基于低秩矩陣和字典學(xué)習(xí)的圖像超分辨率重建

楊帥鋒　　　趙瑞珍

(北京交通大學(xué)信息科學(xué)研究所　北京　100044) (現(xiàn)代信息科學(xué)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(北京交通大學(xué))　北京　100044) (yangsfsx@163.com)

基于低秩矩陣和字典學(xué)習(xí)的圖像超分辨率重建

楊帥鋒趙瑞珍

(北京交通大學(xué)信息科學(xué)研究所北京100044) (現(xiàn)代信息科學(xué)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(北京交通大學(xué))北京100044) (yangsfsx@163.com)

摘要基于稀疏表示和字典學(xué)習(xí)的超分辨率重建算法沒有對圖像進(jìn)行分解，直接將整幅圖像的信息都進(jìn)行了學(xué)習(xí)重建.由低秩矩陣?yán)碚撝?，可將圖像分解成低秩部分和稀疏部分.根據(jù)圖像各部分信息的特征分別用不同的方法進(jìn)行超分辨率重建，將能更加有效地利用圖像的特征.據(jù)此提出了一種基于低秩矩陣和字典學(xué)習(xí)的超分辨率重建方法.該方法首先通過對圖像進(jìn)行低秩分解得到圖像的低秩部分和稀疏部分，圖像的低秩部分保留了圖像的大部分信息.算法只對圖像的低秩部分通過字典學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行超分辨率重建，圖像的稀疏部分則不參與學(xué)習(xí)重建，而是采用雙三線性插值的方法進(jìn)行重建.實(shí)驗(yàn)分析表明，圖像的重建質(zhì)量有所提升，同時(shí)減少了一定的重建時(shí)間，提升了算法的運(yùn)行速度.與現(xiàn)有算法比較，在視覺效果、峰值信噪比、算法運(yùn)行速度等方面均獲得了更好的結(jié)果.

關(guān)鍵詞低秩矩陣；圖像分解；稀疏表示；字典學(xué)習(xí)；超分辨率

圖像的分辨率是指1幅圖像中所包含的細(xì)節(jié)信息，圖像的分辨率越高，則圖像擁有的細(xì)節(jié)就越多.提高圖像分辨率的2個(gè)途徑分別是改善硬件設(shè)備和超分辨率重建.但是通過改善硬件的方式來提升圖像的分辨率存在分辨率提高有限、成本高、技術(shù)難度大、易受環(huán)境影響等問題，因此可以通過圖像的超分辨率(super-resolution,SR)重建技術(shù)在成本相對較低的條件下獲得更高分辨率的圖像.圖像的超分辨率重建技術(shù)[1-3]是指由1幀或多幀低分辨率圖像經(jīng)過圖像處理算法來重建1幀高分辨率圖像的技術(shù)，它不改變成像系統(tǒng)的硬件.該技術(shù)可以改進(jìn)圖像的視覺效果，推動(dòng)圖像復(fù)原技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，而且在軍事偵察、遙感監(jiān)測、交通監(jiān)控、醫(yī)學(xué)診斷等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.

目前的超分辨率重建算法主要有基于重構(gòu)和基于學(xué)習(xí)兩大類.在傳統(tǒng)的超分辨重建算法中，頻域法和空域法是最主要的算法.其中，頻域法最早是由Tsai和Huang[4]提出的.頻域法主要是基于變換的移位特性，通過在頻域內(nèi)消除頻譜混疊而達(dá)到提升重建圖像的分辨率.Chang等人[5]首先提出基于鄰域嵌入(neighborembedding,NE)的圖像超分辨率重建方法.該方法的主要思想是：假設(shè)對應(yīng)的高、低分辨率圖像塊在特征空間具有相似的局部流形結(jié)構(gòu)，為高、低分辨率圖像塊構(gòu)建了一種對應(yīng)關(guān)系.Ni等人[6]首先提出基于支持向量機(jī)(supportvectormachine，SVM)的超分辨重建方法.該方法的原理是：通過加入一些約束條件，將半正定規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃，從而來求解半正定規(guī)劃的Kernel學(xué)習(xí)問題.

基于字典學(xué)習(xí)的重建算法受到了廣大研究者的關(guān)注，其重建效果也較理想.Freeman等人[7]提出的基于例子的重構(gòu)算法，該算法最先在重構(gòu)算法中利用圖像塊間的約束，通過Markov網(wǎng)絡(luò)建立高、低分辨率圖像塊間的對應(yīng)關(guān)系，但是算法耗時(shí)較大.Yang等人[8]在超分辨率重建算法中引入了稀疏表示的思想，利用高、低分辨率圖像塊之間在特定的稀疏基下有相同的稀疏表示，該算法有效提高了算法的運(yùn)行速度和圖像的重構(gòu)質(zhì)量.后來他們又提出了一種單幅圖像的超分辨率重建算法[9].Glasner等人[10]、Kwon等人[11]對單幅圖像的超分辨率重建也做了一些研究.

