窄方腔軟湍流Rayleigh—Bénard熱對流中角渦的三維發卡渦結構

包蕓+張義招+徐煒

摘要：通過直接數值模擬（Direct Numerical Simulation，DNS）求解三維窄方腔湍流Rayleigh-Bénard（RB）熱對流流場，討論尺度比為1/4的三維窄方腔中的流動.三維方腔流場的流線圖和速度場與二維流場一致，都反映出大尺度環流和角渦的軟湍流流動特征.進一步觀察三維流線圖發現，在近底板附近流線的走向并不是沿著大尺度環流的方向.轉換三維流線圖的觀察角度，可明顯看到近底板附近流線是螺旋狀的，并與角渦相連.分析整個流場的渦旋特征發現，在窄方腔熱對流中沿底板棱邊區域產生渦對與角渦連接形成三維發卡渦流動的結構.

關鍵詞：三維發卡渦結構； 窄方腔； 直接數值模擬； Rayleigh-Bénard熱對流

中圖分類號： O357.5

文獻標志碼： B

Abstract：The flow field of 3D turbulent Rayleigh-Bénard（RB） convection in a narrow square cavity is solved by Direct Numerical Simulation （DNS）， and the simulation results in the narrow square cavity with 1/4 scale ratio are discussed. The streamline chart and the velocity field chart of 3D cavity are consistent with those of 2D flow field， which show the soft turbulent flow characteristics of the large scale circulation and the corner vortex. The further observation indicates that the streamline direction near the bottom plate is not along the direction of the large scale circulation. Turning the viewing angle of the 3D streamline chart， it can be obviously seen that the streamlines near bottom plate is spiral and connected to the corner vortex. The analysis on the vortex characteristics of the whole flow field shows that， in the heat convection of the narrow square cavity， there is a 3D hairpin vortex structure generated by the connection of a vortex pair near the bottom plate edge with corner vortex.

Key words：3D hairpin vortex structure； narrow square cavity； direct numerical simulation； Rayleigh-Bénard convection

0 引 言

熱對流是一種常見的現象，與人類的生產和生活關系密切.自然界中的熱對流現象普遍存在，例如地球大氣層的熱對流運動和地幔的熱對流運動.工業領域的冷卻系統、電子設備的散熱裝置等也都是熱對流過程.[1]

Rayleigh-Bénard（RB）熱對流是從各種復雜的熱對流運動中抽象出來的典型模型.RB熱對流是讓流體在下壁面加熱、上壁面冷卻的封閉空間內，受到浮力和重力的作用而運動形成的流動.RB熱對流系統是過去幾十年許多科學工作者研究的熱點問題，已有大量的實驗和相關理論研究成果[2-3]，其中典型的大尺度流動結構有在軟湍流區的大尺度環流和角渦[4-6]等.

本文研究三維RB熱對流的直接數值模擬（Direct Numerical Simulation，DNS），計算三維窄方腔內的熱對流流動，討論熱對流的流場特性和三維角渦結構.

1 物理模型和控制方程

整個窄方腔的幾何尺寸為長Lx，寬Ly，高Lz，見圖1.窄方腔的窄邊即為底面矩形寬Ly，由于寬Ly小于長Lx，而長Lx等于高Lz，故在本文中稱其為窄方腔.定義窄方腔尺度比為Ly與Lx的比.

式中：[WTHX]V[WT]為速度矢量；p為壓力；θ為溫度；Ra為瑞利數；Pr為普朗特數.

對于固定幾何形狀的對流裝置，RB熱對流的流動狀態由2個無量綱參數確定：一是瑞利數Ra=gaΔTH3/νκ，二是表征物質物理性質的普朗特數Pr=ν/κ.所有壁面使用固壁無滑移速度邊界條件和無梯度壓力邊界條件.溫度在側壁面使用絕熱邊界條件，上壁面溫度為-0.5，下壁面溫度為0.5.

RB熱對流的2個重要響應參數為雷諾數Re和努塞爾數Nu.Nu表征通過對流裝置的實際總熱量J與熱傳導的熱量的相對大小.

基于Oberbeck-Boussinesq方程近似的RB熱對流問題屬于典型的不可壓縮黏性流動問題.本文基于投影法的思路，在交錯網格上使用2階有限差分離散控制方程，時間采用1階向前的差分格式.投影法中計算量最大的部分是全場聯立的壓力泊松方程的求解，合理設計壓力泊松方程求解方法對于提高湍流RB熱對流直接模擬效率有重要的意義.采用一種新的針對塊三對角泊松方程的近似求解方案[8]實現泊松方程在超級計算機上高效并行求解，在此基礎上建立三維DNS高效并行直接求解方法[9]，并使用該方法進行三維高Ra湍流熱對流的數值模擬計算.

