一道原創幾何題的設計與解析

余學軍

【原創試題】矩形ABCD中，AB=6，AD=n，點E以每秒2個單位的速度從A向D點運動，同時點F以每秒1個單位的速度從C向B點運動，當其中一點到達終點時兩點同時停止運動，以BF為直徑的半圓O交BE于G，交EF于H，設兩點運動的時間為t秒.

如圖1，當∠BHG=30°時，填空：∠EBC= 度；AE長為 。

如圖2，當n=13，并且AG與半圓O相切時，求t的值。

（3）如圖3，當EF平分∠BED，并且△EGH面積等于3時，求n的值。

【參考答案】解：

（1）∠EBC=60°，AE=2 .

（2）解法一：連接OA交BG于M，

【難度值】0.35

【設計思路】本題在矩形的框架內揉合了圓、等邊三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的相關知識，涉及到圓周角定理及推論、等邊三角形的判定和性質、三角函數、切線的判定與性質、等腰三角形“三線合一”性質、角平分線的性質、相似三角形的判定與性質、 勾股定理、三角形的面積公式、三角形中線的性質、線段的和差關系等知識點。需要學生應用分析、綜合、轉化、方程的數學思想方法，著力于檢測學生的觀察、想象、推理、運算等核心能力。

【專家點評】試題文字敘述簡煉且表述清楚，圖形規范美觀但線條簡潔。提問角度合乎常規，解法多樣而且經典。試題兼顧到基礎性和發展性，側重于選撥功能，主要考查學生的綜合素質。第一問就圖形的一個局部提問，非常直觀，模糊了題干中的變量，僅需簡單轉化即可解決。第二問通過給n賦值，減少運動中的參變量，使問題變得單純，只需一條輔助線，就可找出相似，進而解決問題。第三問放眼全局，在兩個變量之下，就圖形演變中的又一個巧妙時點，通過一個較為隱蔽的條件提問，讓學生經歷觀察、猜想、驗證，綜合運用三角形和圓的多方面知識，結合轉化、方程的思想方法尋找破解之法。

本題的價值不僅在于環環相扣、層層漸進的精彩設問，更在于其本身突出的展示著“從特殊到一般”的思想策略。整個試題由簡單到復雜、由單一到綜合，梯度合理、拓展適度，符合學生的認知規律，具有良好的效度和區分度。

【說明】本題于2016年4月在湖北省宜昌市教科院組織的原創命題大賽中獲獎。