大旋轉角的空間直角坐標轉換方法的改進

劉志平　楊　磊

1　中國礦業大學國土環境與災害監測國家測繪地理信息局重點實驗室, 徐州市大學路1號, 221116

大旋轉角的空間直角坐標轉換方法的改進

劉志平1楊磊1

1中國礦業大學國土環境與災害監測國家測繪地理信息局重點實驗室, 徐州市大學路1號, 221116

摘要：針對現有大旋轉角空間直角坐標轉換方法存在的問題，基于尺度參數的SVD估計提出改化模型，并推導了參數解估計的方向余弦法、單位四元數法及羅德里格矩陣法。最后，基于奇異點、模型條件數、中誤差及迭代次數等指標，通過文獻算例和大旋轉角仿真算例比較分析了3種方法在七參數模型與本文改化模型的坐標轉換效果。結果表明，旋轉矩陣的SVD初值優于單位陣初值，改化模型優于七參數模型，方向余弦法優于其他兩種方法。

關鍵詞：坐標轉換模型；大旋轉角；方向余弦法；單位四元數法；羅德里格矩陣法

在空間直角坐標轉換應用中，布爾莎(Bursa)、莫洛金斯基(Molodensky)和武測模型等被廣泛使用，但此類模型及其解法僅適用于小旋轉角的坐標轉換[1-3]。鑒于此，國內外學者提出了多種大旋轉角空間直角坐標轉換的方法，其中最具代表性的方法包括方向余弦法[4]、單位四元數法[5-6]及羅德里格矩陣法[7-8]，它們在空間直角坐標轉換[9-10]、視覺領域的相機姿態標定[6]及近景攝影測量領域的相對定向等應用中取得了較好的效果[11]。然而，上述方法均是基于七參數模型的迭代解法，研究過程中僅考慮坐標轉換的精度，而鮮少顧及模型病態性、旋轉參數與尺度參數相關性以及迭代初值等對坐標轉換方法中迭代收斂性和精度的影響。

本文在七參數模型的基礎上提出改化的六參數模型(簡稱改化模型)，進而推導了改化模型中參數估計的方向余弦法(增量迭代)、單位四元數法(全量迭代)和羅德里格矩陣法(全量迭代)，并給出了3種算法的迭代參數更新方法。最后，通過現有文獻的3個算例和大量的大旋轉角仿真計算，對七參數模型、改化模型及其估計方法進行詳細比較，并以奇異點、模型條件數、中誤差及迭代次數等作為指標進行全面分析，所得結論對大旋轉角的空間直角坐標轉換應用研究具有參考價值。

1空間直角坐標轉換方法

1.1七參數模型及改化

將三維坐標系Ⅰ和Ⅱ下的坐標分別記為Xi和xi，則Xi轉換至xi的七參數模型[4]可表達為:

(1)

式中，Xi=(XiYiZi)T，xi=(xiyizi)T，m表示尺度參數，d=(dxdydz)T表示平移向量，R表示旋轉矩陣且滿足RRT=I3，可用3個獨立旋轉角表達為:[2]R=R2(θ)R1(γ)R3(ψ)。

在實際應用中，若直接對七參數模型進行參數估計，由于尺度參數與旋轉矩陣存在數學相關性，易導致迭代估計算法發散，參數結果嚴重失真(尤其在大旋轉角度的情況)。針對該問題，本文對七參數模型進行改化，其過程如下。

首先，計算重心坐標對(Δxi,ΔXi)。由七參數模型可得重心坐標對的等式關系:

(2)

當有多個重心坐標對時，由等式關系(2)得：

(3)

(4)

進一步地，對混合矩陣進行奇異值(SVD)分解[11]，得：

(5)

式中，U、V表示正交矩陣，S=diag(s11,s22,s33)表示對角矩陣。

(6)

(7)

1.2改化模型參數估計

1.2.1方向余弦法

若用rj表示矩陣R的第j個行向量(j=1,2,3，共3行)，并將其表示為近似向量rj,0和待估向量δrj之和，則有：

(8)

將式(8)代入改化模型(7)，考慮矩陣R的正交性質，整理可得模型參數估計方程為：

(9)

(10)

式中，βr=(δr1δr2δr3dxdydz)T。

顯見，上述參數估計方程需要迭代計算。其中，迭代增量參數為(δr1,δr2,δr3),同時更新rj=rj,0+δrj,直至完成迭代計算。

1.2.2單位四元數法

單位四元數法表示的姿態矩陣為:

