數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓課堂更有數(shù)學(xué)味
——以“正方體表面的涂色問題”教學(xué)為例

石桂花

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數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓課堂更有數(shù)學(xué)味
——以“正方體表面的涂色問題”教學(xué)為例

石桂花

數(shù)學(xué)家歐拉曾說：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)。學(xué)生應(yīng)重走人類掌握數(shù)學(xué)的歷程，從直觀具體的實(shí)驗(yàn)階段走入抽象理論階段。”審視目前使用的數(shù)學(xué)新教材，新增了實(shí)踐與綜合應(yīng)用、直觀與幾何、幾何變化、概率與統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容，這些內(nèi)容的完成同樣離不開實(shí)驗(yàn)。下面以蘇教版教材六年級(jí)上冊(cè)的思考題“正方體表面的涂色問題”教學(xué)為例，展示我們的研究過程和思考。

一、游戲?qū)耄l(fā)現(xiàn)問題

師：（展示一個(gè)由27個(gè)小正方體拼成的大正方體，表面被涂上顏色）同學(xué)們，這節(jié)數(shù)學(xué)課咱們來做點(diǎn)有趣的事情，玩魔方，怎么樣？我給大家?guī)砹艘粋€(gè)大號(hào)的魔方。你知道它是由多少個(gè)這樣的小正方體拼成的嗎？是怎么算的？

生1：這個(gè)魔方可以一眼就看出來，是由3×3× 3=27（個(gè)）小正方體組成的。

師：你說的3是指什么？

生1：3是指正方體的一條棱邊有3個(gè)小正方體，它的棱長就是3個(gè)單位，所以可以這樣計(jì)算。

師：說得真清楚。這個(gè)魔方就是一個(gè)棱長為3個(gè)單位的大正方體，它的表面，也就是6個(gè)面全部被涂上了藍(lán)色。（把魔方舉得更高給大家看，手不小心抖動(dòng)了一下，魔方瞬間散掉了）啊呀，壞了！魔方散落了就玩不成了，怎么辦呢？

生2：把它撿回來拼好，可以繼續(xù)玩！（教師撿起散落的魔方拼擺好并展示在實(shí)物投影儀上）

生3：老師拼錯(cuò)啦，好多個(gè)位置都不對(duì)，那個(gè)3個(gè)面涂色的要拼在最上邊的最外面。

生4：那個(gè)2面涂色的不能放在邊上，要挪過去。

……

師：放錯(cuò)了呀！大家的意思是說這27個(gè)小正方體并不是6個(gè)面都被涂成了藍(lán)色，不能隨意擺放，對(duì)吧？那每一個(gè)小正方體可能有幾個(gè)面被涂色？

生5：我看出來了，有3個(gè)面涂色、2個(gè)面涂色、1個(gè)面涂色的。（師隨機(jī)板貼）

生6：我覺得，露在外面的至少都會(huì)有1個(gè)面涂色，最多的會(huì)有3個(gè)面涂色，它們?cè)诶饨琼旤c(diǎn)處。但是如果躲在正中間，就可能1個(gè)面也沒涂上顏色。而且中間肯定藏著正方體，沒有它擺在中間的話，上面這一個(gè)會(huì)塌陷下去，對(duì)吧？（師板貼沒有涂色這種情況）

師：大家同意他們的觀點(diǎn)嗎？還有沒有其他情況？

學(xué)生認(rèn)真地觀察投影儀上的正方體，都說“沒有了”。

師：看來，要想還原這個(gè)魔方，就要考慮這里的每一個(gè)小正方體涂色的情況和它所擺放的位置以及個(gè)數(shù)。這就是我們這節(jié)課要研究的“正方體表面的涂色問題”。

設(shè)計(jì)意圖：利用“散落的魔方玩不成了怎么辦”的問題情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生產(chǎn)生好奇心、求知欲和研究的興趣。

