位移法淺水波方程的解及其特性

姚征+鐘萬勰

摘要：不同于傳統流體力學，在Lagrange坐標下推導淺水波方程.若將水平位移作為基本變量，則推導出的淺水波數學模型可描述為固體力學的非線性大位移問題.運用不可壓縮條件，通過變分原理推導出位移法淺水波方程，給出橢圓函數形式的行波解，并分析孤波解產生的條件.該基礎研究建立了在分析結構力學中分析淺水波問題的理論基礎，有利于進一步開展水動力學的研究.

關鍵詞：

淺水波； Lagrange坐標； 孤立波； 橢圓函數； 微分代數方程； 保辛； 分析結構力學

中圖分類號： O353.2

文獻標志碼： A

Abstract：The shallow water wave equation is obtained in Lagrange coordinates， which is different from the traditional hydrodynamics. The horizontal displacement is defined as the basic variable， and the deduced mathematical model of shallow water wave just likes the nonlinear large displacement problem in solid mechanics. Under the incompressible condition， the variational principle for shallow water dynamic equation is given on the basis of the displacement method， and the corresponding elliptic traveling wave solutions are presented the conditions of obtaining solitary wave solutions are also discussed. As a basic research work， the present study establishes the theoretical foundation of analyzing the shallow water waves in analytical structural mechanics and is valuable for the further research in hydrodynamics.

Key words：

shallow water wave； Lagrange coordinate； solitary wave； elliptic function； differentialalgebraic equation； symplectic constraint； analytical structural mechanics

0 引 言

中國沿海有廣闊的大陸架及淺海區，面積較小的渤海平均水深只有25 m，主要由淺海構成，但現階段中國總體海洋開發程度和利用率都很低.發展中國的海洋事業就需要進行淺海的開發研究.淺海的波浪直接影響漁業、運輸和勘探作業等.因為淺海幾十米的深度相對于廣闊的海洋延伸尺度而言是很小的，所以其波動主要以淺水波為主.因此，對淺水波進行理論研究與分析對中國近海作業的發展有很大的推動作用.

對淺水波理論和方程[1-3]的研究歷史悠久，但主要是在Euler坐標系下進行研究，其中著名的KdV淺水波方程就是在Euler坐標系下推導出的.淺水波的速度分布與水深無關，表明位移也與水深無關，這正滿足桿件的剛性橫截面假定.在Lagrange坐標系下，利用位移法可以推導出一套與傳統的淺水波KdV方程完全不同的淺水波方程.于是，分析力學的變分原理即可運用正則變換、近似解的保辛積分等有效手段使數值求解得到很多方便.

1 KdV方程及其行波解

可以看出：式（27）與KdV方程得出的孤波解式（6）比較相似，只是在相同水深和波高的情況下KdV方程的孤波解的波速大于位移法所給出的波速.還應當指出，純位移法提供過多的約束，從線性系統本征值的變分原理可知，純位移約束總是使本征值單向提高，即結構的剛度提高.

3 位移法淺水波方程與傳統KdV方程的差別

位移法淺水波方程和KdV方程都存在橢圓余弦波的周期解，而且也都導出孤波解，那么位移法方程與傳統KdV方程在推導上存在什么不同，解又有什么差異呢？

首先，線性近似的結果是一致的，都支持水平速度沿高度不變的假定；其次，位移法考慮大變形.根據分析力學Lagrange體系的基本要求，運動學約束的不可壓縮條件是嚴格滿足的，然后根據變分原理導出動力方程.傳統KdV方程是從速度勢φ的Laplace方程div（grad φ）=0，即散度為0，進行φ的小參數展開而推導的.零次項近似支持線性理論，一次項自動為0，二次項導出KdV方程.grad φ=u意味著速度嚴格保證無旋條件，但無旋條件是動力學的條件，意味著無切力.小參數展開意味著散度為0的條件是近似滿足的，也就是說運動學條件被放松了.

于是，很明顯2種推導的差別在于：位移法推導嚴格滿足運動學（協調）條件，于是可運用分析結構力學，沿著變分原理的路子走，當然保辛[11-13]；進一步對其非線性微分方程的積分可考慮保辛等基本要求，這是其重要的優點；傳統KdV方程的推導則放松運動學條件，部分滿足動力學條件，是否保辛尚需探討.

既然位移法淺水波方程的推導和積分運算可以保辛，那么相對傳統的KdV方程又存在什么優勢？下面就通位移法淺水波方程與KdV方程的孤波行波解所存在的差異討論2種方程的優缺點.