近年來，低秩矩陣恢復(fù)(low-rankmatrixrecovery，LRMR)[12]將向量樣例的稀疏表示推廣到矩陣的低秩模型，這是繼壓縮感知(compressivesensing，CS)之后的又一種重要的數(shù)據(jù)獲取和表示方式.LRMR首先將數(shù)據(jù)矩陣表示為低秩矩陣與稀疏矩陣之和，再通過求解核范數(shù)優(yōu)化問題來恢復(fù)低秩矩陣.

圖像可以看成2維矩陣，因此可以用低秩矩陣恢復(fù)算法對圖像進(jìn)行低秩分解.借鑒Yang提出的字典學(xué)習(xí)方法，通過對圖像先進(jìn)行低秩分解再進(jìn)行基于字典學(xué)習(xí)的超分辨率重建.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的方法不僅可以有效地提升圖像的重建質(zhì)量，還能減少重建算法的運(yùn)行時(shí)間.

1基于低秩矩陣恢復(fù)理論的圖像分解

1.1低秩矩陣恢復(fù)理論

所謂低秩矩陣的低秩性是指矩陣的秩相對于矩陣的行數(shù)或列數(shù)而言很小.經(jīng)典的低秩矩陣恢復(fù)模型是將矩陣D分解為1個(gè)低秩矩陣A和1個(gè)稀疏矩陣E，其優(yōu)化問題如下[12]：

(1)

(2)

1.2圖像的低秩分解

設(shè)待處理的圖像為X，根據(jù)低秩矩陣恢復(fù)原理可將圖像X分解成低秩部分Xlr和稀疏部分Xsp，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(3)

式(3)是一個(gè)凸優(yōu)化問題，可通過增廣拉格朗日乘子法[12]進(jìn)行求解，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下:

Y,X-Xlr-Xsp

(4)

由于圖像的低秩部分保留了原圖的大部分信息，可只對圖像的低秩部分進(jìn)行基于字典學(xué)習(xí)的超分辨率重建，以減少一定的重建時(shí)間，提升整體的算法速度.

2基于字典學(xué)習(xí)的超分辨率重建

設(shè)x是高分辨率圖像X的一個(gè)圖像塊，其對應(yīng)的低分辨率圖像塊y可由如下的降質(zhì)模型得到[5]：

(5)

其中，S表示下采樣處理，H表示模糊處理.

存在由一組高分辨率圖像樣本訓(xùn)練得到的過完備字典Dh，在Dh下，x有唯一的最稀疏表示α[14]，其式子如下：

(6)

(7)

其中,L=SH，表示從高分辨率圖像塊到低分辨率圖像塊的1個(gè)映射矩陣，則低分辨率的字典為Dl=LDh.這說明高、低分辨率圖像塊在對應(yīng)的過完備字典下有著相同的稀疏表示.因此，可以先求出低分辨率圖像塊y在低分辨率字典Dl下的最稀疏表示α，然后利用x=Dhα重建出高分辨率圖像塊x.

但是式(6)是1個(gè)NP-hard問題，最稀疏表示α難以求得.Donoho已經(jīng)證明，只要α足夠稀疏，就可以轉(zhuǎn)化成L1范數(shù)最小化問題，因此式(6)可寫成：

(8)

根據(jù)優(yōu)化理論，對低分辨率圖像塊進(jìn)行稀疏表示的優(yōu)化過程可描述為

(9)

(10)

同樣，可以將式(10)寫成L1范數(shù)的形式如下：

(11)

若采用拉格朗日乘子法，式(11)可寫為

(12)

3基于低秩矩陣和字典學(xué)習(xí)的重建方法

3.1圖像的低秩分解和重建

若將原高分辨率圖像塊x進(jìn)行低秩分解，得到低秩部分xlr和稀疏部分xsp，由式(3)可得x=xlr+xsp，根據(jù)圖像的降質(zhì)模型可得低分辨率圖像塊y的表達(dá)式為

(13)

記y的低秩部分為A，稀疏部分為E，則式(13)變?yōu)?/p>

(14)

其中,A=Lxlr，E=Lxsp.

根據(jù)稀疏表示的原理，將A進(jìn)行稀疏表示為A=Dlα，由基于字典學(xué)習(xí)進(jìn)行超分辨率重建的方法，可將原圖的低秩部分xlr重建為xlr=Dhα，這樣就將圖像的低秩部分進(jìn)行了超分辨率重建.

