基于Monte-Carlo仿真的機床大修項目工期及費用風險分析

周爾民，王貴用，王 健

（華東交通大學　機電工程學院，南昌 330013）

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基于Monte-Carlo仿真的機床大修項目工期及費用風險分析

周爾民，王貴用，王 健

（華東交通大學機電工程學院，南昌 330013）

摘 要：在某機床大修項目中，運用雙代號網絡圖進行分析，通過分析確定該項目的各個時間參數，然后在Excel上構建該網絡計劃項目的模型，再通過安裝并運行Crystal Ball進行多次模擬，得到多次運行結果，并對這些結果進行統計。通過統計圖或統計表，同時分析該項目的工期風險和費用風險，并從分析中獲得有效的結果。在實際案例基礎上，介紹了使用Crystal Ball和Excel對工程項目進行建模和風險分析的步驟和方法。

關鍵詞：Crystal Ball；網絡計劃；雙代號網絡圖；工期風險；費用風險

0　引言

項目管理是指運用各種專業知識、工具、技術和方法對項目進行有效管理，使其達到在盡量短的時間內，用盡量少的成本，較好地完成項目的預期目標［1］。

作為項目管理中常用的兩種方法，關鍵路線法（CPM）和計劃評審技術（PERT）在各行各業的項目管理中得到廣泛的應用。關鍵路線法以經驗數據確定項目活動時間，將其設定為確定數值，然后去尋找關鍵路線。而計劃評審技術是通過悲觀時間、最可能時間和樂觀時間三個時間點來計算出工期，該方法主要注重對項目的計劃進行評審。

關鍵路線法，是一個由節點和活動組成的網絡圖，用來說明項目中各個活動的時間參數，以及各個活動之間的關系，然后通過網絡圖計算各個活動的最早開始時間（TES）、最早結束時間（TEF）、最晚開始時間（TLS）、最晚結束時間（TLF），然后尋找網絡中的關鍵活動，得到該網絡的關鍵路線。通過對關鍵路線的改善，可以達到改善整個項目的效果。

CPM網絡圖采用關鍵路線法時網絡圖中緊前活動、后續活動、平行活動、虛擬活動的定義和繪制規則，以及節點最早開始時刻、節點最遲完成時刻、活動寬裕時間等的計算方法完全與計劃協調技術相同。

在項目管理中M Bevilacqua和H Steyn等人提出在項目管理中運用關鍵鏈方法［2，3］。美國海軍提出了PERT應用于計劃和控制導彈的研制。這兩種方法均不能考慮到項目管理中存在很多不確定性因素，為了解決這個問題，本文運用現在較為前沿的項目管理風險分析方法，基于Crystal Ball的蒙特卡洛仿真。

尹齊心，余明暉和劉振元考慮了工程項目中的間接成本，建立了工期一成本一質量之間的非線性綜合優化模型，并運用遺傳算法進行求解，但是沒有考慮到以多大概率能在預定的時間和成本內完成工程項目［4］。張靜文和單繪芳將資源分為可更新和不可更新兩類，并考慮了兩類資源約束條件下的工期一費用均衡調度模型，然后運用兩階段混合優化算法對該調度模型和傳統的經典離散時間一費用調度模型進行對比，分析了兩類資源約束條件下所建立模型的優越性［5］。張立輝，乞建勛，仲剛在CPM網絡基礎上，提出了一種總工期敏感性的分析方法，并提出了在CPM中主路線等概念以及總時差定理，分析了關鍵路線的重要性，以及關鍵工序工期對總工期的影響，分析了總工期的敏感性問題［6］。曹小琳和劉仁海綜合介紹了多種緩沖區計算方法，并在此基礎上，提出了緩沖區大小的影響因素，以及緩沖區的大小對項目計劃工期和項目進度內完工概率的影響，但是該文只提到緩沖區的重要性，并未提到如何通過緩沖區的大小來計算計劃進度內的完工概率［7］。趙道致，王元明提出工期風險受項目本身及環境因素的影響，研究了在PERT的項目中，單時段以及全時段的工期風險，并分析了工期風險的傳遞規律［8］。蔣玉石和史本山利用Monte-Carlo模擬一種計算口碑價值的模型，并利用Crystal Ball軟件進行模擬計算，可見Crystal Ball軟件對于Monte-Carlo模型求解的有效性［9］。

