Lipschitz連續強單調逆變分不等式的迭代算法

何松年，劉宏智

（中國民航大學理學院，天津　300300）

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Lipschitz連續強單調逆變分不等式的迭代算法

何松年，劉宏智

（中國民航大學理學院，天津300300）

摘要：假設H是一個實的Hilbert空間，C是H的一個非空閉凸子集，f：H→H是一Lipschitz連續強單調算子。考慮逆變分不等式（簡記為IVI（C，f））：即尋求ξ∈H滿足f（ξ）∈C，〈ξ，v - f（ξ）〉≥0，?v∈C。證明了IVI（C，f）解的一個存在唯一性定理，給出了解的兩個迭代算法，改進了以往的相關結果。

關鍵詞：逆變分不等式；強單調；不動點；迭代算法

假設H是一個實Hilbert空間，〈·，·〉和‖·‖分別表示H的內積和范數，又設C是H的一個非空閉凸子集，F：C→H是一個映像。變分不等式VI（C，F）是尋求u∈C使得〈F（u），v-u〉≥0，?v∈C。變分不等式解的迭代算法已獲得充分的研究，并且廣泛應用于工程計算、經濟均衡和交通網絡等諸多領域。

設f：H→H是一映像，C?H是一非空閉凸子集，逆變分不等式IVI（C，f）的提法是：尋求ξ∈H，使得f（ξ）∈C且〈ξ，v - f（ξ）〉≥0，?v∈C。若f：H→H是一一對應，則其逆映像f-1：H→H存在，記f（ξ）= u，則ξ= f-1（u），顯然ξ是IVI（C，f）的解當且僅當u是變分不等式VI（C，f-1）的解，逆變分不等式由此得名。

逆變分不等式廣泛地應用于交通網絡中的控制理論、交通網絡、管理科學問題中。近年來何炳生等［1-2］給出了一些關于系統控制問題中單調的逆變分不等式的迭代算法和經濟生活問題中的逆變分不等式的算法。本文是對Luo［3-4］相關結果的一種改進。

本文研究包括如下3部分：首先列出本文用到的記號和引理；其次證明逆變分不等式解的一個存在唯一性定理；最后給出逆變分不等式解的迭代算法。

1　預備知識

本文恒設H是一個實Hilbert空間，〈·，·〉和‖·‖分別表示H的內積和范數，用到如下記號：

2）I表示恒等算子；

3）ωω（xn）表示｛xn｝的弱ω-極限點集，即

定義設算子f：H→H，則：

1）稱f是L-Lipschitz連續映像，如果存在常數L＞0，使得

特別地，當L=1時，稱f為非擴張映像，當0≤L＜1時，稱f為壓縮映像。

2）稱f是單調的，如果總成立

3）稱f是η-強單調的，如果存在常數η＞0，使得

對?z∈H，z關于非空閉凸子集C的度量投影，記作PCz = arg min｛‖z - x‖：x∈C｝。眾所周知PC是非擴張的，且對u∈C，u∈PCz的充要條件是〈z - u，v -u〉≤0，?v∈C，此不等式稱為投影的特征不等式。

設λ＞0，可知u是變分不等式問題V（IC，F）的解，當且僅當u = P（Cu -λF（u））成立。類似地，設λ＞0，由投影特征不等式可以知道逆變分不等式問題IV（IC，f）等價于方程（fξ）= P（C（fξ）-λξ）。設α＞0，將方程f（ξ）= PC（f（ξ）-λξ）兩邊同乘以α得到α（fξ）= αP（C（fξ）-λξ），于是自然得到

這表明解逆變分不等式問題IVI（C，f）等價于尋求映像T：= I -α f +αP（Cf -λI）的不動點，這是討論IV（IC，f）問題的出發點。

下面以引理的形式列出將要用到的一些結論。

引理1對實Hilbert空間，成立下列等式：

引理2若F：C→H是L-Lipschitz連續和η-強單調，則當0＜λ＜時，P（CI -λF）是一個壓縮映像，定義迭代格式un+1= P（CI -λF）un，則｛un｝強收斂于變分不等式V（IC，F）的唯一解。

引理3設｛an｝是非負實數列，滿足

2　存在唯一性定理

對于變分不等式，人們早就得到了在Lipschitz連續強單調條件下變分不等式解的存在唯一性定理［7］，而逆變分不等式還沒有見到類似的結論，目前在文獻［4］中Luo等證明了如下結果：