二、分層研究，探索規(guī)律

（一）研究3×3×3的情況，初步感知規(guī)律

師：那這里的每一個(gè)小正方體表面的涂色情況和它所擺放的位置以及個(gè)數(shù)是怎樣的呢？這個(gè)問題看起來還真有點(diǎn)復(fù)雜，怎么辦呢？

生7：老師，要是我也有這樣一個(gè)正方體可以看一看、數(shù)一數(shù)，就容易解決了。

生8：是的，要是能玩上一會(huì)兒，就會(huì)找到答案的。

師：你們的建議真好！請(qǐng)大家拿出老師準(zhǔn)備的表面涂色的3×3×3的魔方，同桌兩人為一組開展研究，并請(qǐng)?zhí)顚懞脤?shí)驗(yàn)記錄單（如下所示）。

學(xué)生兩人小組利用魔方學(xué)具幫助思考，開展合作研究，并認(rèn)真地填寫實(shí)驗(yàn)記錄單，研究時(shí)間3分鐘。

師：同學(xué)們研究得怎么樣了？誰愿意來說說你們組的發(fā)現(xiàn)？

生9：我們把魔方轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去，看了很久，又?jǐn)?shù)了好幾遍，發(fā)現(xiàn)3面涂色的在棱角頂點(diǎn)處，有8個(gè)。（板書：頂點(diǎn)處，8個(gè)）

師：為什么是8個(gè)？

學(xué)生拿著魔方講述理由。隨著學(xué)生的描述，課件一個(gè)一個(gè)動(dòng)態(tài)剝離棱角頂點(diǎn)處的小正方體，學(xué)生跟著課件尋找3面涂色的小正方體的位置以及個(gè)數(shù)。

師：其他4個(gè)頂點(diǎn)處的情況，大家可以自己想象一下。真了不起，大家找到了3面涂色小正方體的位置和個(gè)數(shù)。

生10：我們把魔方摸了又摸，轉(zhuǎn)了又轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)2面涂色的在大正方體的棱上。

學(xué)生拿著魔方講述理由。隨著學(xué)生的描述，課件一個(gè)一個(gè)動(dòng)態(tài)剝離每條棱上的小正方體，讓學(xué)生直觀地看到2面涂色的小正方體的位置和個(gè)數(shù)。

師：明明每條棱上有3個(gè)小正方體，為什么只有1個(gè)是2面涂色的？

生11：每條棱上是3個(gè)，但減去已經(jīng)在棱角頂點(diǎn)上的3面涂色的2個(gè)，就只剩下中間這1個(gè)了。12條棱一共就有12個(gè)小正方體。

師：你的思路很清晰，說得也很清楚。看著課件再加上想象，2面涂色的12個(gè)找全了嗎？那1面涂色的位于大正方體的什么位置？有幾個(gè)？

生12：1面涂色的在每個(gè)面的中間，每個(gè)面上有1個(gè)，有6個(gè)面，所以有6個(gè)。

學(xué)生拿著魔方講述理由。隨著學(xué)生的描述，課件一個(gè)一個(gè)動(dòng)態(tài)剝離前面、上面、右側(cè)面中間的小正方體，學(xué)生清楚地看到1面涂色的小正方體的位置和個(gè)數(shù)。

師：怎么每個(gè)面只有1個(gè)1面涂色的小正方體呢？

生13：咱們看著魔方算一下就知道了。用棱長分別減去上下、左右兩個(gè)已分別涂色的，就剩下中間位置的正方體，只有1個(gè)。

師：你很善于觀察，善于總結(jié)，你的這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要。

生14：老師，我有更重要的發(fā)現(xiàn)，沒有涂色的在正中心，只有1個(gè)呢。

師：喲，正中心的你都能看見，你有透視眼嗎？

生14：不是。我剛才拿著魔方數(shù)了一下，發(fā)現(xiàn)看得見的小正方體只有8+12+6=26（個(gè)），還有1個(gè)不見了，所以肯定就藏在正中心，也就是沒有涂色的只有1個(gè)！

