一個有關計數問題的探究案例

嚴洪剛

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）05-0154-02

1.背景介紹

新課標的理念更突出了知識過程性目標的重要地位，明確要求學生經歷觀察、實驗、猜想、驗證等數學活動過程，學會與他人合作交流，學會從數學角度發現問題、分析問題、解決問題、學會體驗成功的喜悅，這是我們課改教學的新動向之一。

浙教版數學實驗教材七年級上冊學習完第七章圖形的初步認識（點與線）及角的內容后，學生對點、線、角等基本的概念已有了一個清楚的認識，在學生平常的學習過程中經常出現一類計數問題，因此我認為有必要安排一個環節對這一類問題作一次探究，使學生對這一類問題有一個比較系統全面的理解。

2.情景描述

教學中，我開門見山："同學們，我們一起來看一類有關計數的問題，看看哪個同學會計數。"見學生驚訝的表情，我順勢在黑板上畫下兩個圖形：

接著，我提出問題："請你們算一下，圖（一），圖（二）中各有多少條線段？"學生們很快的開始數了，有的同學已經開口說了："圖（一）有3條，圖（二）有6條"。也有一些同學出現了遺漏的現象，圖（二）答案出現了5條或4條的。

"大家思考都比較積極，我們來想一下，在數線段時，如何數才能不重復、不遺漏呢？"

一學生站起來說："以A1為左邊端點的線段有A1A2，A1A3，A1A4，以A2為左邊端點的線段有A2A3，A2A4，以A3為左邊端點的線段有A3A4，所以一共有3+2+1=6條。"

"很好，這種方法的確不會重復，也不會遺漏，但是，若直線上有10個點時有多少條線段呢？"

受到剛才這位同學的啟發，同學們忙開了，我發現絕大多數同學都是一條一條地去數。看到這種情況，我乘機說："既然一條一條去數比較煩，那么有沒有巧妙的方法呢？比如線段的條數與點的個數之間有沒有規律呢？如果我們能找到其中的規律的話，那我們不就省力氣嗎？各小組分組討論"

過了一會兒，有些小組迫不急待地開始舉手了，我走到她們的桌前，看到了她們寫的推理過程： 3個點時有：2+1=3條

4個點時有：3+2+1=6條

5個點時有： 4+3+2+1=10條

6個點時有： 5+4+3+2+1=15條 ……

10個點時有： 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45條

看來有些同學已經找到了其中的規律了，但規律還沒有表示出來。

又有同學舉手了，我叫了其中一個同學回答：因為4個點時是1+2+3=6條，5個點時是1+2+3+4=10條，6個點時是1+2+3+4+5=15條，依此規律，線段的條數是從1開始加到比點數少1的那個數的和。所以10個點就有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45條。

"大家同意他的結論嗎？"同學們都點了點頭。

我乘機提出："若直線上有n個點呢？你發現有什么規律嗎？"

"有規律。"大部分同學都很肯定。我示意他們表示出來。

n個點時是：1+2+3+4+……+n=n（n-1）2條。

我又進一步問道："還有其他什么方法可得到這個結論嗎？"

沒人應答，同學們都看著我，有的在環顧四周，看看別人能不能回答。

"我們可以這樣考慮，只要確定了線段的兩個端點，就確定了一條線段，那么對于n個點，A1、A2、A3、A4、……、An，只需要將其中兩個點進行配對，兩個點就確定了一條線段，所以我們只要看一下將這n個點進行分組配對，有多少不同的組就有多少線段。"

"對于A1點來說，它可以和其它的A2、A3、A4、……、An這（n-1）個點分別配對分組：A1A2、A1A3、A1A4、……、A1An共（n-1）組，所以就有（n-1）條線段；對于A2來說呢？分別配對分組也有類似的結論得到（n-1）組，所以也有（n-1）條線段，A3、A4、A5、……呢？這樣每個點都可以和其余的（n-1）個點分別配對分組也分別得到（n-1）條線段。"

"所以這樣n個點就一共可以配對分成n（n-1）組，也就是以兩個點為端點線段數一共有n（n-1）條，但是，"我停頓了一下，"這些線段有什么情況出現呢？"

有一個學生回答說："會重復，因為象A1A2與A2A1是同一條線段。"

"對的，非常正確，這樣計數線段數會重復一次，所以真正有的線段數是n（n-1）2條。"