李江和雷曉剛提出一種結合Multi-Agent和分布式仿真相結合的項目管理方法，并將其應用于大型航天研發項目風險分析，但該方法只分析得到該項目以多大概念處于哪一個范圍的風險，而沒有具體計算出風險的大小，而且該方法不適用于具體的工期及費用風險分析［10］。郭宇和劉爾烈在以往用于項目成本風險分析的蒙特卡羅方法的基礎上，提出了一種考慮成本要素依賴關系的成本風險計算方法，該方法適用于對成本影響的因素較為復雜的場合，而且不能進行工期風險分析［11］。高建偉指出了對項目進行風險量化管理的必要性，并且定義了基于蒙特卡洛仿真的抽樣算法與流程，并提出了計算項目完工概率的方法，但是并沒有進行項目的成本風險分析［12］。Crystal Ball正是基于蒙特卡洛的仿真工具，它可同時進行成本和工期風險的分析。孟憲寬和鄒磊提出了將關鍵鏈理論和網絡計劃技術相融合對項目管理進度進行分析的思想，利用Crystal Ball在Excel中建立模型就是基于這種思想［13］。孫金梅和劉海濤通過Excel建立模型，并求解出模型的關鍵路線，并對工期和費用進行優化，但是并沒有考慮到活動時間的不確定性，并且沒辦法計算工期和費用存在的風險［14］。楊琴和胡輝用Crystal Ball在Excel中建立項目管理的模型，并對模型進行工期風險的分析，結合具體例子分析項目的完工概率，但是沒有對項目的費用風險進行分析［15］。

從以上這些研究成果我們可以看出：第一，對于項目風險的分析，大部分只對工期進行分析，對工期—費用同時進行風險分析，還有待進一步研究；第二，運用關鍵路線對風險進行分析時，沒有考慮到各個工序工期和費用的不確定性，而運用計劃評審技術對風險進行分析時，沒有考慮到各個工序先后順序的制約性；第三，在研究風險時，已有的研究偏向于對項目的一些變量做出假設，以簡化分析過程，對分析結果的真實性有一定偏差；第四，大部分的風險分析都是運用于工程建筑方面，而對于機械工程方面的項目風險分析還有待進行［3～15］。

針對這些不足，本文同時對項目的工期—費用進行分析；綜合考慮關鍵路線和計劃評審的優勢；同時考慮各個工序先后順序的制約性和各個工序工期和費用的不確定性，創建Crystal Ball項目工期和費用的風險分析模型，使得工序的工期可以在最小完工時間和最大完工時間之間波動，同時工序之間又按照網絡圖的先后順序相互制約；本文所用的Crystal Ball是基于蒙特卡洛仿真的風險評估軟件，較接近項目的真實完成情況。

本文的研究對于機械工程方面的項目風險分析研究，做了進一步的嘗試，對于后續的研究，做了一點基礎工作。同時本文對項目的工期—費用同時進行分析，并對風險進行量化，給出了具體存在風險的大小。

1　機床大修的項目計劃

某工廠有一個機床大修的項目計劃，該大修項目包括十道工序，各道工序所需的工時服從三角型分布。各道工序的先后順序、工時分布的參數、工序名稱以及各道工序單位工時所需支付的工資如表1所示。對于該項目的工期要求不能超過27天（按每天8個工作小時計算，即216小時），該項目的直接費用不能超過2150元，要求建立模型，進行分析、預測該項目延期的風險和超出預定費用的風險。