師：你是通過計(jì)算算出來的，這是個(gè)好主意。其他同學(xué)得到的都是這樣的結(jié)果嗎？

生15：我是拿著魔方數(shù)的，確實(shí)缺少1個(gè)。然后自己想象，應(yīng)該是有1個(gè)藏在正中心。

師：哦，是嗎？邊觀察邊想象可是解決問題的好辦法。究竟是不是這樣，我們一塊看看：（課件動(dòng)態(tài)演示）去掉前面一層，后面一層，上面一層，下面一層，左面一層，右面一層，中間就只剩下這1個(gè)啦！

師：要學(xué)好數(shù)學(xué)，解決問題后一定要驗(yàn)證答案。那你們的答案正確嗎？怎么驗(yàn)證？

生16：算一算或者數(shù)一數(shù)就知道了，8+12+6+1 =27（個(gè)）。

生17：由27個(gè)小正方體組成的大正方體表面涂上顏色后，小正方體表面的涂色情況是這樣的，3面涂色的有8個(gè)，2面涂色的有12個(gè)，1面涂色的有6個(gè)，沒有涂色的有1個(gè)。

設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)驗(yàn)操作發(fā)現(xiàn)的方式，學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)物直觀—觀察發(fā)現(xiàn)—總結(jié)規(guī)律”的過程，把抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律（每一個(gè)小正方體涂色的情況和它所擺放的位置以及個(gè)數(shù)）與直觀的實(shí)物操作結(jié)合起來思考，對(duì)3×3×3的正方體表面涂色規(guī)律的探索自然水到渠成，教學(xué)做到了抽象與形象、做與思的結(jié)合。

（二）研究4×4×4的情況，總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：大家真是了不起，運(yùn)用觀察、操作等方法成功地解決了棱長為3個(gè)單位的正方體表面的涂色問題是與小正方體所在的位置有關(guān)，還與棱長有關(guān)。你們還想研究棱長為幾個(gè)單位的正方體表面的涂色情況？（學(xué)生隨意說：4個(gè)，5個(gè)，20個(gè)，100個(gè)）現(xiàn)在你們還需要提供正方體來研究嗎？

生18：不用了，我們可以畫一個(gè)立體圖形，再加上自己的想象，就能找出規(guī)律。

師：大家的研究思路果然非常清晰。那我們?cè)賮硌芯坷忾L為4個(gè)單位的正方體表面的涂色情況。（課件出示棱長為4個(gè)單位的正方體）我指出幾個(gè)位置的小正方體，請(qǐng)大家告訴我，它是幾個(gè)面涂色的情況。

教師任意指這個(gè)正方體中的幾個(gè)小正方體，學(xué)生分析涂色情況。

師：你們答得又快又好。那這一次我們拋開學(xué)具，拿出4×4×4的圖紙，充分運(yùn)用你的想象力，說出3面涂色、2面涂色、1面涂色以及沒有涂色的小正方體分別在什么位置，各有多少個(gè)。

學(xué)生4人小組進(jìn)行討論交流，并填寫好實(shí)驗(yàn)記錄單。

師：哪一組匯報(bào)你們的發(fā)現(xiàn)？

生19：我們組發(fā)現(xiàn)3面涂色的還在棱角頂點(diǎn)處，有8個(gè)。（課件演示）2面涂色的還在大正方體的棱上，一條棱上有4-2=2（個(gè)），12條棱就有12×2=24（個(gè)）。

師：為什么會(huì)有24個(gè)？這個(gè)計(jì)算方法適合棱長為3個(gè)單位的正方體嗎？（在學(xué)生計(jì)算認(rèn)同后板書算式：（4-2）×12=24（個(gè)））現(xiàn)在我們看第三個(gè)問題，1面涂色的小正方體有幾個(gè)？我們需要每個(gè)面都去計(jì)算嗎？那如何計(jì)算呢？