(11)

(12)

將式(12)代入改化模型(7)，整理得模型參數估計方程：

(13)

式中，βq=(q1q2q3dxdydz)T。

1.2.3羅德里格矩陣法

羅德里格矩陣表示形式為[8]

(14)

(15)

將式 (15)代入改化模型(7)，得模型參數估計方程：

(16)

式中，βω=(ω1ω2ω3dxdydz)T。

顯見，上述參數估計方程需要迭代計算。其中，迭代全量參數為(ω1,ω2,ω3),直至完成迭代計算。

1.3迭代參數更新方法

2)對于單位四元數法，根據式 (11)中單位四元數與旋轉矩陣的關系，得迭代參數更新式[9]：

(17)

3)對于羅德里格矩陣法，根據反對稱矩陣G(ω1,ω2,ω3)與旋轉矩陣的關系式 (14)，得迭代參數更新式：

(18)

2實驗結果與分析

2.1現有文獻算例

為驗證所提改化模型的3種估計方法的正確性和有效性，本文對各方法利用現有文獻算例分別進行比較研究。具體設計方案如下。

表2　3個方案的計算結果

2.2仿真算例

為更全面地比較文中所提改化模型的3種估計方法在大旋轉角情況下的適用性，選取江蘇省徐州市范圍(經度116.5°～117.5°，緯度33.5°～34.5°，以0.25°為步長形成25個格網點)坐標數據進行比較研究。首先，根據各格網點的經緯度，令大地高均為0 m，利用CGCS2000橢球參數計算各點的空間直角坐標，作為轉換前的坐標A。然后，給定一組七參數值d=[1.0001.5002.000]T、m=1.5×10-8及3個旋轉角(γ,θ,ψ)，由七參數模型(1)計算轉換后的各格網點坐標B，進而利用各方法計算坐標轉換參數。

表3　兩個方案的計算結果

3結語

本文探討了現有大旋轉角空間直角坐標轉換方法中存在的問題，并在此基礎上提出改化模型。推導了改化模型的方向余弦法、單位四元數法及羅德里格矩陣法，并基于奇異點、模型條件數、中誤差及迭代次數等指標，通過大量驗證計算得出：1)與七參數模型相比，改化模型顯著改善了模型的病態性，同時有助于避免迭代發散；2)方向余弦法、單位四元數法和羅德里格矩陣法受初值影響的差異較大，迭代初值的精化可明顯提高方向余弦法和單位四元數法的收斂效率和精度；3)使用文中所提出的SVD估計作為迭代初值，在本文的評價指標下，方向余弦法優于單位四元數法，羅德里格矩陣法效果最差。

參考文獻

[1]潘國榮, 汪大超, 周躍寅. 兩種大轉角空間坐標轉換模型研究[J]. 山東科技大學學報: 自然科學版, 2015, 34(1): 61-67(PanGuorong,WangDachao,ZhouYueyin.TwoSpatialCoordinateTransformationModelofLargeAngle[J].JournalofShandongUniversityofScienceandTechnology:NaturalScience, 2015, 34(1): 61-67)

[2]王傳江, 王解先, 顧建祥. 大旋轉角三維直角坐標轉換的一種線性模型[J]. 鐵道勘察, 2013, 38(6): 4-6(WangChuanjiang,WangJiexian,GuJianxiang.ALinearModelof3-DimensionalRectangularCoordinateTransformationBasedonBigRotationAngle[J].RailwayInvestigationandSurveying, 2013, 38(6): 4-6)

[3]姚宜斌, 黃承猛, 李程春,等. 一種適用于大角度的三維坐標轉換參數求解算法[J]. 武漢大學學報：信息科學版, 2012, 37(3):253-256(YaoYibin,HuangChengmeng,LiChengchun,etal.ANewAlgorithmforSolutionofTransformationParametersofBigRotationAngle’s3DCoordinate[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2012, 37(3):253-256)

[4]陳義, 沈云中, 劉大杰. 適用于大旋轉角的三維基準轉換的一種簡便模型[J]. 武漢大學學報：信息科學版, 2004, 29(12):1 101-1 105(ChenYi,ShenYunzhong,LiuDajie.ASimplifiedModelofThreeDimensional-DatumTransformationAdaptedtoBigRotationAngle[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2004, 29(12):1 101-1 105)

