巧用轉化法解最值問題

◇　山東　王　芳

巧用轉化法解最值問題

◇山東王芳

最值問題一直是近些年高考的重點和難點,也是必考內容．對于一些結構復雜的問題,利用轉化法可以有效地簡化題目結構、化抽象為具體、化繁為簡．本文將結合實例,對轉化法在最值問題中的應用進行探究,幫助學生理清解題思路．

1三角代換轉化

可用三角換元求解的題目一般具有比較明顯的特征,若能發現規律,便可選對方法,進而順利求解．

從S=x2+y2的形式出發提問學生：高中有哪些類似形式的公式,學生不難聯想到sin2x+cos2x=1．于是采用三角換元.

對于三角換元問題,最重要、也是學生最容易犯錯的地方就是對代換后的式子取值范圍的判定．

2數與形的轉化

數形結合不僅是一種解題方法，更是一種有效聯系幾何與代數的橋梁.通過數形結合思想的使用，學生可以將函數問題與幾何圖形相聯系，利用圖象的幾何意義進行函數最值求解.但這樣的思路往往需要學生具有很強的邏輯思維能力，能夠清晰有效地使用圖形的幾何意義進行解題.

上述所求得的最值即是本題函數的最值．

3整體與局部的轉化

在研究和解決數學問題時，若問題所給對象不能按統一的思維和方法解決，可根據實際情況，把所要研究的對象分成幾類來討論，使每一類問題都變得較為簡單、具體，便于操作.“化整為零，集零為整”是它的本質.分類討論的原則是：標準統一，對象確定，不重不漏，不越級討論.

要想得到|CP|的最值,可設t=x-1(t>0),即

從上式可得當u=-1時,

綜上可知,囧圓面積取得的最小值為3π．

4主元與輔元的轉化

對于涉及多個變量的問題中，可將某個變量看作主要變量，其他變量看作參數，從而使問題得到解決.

x2+y2+z2=m可得

(7-2y+3z)2+y2+z2=m.

將y看作主元，整理得

5y2-(12z+28)y+10z2+42z+49-m=0.

因為y存在，所以Δ1≥0,即

(12z+28)2-20(10z2+42z+49-m)≥0,

即

14z2+42z+49-5m≤0.

再將z看作主元，因為z存在，所以Δ2≥0，即

422-56(49-5m)≥0,

除了上述幾種轉化方法以外，還有特殊與一般的轉化、正與反的轉化、抽象與具體的轉化等，望同學們在學習中不斷歸納總結，以提升自己分析問題解決問題的能力．

(作者單位：山東省榮成市第二中學)