生20：我們不需要每個(gè)面都計(jì)算，只需要觀察大正方體1個(gè)面的規(guī)律就可以推算出6個(gè)面的情況。

師：是的，研究這個(gè)問題不必面面俱到，只要研究大正方體的1個(gè)面就可以了。（課件出示棱長為4個(gè)單位的正方體1個(gè)面的情況）

生20：從左往右看，本來每條棱上有4個(gè)，減去頂點(diǎn)處的2個(gè)3面涂色的，這一排就只有2個(gè)。從上往下看，本來也是4個(gè)，減去2個(gè)2面涂色的，也只有2層了。中間涂色部分所含的小正方體個(gè)數(shù)就是這個(gè)面1面涂色的正方體的個(gè)數(shù)。

師：你能用這個(gè)方法驗(yàn)證棱長為3個(gè)單位的正方體1個(gè)面的涂色情況嗎？猜想一下棱長為5個(gè)單位的正方體1個(gè)面上有幾個(gè)1面涂色的？（課件分別出示棱長為3、5個(gè)單位的正方體1個(gè)面的情況）

學(xué)生看圖，想象后回答。

師：那沒有涂色的又有幾個(gè)呢？你是如何知道的？

生21：不需要找規(guī)律，64-8-24-24=8，是8個(gè)。

生22：我在腦子里用“剝”的方法想象了一下，也能知道有8個(gè)。左面去掉一層，右面去掉一層，上面去掉一層，下面去掉一層，前面去掉一層，后面去掉一層，剩下1個(gè)棱長為2個(gè)單位的正方體了。所以有2×2×2=8（個(gè)）。

生23：我只要“剝”去一層，看橫截面中間的小正方體的個(gè)數(shù)就知道了。

師：你們真棒，剛學(xué)的方法就能學(xué)以致用了。大家也在腦子里“剝”上一“剝”。有困難的同學(xué)可以觀看大屏幕上的演示一起驗(yàn)證。

生24：我通過看課件演示明白了，沒有涂色的小正方體藏在正中心。因?yàn)樯舷隆⒆笥摇⑶昂蠖急煌可耍Ｏ乱粋€(gè)長、寬、高都是2個(gè)單位的正方體，只要用（4－2）×（4－2）×（4－2）=8，就是沒有涂色的小正方體的個(gè)數(shù)。

師：大家能用這個(gè)規(guī)律驗(yàn)算棱長為3個(gè)單位的正方體表面的涂色情況嗎？

學(xué)生驗(yàn)證后都點(diǎn)頭表示可以。

師：同學(xué)們真了不起，又發(fā)現(xiàn)了棱長為4個(gè)單位的正方體表面的涂色情況。那剛才還有同學(xué)說想研究5個(gè)、100個(gè)甚至更多，我們繼續(xù)往下一個(gè)一個(gè)研究嗎？

學(xué)生紛紛搖頭，大聲說“不用了，不用了”。

師：那你們發(fā)現(xiàn)了正方體表面涂色問題的哪些規(guī)律呢？如果是棱長為N個(gè)單位的正方體，請(qǐng)你說說它表面的涂色情況又會(huì)是怎樣的。（板書：N3（N×N× N））

生25：我來說最容易的3面涂色的情況。因?yàn)樗械恼襟w都是8個(gè)頂點(diǎn)，而3面涂色的在棱角頂點(diǎn)處，所以棱長為N個(gè)單位的正方體3面涂色的有8個(gè)。（板書：8）

師：祝賀大家發(fā)現(xiàn)了正方體表面涂色問題的第一個(gè)規(guī)律。棱長為N個(gè)單位的正方體2面涂色的有幾個(gè)，你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？