2　建立一個Excel模型

2.1繪制該項目的網絡圖

根據表1所給的各個工序的前后關系，并合理的增加虛工序繪制該網絡計劃的雙代號網絡圖，如圖1所示。

圖1　該項目的雙代號網絡圖

2.2網絡中各活動的時間參數計算方法

定義活動A的最早開始時間TES（A）=0，然后依次計算其他活動的最早開始時間，TES（X）=TEF（前）；各工序的最早結束時間TEF（X）=TES（X）+D（X），工期T=TEF（J）；J工序的最遲結束時間TLF（J）=T，其他活動的最遲結束時間TLF（X）=MIN（TEF（前））；各工序的最遲開始時間TLE （X）=TLF（X）-D（X）；從而得到各工序的總時差S （X）=TLS（X）-TES（X），其中總時差為0的活動就是關鍵活動，否則為非關鍵活動。

各個工序所需費用等于取整后的持續時間乘以各個工序單位工時所需的工資。如A工序所需的工資在圖2中為M（A）=16×7=112。

總費用等于各個工序所需的費用之和。

上述參數的計算在Excel中均需使用公式表示，不能直接輸入計算結果，否則Crystal Ball將無法進行分析。

至此，該網絡計劃項目的確定性的Excel模型建立完畢，如圖2所示。在此模型的基礎上，可以創建Crystal Ball項目工期和費用的風險分析模型。

圖2　網絡計劃的Excel模型

3　運行模擬仿真

3.1定義假設變量和預測變量

定義假設變量：對于PERT，是先假設活動持續時間服從β分布，并且采用以下近似公式計算均值和方差［16］：

其中：a為樂觀時間，完成任務所需用到的最少時間；

b為悲觀時間，完成任務所需用到的最多時間；

c為最大可能時間，任務較有可能是在這段時間完成。

在Crystal Ball中，定義假設變量的是“假設單元”，用于定義不確定性的的輸入量。在項目工期—費用風險分析中，因為各項任務的所需時間具有不確定性，所以需將它們定義為假設變量。

定義預測變量：即設置求解的變量。預測變量被稱為 “預測單元”，是用戶在指定模擬分析的過程當中用公式計算出來的值。在該項目風險分析中，工期和總費用應該設置為“預測單元”，即整個項目的工期，以及完成項目所需的總費用。選中整個項目工期單元格，點擊“預測單元”， 設定參數為：Name為項目工期、Units為小時。同理定義總費用，Name為總費用，Units為元。這樣預測單元就設定好了。

3.2定義運行參數

對于采用Monte-Carlo的仿真實驗，實驗次數可以通過大數定理來確定。在Monte-Carlo仿真實驗仿真中，實際上是通過運用虛警頻率逐漸逼近虛警概率，比如說在N次實驗中，出現虛警次數是K次，則虛警頻率為K/ N。按照大數定理，僅有當N趨向于無窮大的時候，虛警頻率才會無限趨向于虛警概率。但是，按照貝努利大數定理，當實驗次數N達到多少時，我們可以認定實驗的虛警頻率即為虛警概率。

假設虛警概率為Pf，并且希望Pf與頻率K/N之間的差值小于某一給定數值ε，即：

ε為足夠小的常數，按照貝努利大數定理，我們可以得到：

也就是說Pf與N/K之間的差值小于給定數ε的可能性將會隨N的增大而不斷增大，如果要使得虛警概率Pf與虛警頻率K/N之間的差值小于給定常數ε的概率是P0，則么實驗次數N和概率P0之間的關系為：

對于該項目的Monte-Carlo仿真實驗，我們可以取定Pf=10-2，P0=0.9，ε=0.2 ，然后按照上面的公式計算得到N≥24750。

根據以上分析，我們可以得出如下的結論：在進行Monte-Carlo仿真實驗時，如果選取的實驗次數N太小，會出現實驗的結果不太準確，但是如果實驗次數N太大，運行時間太長，沒有必要。在該項目的仿真實驗中，一般取Pf=10-2就可以了，實驗次數N以25000為宜。