[5]SchenkT.FromPoint-BasedtoFeature-BasedAerialTriangulation[J].ISPRSJournalofPhotogrammetry&RemoteSensing, 2004, 58: 315-329

[6]季順平, 吳珍麗. 單位四元數在航空攝影測量解算中的應用與實踐[J]. 測繪科學, 2010, 35(1):44-46(JiShunping,WuZhenli.TheApplicationandPracticeofUnitQuaternionMethodinAerialTriangulation[J].ScienceofSurveyingandMapping, 2010, 35(1):44-46)

[7]姚吉利, 韓保民, 楊元喜. 羅德里格矩陣在三維坐標轉換嚴密解算中的應用[J]. 武漢大學學報: 信息科學版, 2006, 31(12): 1 094-1 096(YaoJili,HanBaomin,YangYuanxi.ApplicationofLodriguesMatrixin3DCoordinateTransformation[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2006, 31(12): 1 094-1 096)

[8]原玉磊, 蔣理興, 劉靈杰. 羅德里格矩陣在坐標系轉換中的應用[J]. 測繪科學, 2010, 35(2): 1 78-1 79(YuanYulei,JiangLixing,LiuLingjie.ApplicationsofLodriguesMatrixinCoordinatesTransformation[J].ScienceofSurveyingandMapping, 2010, 35(2): 178-179)

[9]周擁軍. 基于未檢校CCD相機的三維測量方法及其在結構變形監測中的應用[D]. 上海：上海交通大學, 2007(ZhouYongjun.StudyonUncalibratedCCDCameraBasedDigitalClose-RangePhotogrammetryfor3DStructureDeformationMeasurement[D].Shanghai:ShanghaiJiaotongUniversity, 2007)

[10]姜柱, 劉慶元, 周曼. 單位四元素在坐標轉換中的應用[J]. 礦山測量, 2012(5): 28-29(JiangZhu,LiuQingyuan,ZhouMan.ApplicationofUnitQuaternioninCoordinatesTransformation[J].MineSurveying, 2012(5): 28-29)

[11]張永軍, 胡丙華, 張劍清. 大旋轉角影像的絕對定向方法研究[J]. 武漢大學學報:信息科學版, 2010(4): 427-431(ZhangYongjun,HuBinghua,ZhangJianqing.AbsoluteOrientationofLargeRotationAngleImages[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2010(4):427-431)

Foundation support:National Natural Science Foundation of China,No. 41204011,41504032; Open Fund of State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics,No. SKLGED2014-3-2-E.

About the first author:LIU Zhiping, associate professor, majors in adjustment theory, navigation positioning and geospatial inversion, E-mail:zhpliu@cumt.edu.cn.

An Improved Method for Spatial Rectangular Coordinate Transformation with Big Rotation Angle

LIUZhiping1YANGLei1

1Key Laboratory for Land Environment and Disaster Monitoring of NASMG, CUMT,1 Daxue Road, Xuzhou 221116, China

Abstract:To accomplish spatial rectangular coordinate transformation with big rotation angles, the improved coordinate transformation model is proposed. This model is based on scale parameter estimation using the matrix singular value decomposition (SVD). Three estimation methods, including direction cosine, unit quaternion and Rodrigues are presented for the improved coordinate transformation model. Finally, simulated and practical experiments of coordinate transformation with big angle are tested to compare and analyze the adaptability of the three methods using the total number of singular points, the condition number of normal matrix, the number of iterations and the RMS, etc. Experimental results show that the improved model is better than the extant seven parameters model, that the SVD solution of rotation matrix is superior to unit matrix as an initial value, and that the direction cosine method is preferable to the other two methods.

Key words:coordinate transformation model; big rotation angle; direction cosine; unit quaternion; Rodrigues

收稿日期：2015-06-25

第一作者簡介：劉志平，副教授，主要從事誤差理論、導航定位和反演分析研究，E-mail:zhpliu@cumt.edu.cn。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.07.006

文章編號：1671-5942(2016)07-0586-05

中圖分類號：P226

文獻標識碼：A

項目來源：國家自然科學基金(41204011,41504032)；大地測量與地球動力學國家重點實驗室開放基金(SKLGED2014-3-2-E)。