如果f：H→H是L-Lipschitz連續和η-強單調的，若存在某常數β＞0，使得：

則T：= I - f + P（Cf -βI）是一個壓縮映像，其壓縮系數為，因此IVI（C， f）存在唯一解。Luo雖然給出了一個逆變分不等式解的存在唯一性定理，但上述1）、2）、3）這3個條件顯然過于苛刻，相應給出的逆變分不等式的迭代算法也不能令人滿意。

本文改進Luo等人的上述結果，提出一個新的存在唯一性定理。

定理1若f：H→H是L-Lipschitz連續和η-強單調的，若L＜η，則對任意T：= I -α f +αP（Cf -ηI）是一壓縮映像，進而IV（IC，f）存在唯一解。

證明對?u，v∈H，由PC的非擴張性可得

結合上面3個式子，可得到

，所以由式（6）可得

即

從而T為壓縮映像，因此T有唯一不動點，即證明了IV（IC，f）有唯一解。

定理2若f：H→H是L-Lipschitz連續和η-強

證明由式（2）～式（4）這3個式子，可得到

3　迭代算法

上面證明了逆變分不等式存在唯一性定理，在這一部分將分別給出T是壓縮映像和非擴張映像時相應的迭代算法。

設H是一個實Hilbert空間，C是H的一個非空閉凸子集，f：H→H是L-Lipschitz連續和η-強單調的映像，且滿足L＜η。首先建立一個Picard迭代算法。

其中T：= I -α f +αP（Cf -ηI），產生的序列｛xn｝強收斂于IV（IC，f）的唯一解。

從定理1可知T是壓縮映像，由Banach壓縮映像原理可知｛xn｝強收斂到T的唯一不動點，即IVI（C，f）的唯一解。

而對于非壓縮映像，Picard迭代未必收斂，更未必收斂于其不動點。下面進一步討論當T是一個非擴張映像時的迭代算法。

時，迭代算法為

其中T：= I -α f +αP（Cf -ηI），μ，x0∈C任意取定，｛tn｝?（0，1）；又設：

則算法（10）產生的序列｛xn｝強收斂于IVI（C，f）的唯一解。

應用引理3，Halpern［8］在｛tn｝滿足上述條件下，證明了｛xn｝強收斂到T的不動點，而解逆變分不等式問題IVI（C，f）又等價于尋求非擴張映像T：= I -α f + αP（Cf -ηI）的不動點，所以｛xn｝是強收斂到IVI（C，f）的唯一解。

參考文獻:

［1］HE B S，LIU H X. Inverse Variational Inequalities in the Economic Field：Applications and Algorithms［EB/OL］.（2006-09-18）［2015-05-10］. http：//www.paper.edu.cn/html/release paper/2006/09/260/.

［2］HE B S，LIU H，LI X，et al. PPA-Base Methods for Monotone Inverse Variational Inequalities［EB/OL］.（2006-06-21）［2015-05-10］. http：//www.paper.edu.cn/html/release paper/2006/06/219/.

［3］LUO X P. Tikhonov regularization methods for inverse variational inequalities［J］. Optim Lett，2014，8：877-887.

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［5］MARINO G，XU H K. Weak and strong convergence theorems for strict pseudocontractions in Hilbert spaces［J］. J Math Anal Appl，2007，329：336-346.

［6］XU H K. Iterative algorithm for nonlinear operators［J］. J Lond Math Soc，2002，66（1）: 240-256.

［7］HARTMAN P，STAMPACCHIA G. On some non-linear elliptic differential-functional equations［J］. J Acta Mathematica，1966，115:153-188.

［8］HALPERN B. Fixed points of nonexpanding maps［J］. Bull Amer Math Soc，1967，73: 957-961.

（責任編輯：楊媛媛）

Iterative algorithm for Lipschitz continuous and strongly monotone inverse variational inequalities

HE Songnian，LIU Hongzhi

（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

Abstract:Let C be a nonempty closed convex subset of a real Hilbert space H，f：H→H be a Lipschitz continuous and strongly monotone mapping. Then，inverse variational inequality is considered（in short，IVI（C，f））: find ξ∈H such that f（ξ）∈C，〈ξ，v - f（ξ）〉≥0，?v∈C. A new existence and uniqueness theorem for inverse variational inequalities is proved and two iterative algorithms are introduced to improve the previous relevant results.

Key words:inverse variational inequality；strongly monotone；fixed point；iterative algorithm

中圖分類號：O177.91；O241.7

文獻標志碼：A

文章編號：1674－5590（2016）02－0062－03

收稿日期：2015-05-14；修回日期：2015-06-15

基金項目：天津市重點實驗室開放課題（1040030603）；中國民航大學研究生科技創新基金（Y15-25）

作者簡介：何松年（1963—），男，山西太原人，教授，博士，研究方向為非線性分析理論、算法及其應用.