談芻議高中代數排列組合的解題策略

嚴偉

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）13-197-01

排列和組合是高中數學教與學的一個難點，雖然高考中所占比重不大，但試題具有一定的靈活性、機動性和綜合性，教學中又涉及到分類與整合、轉化與化歸、正難則反等多種思維方法，又是概率的基礎。排列組合作為高中代數課本的一個獨立分支，因為極具抽象性而成為“教”與“學”難點。有相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但是由于學生的認知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應。從而導致學生對題目—知半解，甚至覺得“云里霧里”。針對這一現象，筆者在日常教學過程中經過嘗試總結出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

一、激發學生學習興趣

"興趣和愛好是最好的老師。"因此數學學科要取得良好的效果，要求教師有淵博的知識，結合數學科的特點，精心設計每一節課，以情趣導學，充分調動學生學習數學的熱情。數學教學心理學認為：教師應該設法使學生在數學學習前處于對知識的“饑餓狀態”，以激發學生的學習興趣，動機和熱情。

筆者認為之所以學生"怕"學排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，那么解決問題的關鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進行一下轉換，讓學生走進題目當中，成為"演員"，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發揮學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發，逐步適應排列組合題的解題規律，從而做到以不變應萬變。當然，在具體的教學過程中一定要注意題目轉換的等價性，可操作性。

二、排列組合綜合問題的一般解題規律

使用“分類計數原理”還是“分步計數原理”要根據我們完成某件事時采取的方式而定，可以分類來完成這件事時用“分類計數原理”，需要分步來完成這件事時就用“分步計數原理”；那么，怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現為其中任何一類均可獨立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準確理解兩個原理強調完成一件事情的幾類辦法互不干擾，相互獨立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨完成，分步計數原理強調各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。

排列與組合定義相近，它們的區別在于是否與順序有關。復雜的排列問題常常通過試驗、畫 “樹圖 ”、“框圖”等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結果的正確性難于檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質進行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。

三、特殊元素（位置）的“優先安排法”

對于特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。

例1、用0，2，3，4，5，五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（ ）。

A.24個 B.30個 C.40個 D.60個

[分析]由于該三位數為偶數，故末尾數字必為偶數，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應該優先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時，有A42個，2）0不排在末尾時，則有C21 A31A31個，由分數計數原理，共有偶數A42 + C21 A31A31=30個，選B。

四、相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內部各元素間順序的解題策略就是捆綁法

例2、有8本不同的書；其中數學書3本，外語書2本，其它學科書3本.若將這些書排成一列放在書架上，讓數學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有（ ）種.（結果用數值表示）

解：把3本數學書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有A55種排法；又3本數學書有A33種排法，2本外語書有A22種排法；根據分步計數原理共有排法A55 A33 A22=1440（種）。

注：運用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁”起來的大元素內部的順序問題.

五、不相鄰問題用“插空法”：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開.解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數共有（ ）個.（用數字作答）

解：由于要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個數字捆綁在一起形成一個大元素，這個大元素的內部中間只能排2，兩邊排1和4，因此大元素內部共有A22種排法，再把5與6也捆綁成一個大元素，其內部也有A22種排法，與數字3共計三個元素，先將這三個元素排好，共有A33種排法，再從前面排好的三個元素形成的間隙及兩端共四個位置中任選兩個，把要求不相鄰的數字7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合條件的八位數共有A22 A22 A33 A42=288（種）。運用“插空法”解決不相鄰問題時，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置。

六、順序固定用“除法”

對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數除于這幾個元素的全排列數。

例4、6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊方法有多少種？

分析：不考慮附加條件，排隊方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66 ÷A33 =120種。（或A63種）

例5、4個男生和3個女生，高矮不相等，現在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。

解：先在7個位置中任取4個給男生，有A74 種排法，余下的3個位置給女生，只有一種排法，故有A74 種排法。