生26：2面涂色的小正方體在棱上，與棱長有關(guān)系。棱長為4個(gè)單位的大正方體，2面涂色的有（4－2）×12=24（個(gè)）。那棱長為N個(gè)單位的大正方體，就用棱長N減去棱角頂點(diǎn)處的2個(gè)，再乘上12條棱就行了。（板書：（N-2）×12）

生27：棱長為N個(gè)單位的大正方體1面涂色的小正方體個(gè)數(shù)，從左往右看，本來每條棱上有N個(gè)，減去頂點(diǎn)處的2個(gè)3面涂色的，這一排就只有（N－2）個(gè)。從上往下看，本來也是N個(gè)，減去2個(gè)3面涂色的，也只有（N－2）層了。涂色部分所含的小正方體個(gè)數(shù)就是中間這個(gè)正方體的個(gè)數(shù)，等于（N－2）2個(gè)，有6個(gè)面，所以就是（N－2）2×6。（板書：（N－2）2×6）

師：那沒有涂色的小正方體有多少個(gè)？

生30：沒有涂色的在大正方體的正中心，也和棱長有關(guān)系。因?yàn)樯舷隆⒆笥摇⑶昂蠖急煌可耍虚g就剩下一個(gè)長、寬、高都是（N－2）的正方體，只要計(jì)算（N－2）3，就能得到?jīng)]有涂色的小正方體的個(gè)數(shù)。（板書：（N-2）3）

師：太佩服你們了，正方體表面的涂色問題這么難的一件事，被你們用實(shí)驗(yàn)研究的方法發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，變成了一件非常容易的事，難怪老子說“世上無難事，只怕有心人”。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)字資源呈現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)要適量、適度。因而在學(xué)生的認(rèn)識(shí)積累到一定程度時(shí)，要及時(shí)讓學(xué)生的形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)活動(dòng)的內(nèi)化和思維的發(fā)展。因此，在總結(jié)“棱長為N個(gè)單位的正方體表面的涂色情況”的規(guī)律時(shí)，教師就采用了這一教學(xué)策略，促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。

三、總結(jié)下課，布置作業(yè)

師：同學(xué)們，就快下課了，你能說說你今天的收獲嗎？（學(xué)生積極地反饋這節(jié)課的收獲，教師隨機(jī)板書：實(shí)驗(yàn)探究、分類計(jì)數(shù)、數(shù)形結(jié)合、空間想象）

師：老師給每個(gè)4人小組都準(zhǔn)備了一套由64個(gè)小正方體拼成的大正方體，表面涂上了紅色。但是也散落了，裝在了學(xué)具袋里。請(qǐng)你們將它恢復(fù)原狀，看哪組同學(xué)合作得又快又好。

學(xué)生拿出學(xué)具袋，馬上忙活起來：先將所有的小正方體分4類擺放，確認(rèn)每種情況的個(gè)數(shù)后，再合作拼擺。最短的用時(shí)3分55秒，最長的用時(shí)5分20秒，都準(zhǔn)確無誤地還原了大正方體。

接下來課件出示：在一個(gè)正方體的表面涂上顏色，再把它切成棱長為1厘米的小正方體，已知2面涂色的小正方體有96個(gè)，求大正方體的棱長是多少厘米？

……

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生獲得正方體表面的涂色規(guī)律后，教師并沒有急于讓學(xué)生簡單地套用公式解決問題，而是讓學(xué)生在總結(jié)歸納學(xué)習(xí)方法后，通過動(dòng)手操作的方式將規(guī)律和方法內(nèi)化。這樣能讓學(xué)生在記憶中對(duì)知識(shí)留下“刻痕”而不是“劃痕”，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和能力。（本文系基金項(xiàng)目：湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度湖南省教育科學(xué)研究基地專項(xiàng)課題《信息化時(shí)代小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科建設(shè)實(shí)踐研究》成果，課題批準(zhǔn)號(hào)：XJK015BJD038）

（作者單位：湘潭市雨湖區(qū)風(fēng)車坪學(xué)校）