從一道易錯題談談對函數極值的理解

謝晴

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）05-0369-01

引例：已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則ab=本題是初學者非常容易出錯的一道題，錯誤解答如下：

事實上，上述錯誤是對函數極值理解不到位造成的。函數的極值相對于函數最值而言，是一個函數的局部概念。一般的，對（a，b）上的連續函數f（x），若在x=x0附近非常小的鄰域 （x 0-ε，x0+ε）（ε為非常小的正數）內，①f（x）在x=x0處左增右減，則f（x）在x=x0處取得極大值，x0稱為f（x）的極大值點；②f（x）在x=x0處左減右增，則f（x）在x=x0處取得極小值，x0稱為f（x）的極小值點。對函數極值的理解要注意以下幾點：①在定義域上的單調函數，沒有極值；②函數的極值可能有多個，極大值與極小值沒有大小關系。這點不同于函數的最值，函數最值是針對函數整體的概念，在[a，b]上的連續函數f（x）一定存在最值，最大值一定大于最小值。③對函數極值的判斷中一定要注意在 的左右，函數的單調性是否發生變化。

就人教版的教材而言，不管是選修2-1，還是選修1-1，我們談的函數的極值，基本上都是在[a，b]上連續，在（a，b）上可導的函數f（x）的極值。對于這樣一類的可導函數的極值，我們所要遵循的規律是：對可導函數的極值點x=x0，一定有f`（x0）=0；反過來成立的x=x0不一定能成為極值點。例如，y=x3在R上單調增，不存在極值，而y`=3x2=0有實根x=0。因此不能單純的以為，可導函數的極值點就是使得f`（x）=0的零點。我們求解可導函數極值點的步驟如下：①f`（x）=0的解x=x0；②判斷f`（x）=0在x=x0左右符號是否發生變化：若f`（x）在x=x0鄰域內的符號是左正右負，則f（x）在x=x0處取得極大值，x0稱為f（x）的極大值點；若f`（x）=0在x=x0鄰域內的符號是左負右正，則f（x）在x=x0處取得極小值，x0稱為f（x）的極小值點。事實上判斷導函數符號的變化，本質上是判斷函數在x=x0鄰域單調性的變化。

希望上述對函數極值的分析對初學者有實用，另附習題一道，可以檢驗一下對函數極值概念的把握。

練習：已知函數f（x）=13x3+a2x2+ax+b，當x=-1時，f（x）的極值為-712，求a，b