基于Matlab的FIR數字濾波器最優法設計

陳若冰

數字信號處理與現代生活息息相關，而數字濾波器是數字信號處理的重要基本元件。利用Matlab仿真設計出FIR數字濾波器，方便直觀，便于根據其特性和設計要求變化參數，調試整合達到所需濾波器。本文從以下三點講述：（1）FIR濾波器設計原理；（2）常用的三種設計FIR濾波器的方法的優劣比較；（3）最優化設計的實現。

【關鍵詞】FIR Matlab 最優化設計 等波紋切比雪夫逼近法

FIR濾波器即有限長單位沖激響應濾波器，因其能保證任意幅頻特性的同時具有嚴格線性的相頻特性，以及其單位響應無限長特性導致其必為穩定系統，在圖像處理、通信、語音、自動控制等多領域有廣泛利用。

1 FIR濾波器設計原理

如圖1：FIR濾波器基本結構可看為一個分節的延時線，把每一節輸出加權累加以得到濾波器的輸出。FIR設計核心是求出有限的脈沖響應來無限逼近給定的頻率響應。濾波器階數越高，運算時間越多，故在滿足設計要求下應盡量減少濾波器階數。

2 常用的三種設計FIR濾波器的方法的優劣比較

我們常用的是窗函數法，頻率采樣法，最優化設計法（采用最優化準則進行設計，雖有兩種準則，但是只有窗函數中的矩形窗滿足均方誤差最小化準則，卻因吉布斯效應使該法不能滿足設計要求，所以我們采用的是切比雪夫逼近準則）。

窗函數法的方法，先根據設計要求，選取合適的階數N和窗函數的類型w（n），使其幅頻特性逼近理想濾波器幅頻特性。然后加窗，其目的是截斷，將無限長的理想濾波器的頻率響應Hd（ejw）（由于窗函數法是在時域中進行，先將Hd（ejw）化為hd（n）），乘以窗函數w（n）產生一個被截斷的脈沖響應：h（n）=hd（n）w（n）。

頻率采樣法是從頻域出發，根據頻域采樣定理，對給定的理想濾波器的頻率響應Hd（ejw）加以等間隔的抽樣，得到：Hd（k）=Hd（ejw）＼w2πk/N（k=0，1，…，N-1）.再利用Hd（k）可求得FIR濾波器的系統函數H（Z）及頻率響應H（ejw）。該法必然有一定的逼近誤差，誤差的大小取決于理想頻響曲線的形狀，其變換越平緩，內插函數值越接近理想值，誤差越小。

最優設計法，它克服了以上兩法缺點，使最大誤差（即波紋的峰值）最小化，誤差在整個逼近頻段上均勻分布。通過對通帶和阻帶使用不同的加權函數，實現在不同頻段（通常指通帶和阻帶）的加權誤差最大值相同 ，從而實現其最大誤差在滿足性能指標的條件下達到最小值。

從表1的對比中，我們發現，基于Matlab設計FIR濾波器比較適合用最優化設計的方法，誤差小，性能好，經濟效益高，也方便調試參數。

3 最優化設計的實現

Matlab中利用最優化設計設計FIR數字濾波器的函數是remezord和remez函數。

（1）remezord函數（作用是估算濾波器近似階數N，歸一化頻率帶邊界Fo ，頻帶內幅值Ao ，各個頻帶內的加權系數W），F為頻帶邊緣頻率 ，A為各個頻帶期望的幅度值 ，dev是通帶和阻帶的偏差。函數格式為：[N，Fo，Ao，W]=remezord（F，A，DEV，Fs）

（2）remez函數利用多重交換迭代算法求解等波紋最佳逼近問題，求的滿足該準則的FIR數字濾波器的單位脈沖響應h（n）：h=remez（N，Fo，Ao，W，ftype）

若事先不能確定要設計濾波器的階次，調用remezord后，利用b=remez（N，Fo，Ao，W），從而設計出所需要濾波器。remezord會高或低估濾波器的階數，得到濾波器的系數后，要檢查阻帶最小衰減是否滿足要求。若不能，則增加階數。最優化設計FIR數字濾波器的步驟是：

（1）給出所需的頻響，加權函數和濾波器的單位樣值響應h（n）的長度。

（2）由上面給定的參數來形成所需的頻率響應（頻域）等表達式。

（3）利用Remez多重交換迭代算法解決逼近問題。

（4）利用傅立葉逆變換計算出單位樣值響應。

4 結論

Matlab的使用為設計DIR濾波器提供了極大便利，方便多次修改參數，調整設計方法，仿真檢驗濾波器性能等等以實現使濾波器更好的性能。

參考文獻

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[4]張德豐.詳解MATLAB數字信號處理[M].北京：電子工業出版社，2010.

作者單位

蘭州大學信息科學與工程學院 甘肅省蘭州市 730100