學生恍然大悟。

我接著說："其實兩種方法都不錯，運用第二種解釋的方法來計數，有些時候是很方便的，我們來舉幾個例子."我給出了以下幾個問題。

（1）平面上有3個點，過其中兩點畫直線，最多可畫幾條直線？4個點？5個點？n個點呢？

（2）如圖，從O點出發畫n條射線，那么圖中共有多少個小于平角的角？

（3）如圖，圖中有多少個三角形？我的問題一拋出，同學們馬上七嘴八舌議論開了。一個同學已經驚奇地叫道：結果是一樣的，都是n（n-1）2。

我巡視了一圈，發現大部分同學都找到了答案。

"下面有幾個練習，看看你能做嗎？"我給出了幾個練習：

（1）平面上4條直線最多把平面分成幾個區域？5條呢？

（2）平面上有10個點，則最多可以畫出幾條直線？

以其中任一點為端點，通過另外一點的射線有幾條？

100個點呢？

（3）如圖，共有_____個長方形。

從練習情況看，還不錯。 我乘機說道："類似的問題在我們平時的學習中還有嗎？你能舉出其他的例子嗎？請你在你的草稿本上寫出來。"

學生就忙開了……

一段時間后，我看時間也差不多了，就說："大家現在停下來，現在我們一起來看看同學們發現了哪些類似的問題？"很多同學馬上舉起了手。

接下來課堂成了學生的成果展示會。

"平面內有n條直線，若它們兩兩相交，最多有多少個交點？答案也是n（n-1）2個。"

"全班45個同學互相握一次手，一共要握（45×44）/2次手，如果是n個人就是n（n-1）2次。"

"n個球隊進行循環賽，每個隊都要和其他隊賽一場，一共要賽n（n-1）2場。"

有一個女同學很急切一樣，她的問題是：

……

同學們的發言很踴躍，有說n個人一起喝酒，每兩個人碰一次杯，一共要碰n（n-1）2次。

我看到這種情況重復出現，話鋒一轉：還有沒有特別一點的？

一個男同學舉手了："我說的是對角線。"

"對角線？"我停了一下，因為我平時提到過對角線，但對于學生畢竟是一個新概念。我說："你說說"。

"n邊形有n個頂點，每個頂點可以向除它本身和左右相鄰的兩個頂點外的其余（n-3）個頂點畫對角線，一共可畫n（n-3）條，由于重復一次，所以對角線有n（n-1）2條。"

……

3.教學反思

本案例是一個內容比較簡單的復習內容。從教學效果來看，是成功的。

在這一個探究的環節，達成了以下兩個教學目標：①在具體情境中，掌握該類計數問題的計數方法。②通過對具體問題的分析，找出該類問題的數學模型。探究環節的重點是掌握該類計數問題的計數方法。學生探究的難點是通過對具體問題的分析，認識到具體問題所在的數學模型。

為了更好地突破難點，我首先在設計上盡量拋開以前的講授式。而是充分利用學生參與學習和探討的熱情，讓學生充分發表意見，通過對問題的爭論與討論，達到對知識的深入理解。因此，探究環節的開始，我首先從一類最簡單，最常見的問題出發引入，從學生的知識最近發展區進行提問，一步步發散展開，最后讓學生尋找學習中出現的相同數學模型的問題來達到鞏固知識的理解。

教學過程中采用讓學生討論的形式，以學生自主探究與合作學習，教師組織、引導的方式進行，并對問題的實際數學模型加以深入，讓學生能對知識舉一反三。實踐證明，這個探究環節的實施是成功的。

但仍然有以下問題值得探討：（1）本堂課在課堂開始用第二種方法分析線段條數得到計數結果為n（n-1）2，仍然是以教師講解為主，沒有完全放手讓學生自己探究獲得。

（2）課中一些好的做法值得借鑒，課堂上能放手真正的讓學生參與到自主探究的學習中去，這也是今后教學應提倡的做法。

（3）如何充分發揮學生的合作學習，讓每個學生都積極動起來，全體參與，共同提高，而不僅僅是少數人討論，也是今后教學中值得注意的問題。

本堂課的內容看似比較簡單，但要求低年級學生對這一 數學模型有一個深入的理解，以達到對知識的融會貫通具有一定的難度，筆者深切地感受到，讓學生主動地探究與體會其內在的數學模型是這堂課是否成功的關鍵。實踐證明，學生自己探究并發現的知識記得更牢，并能靈活運用。