2 窄方腔熱對流流動特性中的角渦三維結構

算例的尺度比取1/4，Ra=1.0×109，Pr=4.3，計算網格在x和z方向為壁面加密的變距網格，較窄的y方向為等距網格，網格總數為Nx×Ny×Nz=500×65×511.計算迭代400萬時間步.200萬計算時間步后能看到穩定的大尺度環流等流動結構，再進行平均場物理量的統計計算.

2.1 窄方腔熱對流的平均場特性

平均場流動特性三維圖見圖2，流動狀態與二維流動的流動狀態一致，處于軟湍流區.在流線圖和中截面速度矢量圖中都可以看到明顯的大尺度環流和角渦.與二維相應的流動對比，給出的二維方腔熱對流平均場流線圖和速度矢量圖見圖3.在圖2和3中大尺度環流和角渦這2個宏觀流動結構一致，但流動細節上仍存在一些差異.

對比圖2a和3a可知二者的角渦和大尺度環流的大小相近，但形狀略有不同.二維時大尺度環流的

形狀接近橢圓且在頂部有小的角渦存在，而三維流動中的大尺度環流為梭形且流線頂到方腔的角點.這一點在圖2b和3b中也能看到.二維時角渦基本

對稱且渦心在中間部位，三維時由中間截面的速度分布看到角渦的渦心被擠向邊壁.由流線圖可以看到二維時流動的最大速度是在大尺度環流和角渦的交接線上，而三維時最大速度分布在側壁上.

認真觀察圖2a平均場的流線圖會驚異地發現，在近底板區域的流線并不是沿大尺度環流的方向運動，而是在貼近前后壁區域沿豎直方向似螺旋狀離開底板.因此，檢查該區域是否會出現特殊的流動結構.

發揮三維圖形的特點，轉換三維視圖的觀察角度，給出不同視角的三維流線圖，見圖4.圖4中三維流動中的角渦向兩邊彎折，具有明顯的三維渦旋流動結構.

2.2 角渦的三維發卡狀渦旋結構

由于渦旋運動復雜，難以準確定義，對渦旋的識別通常采用渦旋的判據進行研究.此處采用渦旋Q判據研究三維湍流熱對流流動中角渦的渦旋流動結構.

取Q=0.25得到的三維窄方腔熱對流平均場渦旋分布見圖5.在窄方腔的上下壁面附近各自存在1個連續的發卡狀渦旋.也就是說在窄方腔熱對流中，角渦受前后壁面的影響，在窄方腔的近底板區域形成三維發卡狀角渦結構，2個分布區呈現中心對稱關系.與圖4平均場流線對比可以看出：在大尺度環流的上下部分，即近上下壁面的區域中存在較強的對渦渦旋，并與角渦連接生成發卡狀渦旋結構.這個三維的發卡狀渦旋結構誘導流動使得近底板區域的流線呈現與繞對渦旋轉流動方向一致的螺旋狀，而不是沿大尺度環流的流動方向.

下壁面附近的發卡狀渦旋分布放大圖見圖6，并給出3個平行于左右側壁的豎直截面上的速度矢量.三維發卡狀角渦的2個渦腳在近底板區域沿長棱形成1個對渦.對渦誘導的速度沿前后壁面垂直

向上再向里卷，使得近底板附近區域的流動與二維中隨大尺度環流方向一致的運動不同，呈現出圖4中的螺旋狀流線.

3 結 論

通過DNS的方法研究當Ra=1.0×109，Pr=4.3時尺度比為1/4的窄方腔熱對流系統.分析窄方腔熱對流的三維流動特性，討論其溫度特性和傳熱效率的空間分布特征，得到以下結論：1）在窄方腔軟湍流區的流動中，三維RB熱對流的流動與二維流動比較，都存在大尺度環流和角渦，而且大尺度環流和角渦的尺寸基本一致；2）在三維窄方腔的中截面上的流動中，大尺度環流和角渦的形狀與二維流動中的有差別；3）在三維流動的流線圖中，近底板區域的流動并不是沿著大尺度環流的流動方向的，而是垂直底板方向，通過觀察三維流線視圖發現，近底板區域的流線是螺旋狀的，而角渦沿近底板的側棱向兩邊彎曲，形成三維發卡狀渦旋結構.

由三維發卡狀角渦引起的近底板螺旋狀流動的流態變化導致物理傳熱特性的改變有待進一步深入研究.

參考文獻：

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ZHANG Y Z， BAO Y. Direct solution method of efficient large-scale parallel computation for 3D turbulent Rayleigh-Bénard convection[J]. Acta Physica Sinica， 2015， 64（15）： 154702.

（編輯 武曉英）