例析反證法在立體幾何中的應(yīng)用

◇　江西　湯　燕

例析反證法在立體幾何中的應(yīng)用

◇江西湯燕

反證法是一種解題手段,在高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的諸多定理與公式的證明,都是用反證法來(lái)實(shí)現(xiàn)的．反證法的存在,可以幫助學(xué)生解決一些正面難以解決的數(shù)學(xué)難題,有利于鍛煉學(xué)生思維模式,擴(kuò)寬了解題思路．下面舉例分析反證法在高中立體幾何中的應(yīng)用．

1否定問(wèn)題,正面求解

在某些題目中,若所需要證明的結(jié)論是一個(gè)否定命題,而直接證明比較困難,這就需要我們從它的反面即正面命題來(lái)求解．

圖1

分析這是一道簡(jiǎn)單的證明題,如果直接從正面去考慮證明a與平面α內(nèi)任意一條直線都不平行,將十分復(fù)雜．假如我們從問(wèn)題的反面思考,不存在一條直線與a平行的反面是至少有一條直線與a平行,就會(huì)起到“柳暗花明”的效果．因此可以反面推導(dǎo),最后根據(jù)題意得出矛盾．

證明假設(shè)原命題不成立,則在平面α存在一條直線b與a平行．又因?yàn)閎?α而a?α,所以可以得出a∥α,這與已知a∩α=A矛盾,于是假設(shè)不正確,故原命題正確．

2唯一存在,反面逆推

對(duì)于一些唯一性、存在性的問(wèn)題,如果用正常的方法解決,其證明過(guò)程可采用2步來(lái)解決:先證明存在性，再證明唯一性．這就是直接證明法,但某些“唯一性”問(wèn)題用直接法不易求解，則可采用反證法,使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單．

分析本題只需要證明唯一性,我們就可以采用反證法來(lái)解決．假設(shè)過(guò)點(diǎn)P與α垂直的直線有2條,再去判斷這一假設(shè)與其他條件相互矛盾，即可解決問(wèn)題.

圖2

證明如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥α,垂足為A．假設(shè)還有一條直線PB⊥α,即PA∩PB=P,可知由PA、PB可以確定一個(gè)平面β．設(shè)α∩β=a,則在β內(nèi)PA⊥a、PB⊥a,所以PA∥PB．這與PA∩PB=P產(chǎn)生矛盾,所以假設(shè)不成立,命題得證．

3平行證明,相交起手

反證法的使用也可以出現(xiàn)在平行問(wèn)題的證明上,如果證明2條直線平行,直接證明很困難,我們可以先假設(shè)它們不平行,之后再利用已知條件推出矛盾,這樣就可以得出2條直線平行．

分析2個(gè)平面平行的反面是2個(gè)平面相交，故可先假設(shè)相交，再來(lái)判斷其與條件矛盾即可．

圖3

證明如圖3所示，假設(shè)α與β不平行,α∩β=c.又因?yàn)閍∥β,b∥α．由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知a∥c、b∥c,則a∥b．這與已知條件a和b是異面直線矛盾,故假設(shè)不成立,一定存在α∥β．

4相交證明,平行起手

立體幾何中不僅存在大量證明平行的問(wèn)題,也存在著很多證明相交的問(wèn)題．在相交的問(wèn)題中,也可以采用反證法來(lái)求證，原理與平行問(wèn)題相同．

分析本題與上面求證平行的問(wèn)題相似,也是屬于證明面與面之間的關(guān)系,因此仍可以采用反證法.

圖4

證明如圖4，假設(shè)α與β不相交,則α與β重合或者是平行．

當(dāng)α與β重合時(shí),由PB⊥β可得PB⊥α.又因?yàn)镻A⊥α,所以過(guò)點(diǎn)P有2條直線與α垂直,這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與平面垂直相矛盾．

當(dāng)α∥β時(shí),同理也可以推出矛盾,故假設(shè)不成立,所以α與β必相交．

教師在教會(huì)學(xué)生利用反證法證明平行問(wèn)題后,可讓學(xué)生自行思考如何使用反證法證明相交問(wèn)題．通過(guò)學(xué)生自己去思考達(dá)到觸類(lèi)旁通的目的．有利于提高學(xué)生自行解決問(wèn)題的能力,也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移訓(xùn)練的大好機(jī)會(huì)

5線面關(guān)系,反面立新

在線面關(guān)系證明中,用正面求解的方式往往會(huì)耗時(shí)耗力,而且難度極大，反證法求解不僅大大降低了解題的難度,而且步驟簡(jiǎn)單、思路清晰,解題的效率明顯提高．

圖5

分析此題的關(guān)鍵點(diǎn)是“不垂直”．這個(gè)“不”字也是在提醒我們使用反證法．假設(shè)直線AC與平面SOB垂直,然后導(dǎo)出矛盾,從而間接推出AC與平面SOB不垂直．

證明假設(shè)AC⊥平面SOB,因?yàn)橹本€SO在平面SOB內(nèi),所以AC⊥SO．又因?yàn)镾O⊥底面圓O,所以SO⊥AB．即SO⊥平面SAB,所以平面SAB平行底面圓O,顯然矛盾,因此假設(shè)不成立,即AC與平面SOB不垂直．

總之，反證法是高中數(shù)學(xué)中重要的解題、證明方法,教學(xué)中教師不僅要在學(xué)生的心中樹(shù)立使用反證法的思維,更要注重培養(yǎng)、增強(qiáng)他們使用反證法的意識(shí)，明白使用反證法時(shí)需要注意的事項(xiàng)．只有教導(dǎo)學(xué)生靈活掌握了反證法,才能夠從容地解決高考中出現(xiàn)的相應(yīng)題目．

(作者單位：江西省宜春市第一中學(xué))