在運行模擬仿真之前，我們根據需要，可以對模擬仿真的參數進行設置。參數有：試驗次數N、什么時候運行宏、運用何種抽樣方法、用哪種方式提高模擬的速度以及計算精度如何控制等。在Crystal Ball中隨機數據抽樣的方法有：蒙特卡洛抽樣方法以及拉丁超立方抽樣方法。蒙特卡洛抽樣方法產生的隨機數之間相互完全獨立；后者則是通過幾個等概率的區間來代替所設定的假設單元的概率分布。在該模擬分析中，設定置信水平為95%、試驗次數設為25000次，采用蒙特卡洛抽樣模擬計算。參數設定好之后，就可以進行模擬仿真了。

3.3運行模擬試驗

在模擬仿真中，Crystal Ball軟件通過預先設定好的試驗次數N來進行大量的試驗，并且在內存中保存每次試驗所得到的預測值，方便隨時調用，通過圖表方式輸出。單擊“開始模擬”，開始模擬試驗，Crystal Ball根據給定的原始數據模型來進行仿真計算，將建立起工期圖、費用圖、以及它們的敏感因素分析圖和其他預先設定的圖表，與此同時，EXCEL中相關的單元格中，其值將會不斷變化。

4　模擬結果分析

模擬運行完成后，得到的項目工期變量的頻數圖，通過調整工期的上限和下限，可以得到項目工期小于27天的概率為82.88%，如圖3所示。并且可以得到各個工序對工期的影響程度，可知G工序的影響程度最大，達到53.7%，如圖4所示。

圖3　工期的模擬分布結果

圖4　工期的敏感因素分析圖

同理可得總費用的統計圖和各個工序對總費用的影響，總費用小于2150元的概率為84.35%，對總費用影響較大的也是G工序，影響程度達到30.5%，如圖5和圖6所示。

圖5　總費用的模擬分布結果

圖6　總費用的敏感因素分析圖

由圖3可知該項目在27天內完工的概率為82.88%，尚且存在一定的延期風險。由圖4可知對工期的影響中，G工序的影響為53.7%，超過一半，若要縮短該項目的工期，減少延期風險，最主要從G工序入手。

同理，由圖5可知該項目的費用在預定的2150元之內的概率為84.35%，存在15.65%的可能性不能達到預定要求。由圖6可知對費用的影響中，G工序的影響為30.5%，為最主要影響因素，若要減少該項目的費用，最主要從G工序入手。

5　結束語

本文綜合運用運籌學、項目管理、計算機仿真以及風險分析等學科的知識，基于Crystal Ball建立網絡計劃項目的工期—費用風險分析模型。通過一些方法，得到該仿真模型的運行參數，從而對工期和費用進行分析，得出該項目所存在的完工風險和費用風險以及各活動持續時間的變化對項目工期和直接費用的影響程度，以便在項目進行中，對項目的各項活動進行調整優化，使項目的效益和效率都得到了提高。

本文以某個機床大修項目為例，詳細介紹了基于Crystal Ball建立項目管理仿真模型，以及對項目工期—費用進行風險評估。傳統的CPM/PERT方法，由于對假設存在偏差，經常導致實際結果和預測結果也存在偏差，而且沒有充分考慮到一些變量的不確定性。相對于傳統方法，Crystal Ball仿真更能反映項目管理中問題的本質，而且能更好地解決對不確定性變量進行定量分析的問題，成為現如今比較流行、更能貼近問題本身的風險分析技術。此外基于Crystal Ball的仿真分析方法，具有很好的可視化和靈活性，使其在現如今的風險分析中獲得廣泛的認可。但是該仿真技術仍然存在一定的局限性，對于很多比較復雜的系統，仿真過程比較耗時。而且仿真結果只是對真實項目的近似估計，只能得到相對較優的解決方案。

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The machine overhaul project risk analysis of time limit and cost based on Monte-Carlo simulation

ZHOU Er-min， WANG Gui-yong， WANG Jian

中圖分類號：TH17

文獻標識碼：A

文章編號：1009-0134（2016）05-0076-05

收稿日期：2015-12-04

基金項目：江西省科技計劃項目：制造工藝人機環境在線仿真控制系統研究（20151BBE50053）

作者簡介：周爾民（1962 -），男，江西南昌人，教授，碩士，研究方向為工業工程、虛擬制造和CAD/CAM。