淺談數列求和的若干方法

鄭柳榮

【摘 要】數列求和是從它們的本質特點出發，去尋找最一般的方法，從而得出的結論比較具有針對性。如掌握直接求和法（公式法），錯位相減求和法，分組轉化求和法，裂項相消求和法等一些簡單的特殊數列求和的方法，理解數列求和中蘊含的數學思想，并能利用數列求和解決一些數列問題。

【關鍵詞】直接求和法（公式法）；分組求和法；裂項相消求和法

一、直接求和法（公式法）

如果所給數列是等差數列或等比數列，那么它們的求和問題，可以直接利用等差或等比數列求和公式解決。

（1）等差數列的前n 項和公式： ；

（2）等比數列的前n 項和公式：①當q=1時，Sn=na1；②當q≠1時， 。

例1：求1，2，3，…，100 這樣一個等差數列的和。

解：

二、分組求和法

若數列的通項是若干項的代數和，可將其分成幾部分來求。一般為{等差+等比}的形式出現時用到分組求和法。

例2：求數列 ，…的前n項和Sn.

分析：此數列的通項公式是 ，而數列{2n}是一個等差數列，數列 是一個等比數列，故采用分組求和法求解.

解： .

小結：在求和時，一定要認真觀察數列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構成等差數列或等比數列，那么我們就用此方法求和。

三、裂項相消法

裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：

四、小結

如果一個數列的每一項都能化為兩項之差，而前一項的減數恰與后一項的被減數相同，一減一加，中間項全部相消為零，那么原數列的前n項之和等于第一項的被減數與最末項的減數之差。多用于分母為等差數列的相鄰k項之積，且分子為常數的分式型數列的求和。

總而言之，數列求和，如果是等差、等比數列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到靈活運用。非等差等比數列的一般數列的求和，可以利用錯位相減求和法，分組轉化求和法，裂項相消求和法等一些簡單的特殊數列求和的方法。數列求和問題，一般說來方法靈活多樣，解法往往不止一種，很難說盡求全。本文中所介紹的種種求和方法，主要是給出一些解題的思路和方法，在解題中希望會有所幫助。