自動化。人們只要從該項目下載開放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以馬上尋找梅森素數了。

為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格技術的發展，總部設在美國的電子新領域基金會（EFF）于1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項目來尋找梅森素數而設立的 “協同計算獎”。它規定向第一個找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元。后面的獎金依次為：超過1千萬位數，10萬美元；超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。但是絕大多數研究者參與該項目并不是為了金錢，而是出于好奇心、求知欲和榮譽感。

美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家史密斯于2008年首先找到超過1千萬位的梅森素數——2^43112609-1，該數有12 978 189位。這一重大成就被著名的《時代》雜志評為“2008年度50項最佳發明”之一。不過，史密斯是私自利用學校的75臺計算機參加GIMPS項目的；本來這種行為應該被處罰，但鑒于他為學校爭了光，反而受到了校方的表彰。前不久，他獲得了EFF頒發的10萬美元大獎及金牌一枚。

今年1月7日，美國數學家庫珀通過參與GIMPS項目找到了目前人類已知的最大完美數——2^74207280（2^74207281-1）。它是第49個完美數，長達44 677 235位；如果用普通字號將它連續打印下來，其長度可達200公里！澳大利亞數學家帕克指出，這是一個巨大的科學成就。

目前世界上有 192個國家和地區 60多萬人使用超過100萬臺計算機參與GIMPS項目。迄今為止，人們通過該項目已經找到15個梅森素數，其發現者來自美國（9個）、德國（2個）、英國（1個）、法國（1個）、挪威（1個）和加拿大（1個）。也就是說，有15個完美數是通過 GIMPS項目被發現的。全球間接尋找新完美數的“數字游戲”仍在進行中。

有何實用價值

由于完美數具有奇特的性質、無窮的魅力和極大的挑戰性，千百年來一直吸引著眾多數學家和無數數學愛好者對它進行探究。也許有人會問：完美數有什么用？盡管我們現在還看不到完美數的實際用處，但它反映了自然數的某些基本規律，并推動了“數學皇后”——數論的研究。而構成完美數的關鍵部分——梅森素數在當代卻具有重要的實用價值。

在計算機檢測技術方面，梅森素數的尋找可以發現計算機芯片存在的問題。例如，去年第四季度上市的Intel Skylake是美國英特爾公司的第六代核心處理器，這個全新一代的處理器與第五代Broadwell處理器一樣使用14納米工藝，號稱不僅提升了CPU性能尤其3D游戲性能，還特別注重節能性。但是今年初德國一名GIMPS項目參與者發現：當Intel Skylake處理器在執行Prime95應用來尋找梅森素數時，運算到指數P=14942209就出現了觸發系統死機的漏洞。

Prime95是一款運行于微軟視窗中的開源軟件，由創立GIMPS項目的沃特曼編寫；這款軟件可以用來測試系統的穩定性。在所有的拷機軟件中，Prime95是公認的最殘酷的一款。它把負荷高得有點離譜的工作量加載在CPU身上，以此來考驗CPU的承受能力。這種測試因其可以發現其他測試程序無法發現的穩定性問題而備受關注，被計算機制造商用來確定計算機的穩定性。美國克雷公司、蘋果公司等從20世紀90年代開始就利用梅森素數來測試計算機的功能。有趣的是，1996年克雷公司在測試超級計算機 Cray T94的運算速度時，意外發現了第34個梅森素數2^1257787-1，該數長達378 632位。難怪美國數學家埃倫伯格認為，梅森素數在計算機工程領域的價值要遠大于數學領域的價值。

此外，梅森素數在密碼學方面有潛在的應用。現在人們已將大素數用于現代密碼設計領域（如公鑰加密和數字簽名），其原理是：將一個很大的數分解成若干素數的乘積非常困難，但將幾個素數相乘卻相對容易得多。在這種密碼設計中，需要使用較大的素數，素數越大，密碼被破譯的可能性就越小。

等待破解之謎

2500多年來，被發現的49個完美數，統統都是偶數，其中個位數不是6就是8，于是數學家提出疑問：存不存在奇數的完美數？1496年法國人文主義學者戴塔普勒說，歐幾里得定理已給出所有的完美數，因此暗示無奇完美數存在。1633年11月，笛卡爾給梅森的一封信中，首次開創奇完美數的研究，他認為每一奇完美數必具有 PQ^2的形式，其中P是素數，并聲稱不久他會找到，可不僅直到他去世時未能找到，而且至今沒有任何一個數學家發現一個奇完美數。這已成為數論領域的一大難題。

雖然目前誰也不知道奇完美數是否存在，但經過一代又一代數學家研究計算，有一點是明確的，那就是如果存在一個奇完美數的話，那么它一定是非常大的。有多大呢？遠的不說，上世紀中期挪威數學家奧爾檢查過10^18以下自然數，沒有一個奇完美數；1967年美國數學家塔克曼宣布，如果奇完美數存在，它必須大于10^36，這是一個37位數；1972年，有人證明它必大于10^50；1982年，又有人證明它必須大于10^120；……這種難于捉摸的奇完美數也許可能有，但它實在太大，以至超出了人們能夠用計算機計算的范圍了。對奇完美數是否存在，產生如此多的估計，也是數學界的一大奇聞！

關于完美數還有許多等待破解之謎，如完美數之間有什么關系？完美數是否無窮多個？人們還發現完美數的一個奇妙現象：把一個完美數的各位數字加起來得到一個數，再把這個數的各位數字加起來，又得到另一個數，一直這樣做下去，結果一定是1。例如，對于28，2+8=10，1+0=1；對于496有，4+ 9+6=19，1+9=10，1+0=1等等。這一現象，對除第1個完美數6外的所有完美數是否成立？完美數另一個現象更為奇妙：完美數可表示為連續奇數的3次方之和。例如，28=1^3+3^3，496=1^3+3^3+5^3+ 7^3，8128=1^3+3^3+5^3+…+15^3；而第 5個完美數33550336的被加者多達64項，難怪古人找它就花了1 000年。這一現象，對除6外的所有完美數是否也成立？完美數的難題與其他數學難題一樣，有待人們去攻克；而破解這些未知之謎，正是科學追求的目標。

1992年，中國數學家、語言學家周海中給出了梅森素數分布的精確表達式。后來這一重大成果被命名為“周氏猜測”

值得一提的是，人們在尋找完美數的同時，對梅森素數的重要性質——分布規律的研究也一直在進行著。從已發現的梅森素數來看，它在正整數中的分布時疏時密、極不規則，因此研究梅森素數的分布規律似乎比尋找新的完美數更為困難。英、法、德、美等國的數學家都曾經給出過有關梅森素數分布的猜測，但他們的猜測都以近似表達式給出，而且與實際情況的接近程度均難如人意。中國數學家、語言學家周海中經過多年的努力，于1992年 2月首先給出了梅森素數分布的精確表達式；后來這一重大成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主塞爾伯格認為，周氏猜測具有創新性，開創了富于啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。就目前研究文獻來看，一些數學家和數學愛好者嘗試破解周氏猜測，卻至今未能證明或反證。

俗話說，“一葉知秋”、“滴水映海”。當我們追溯完美數探究歷程之時，可以窺見其探究蘊含著數學家及數學愛好者的辛勤努力，正是由于他們的不懈奮斗，才取得了可喜的進展，并創造了今天的輝煌。

［資料來源：www.mathworld.com］［責任編輯：彥 隱］