3.2高低分辨率字典Dh和Dl的聯(lián)合訓(xùn)練

針對稀疏表示的過完備字典的優(yōu)化算法中，由Aharon等人[15]提出的K-SVD算法是比較經(jīng)典的一種算法，該算法有效地減少了冗余字典中原子的數(shù)目.字典訓(xùn)練的實(shí)質(zhì)是如下的一個(gè)優(yōu)化問題：

(15)

其中，Y表示訓(xùn)練樣本矩陣，D表示過完備字典，A=[α1,α2,…,αk]表示稀疏矩陣，k表示稀疏度.若設(shè)Xh=[x1,x2,…,xN]是采樣后的高分辨率圖形塊，Yl=[y1,y2,…,yM]是對應(yīng)的低分辨率圖像塊，則采樣后的訓(xùn)練圖像塊對記為I=[Xh,Yl].高分辨率和低分辨率圖像塊空間各自的稀疏編碼問題如下[16-20]：

(16)

(17)

式(16)和式(17)可合寫成如下優(yōu)化問題[16-20]：

(18)

其中，

(19)

其中,N和M分別是高分辨率和低分辨率圖像塊的維數(shù).通過此優(yōu)化問題可以保證高、低分辨率圖像的稀疏表示具有相同的編碼系數(shù).這種聯(lián)合字典學(xué)習(xí)的方法可以通過訓(xùn)練單一字典同時(shí)達(dá)到訓(xùn)練2個(gè)字典的目的.相比較于固定基的字典，通過樣本訓(xùn)練學(xué)習(xí)得到的字典具有更強(qiáng)的自適應(yīng)能力，信號在學(xué)習(xí)字典下的表示也更為精確.

綜上，最終算法如下:

1) 低秩分解.將低分辨率圖像y用EALM方法分解成低秩部分A和稀疏部分E.

3) 字典訓(xùn)練.用K-SVD方法聯(lián)合訓(xùn)練得到高分辨率字典Dh和低分辨率字典Dl.

下面我們用框圖對文獻(xiàn)[8]算法和最終算法進(jìn)行對比，文獻(xiàn)[8]算法框圖和本文算法框圖分別如圖1、圖2所示：

Fig. 1　The diagram of the algorithm of Ref [8].圖1　文獻(xiàn)[8]算法框圖

Fig. 2　The diagram of our algorithm.圖2　本文算法框圖

對比上述2個(gè)框圖可知，本文算法對輸入低分辨率圖片的低秩部分進(jìn)行了基于字典學(xué)習(xí)的超分率重建，而其稀疏部分經(jīng)過Bicubic插值重建后沒有繼續(xù)進(jìn)行學(xué)習(xí)重建，從而減少了原圖中噪聲等因素對學(xué)習(xí)重建過程的影響，提升了最終重建圖的質(zhì)量.算法的核心是先將圖像進(jìn)行低秩分解，得到低秩和稀疏2個(gè)部分，然后采用不同的方法對不同的圖像信息進(jìn)行超分辨率重建，最后再合成完整的重建圖像.

4實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)在CPU為雙核3.00GHz、內(nèi)存為2.00GB的計(jì)算機(jī)下運(yùn)行，使用MATLABR2012b平臺編程實(shí)現(xiàn)算法.設(shè)定訓(xùn)練字典的長度為1024，K-SVD迭代次數(shù)為40，放大倍率為3.低分辨率樣本的特征提取方法則使用文獻(xiàn)[8]的算法中的第一、第二階梯度.實(shí)驗(yàn)將Bicubic作為基準(zhǔn)插值法，采用Flowers，Lena，Zebra，Monarch，Baboon，Pepper圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，本文展示了Flowers，Lena，Zebra圖像的重構(gòu)結(jié)果，如圖3～5所示；選取了Lena圖的細(xì)節(jié)部分進(jìn)行放大對比，如圖6所示；計(jì)算了各重構(gòu)算法的PSNR和SSIM值，結(jié)果如表1所示；計(jì)算并對比了算法的運(yùn)行時(shí)間，結(jié)果如表2所示；為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性和魯棒性，本文設(shè)置了加噪實(shí)驗(yàn)，對Flowers圖加入均值為零的高斯白噪聲，方差σ在0.1～1.0范圍內(nèi)變化，實(shí)驗(yàn)所得曲線如圖7所示.

Fig. 3　Comparison of Flowers super-resolution images.圖3　Flowers圖各算法重構(gòu)結(jié)果比較

Fig. 4　Comparison of Lena super-resolution images.圖4　Lena圖各算法重構(gòu)結(jié)果比較

Fig. 5　Comparison of Zebra super-resolution images.圖5　Zebra圖各算法重構(gòu)結(jié)果比較

Fig. 6　Comparison of the details of Lena images.圖6　Lena圖各算法重構(gòu)細(xì)節(jié)結(jié)果比較

通過圖3～5的對比分析，本文算法重構(gòu)得到的圖像的視覺效果更加優(yōu)良.從圖6的結(jié)果對比分析，本文算法重建的圖像細(xì)節(jié)更為清晰，也更加接近原始高分辨率圖像.

表1將本文算法與各重構(gòu)算法在PSNR與SSIM的數(shù)值上進(jìn)行了橫向?qū)Ρ龋瑥臄?shù)值上看本文的算法確實(shí)優(yōu)于其他算法.而本文主要是在文獻(xiàn)[8]字典學(xué)習(xí)算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的，因此將本文算法與文獻(xiàn)[8]算法在算法的運(yùn)行時(shí)間上進(jìn)行縱向?qū)Ρ?，?shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示.

通過表2的結(jié)果分析可知，由于只有圖像的低秩部分參與字典學(xué)習(xí)重建，因此算法在運(yùn)行時(shí)間上比文獻(xiàn)[8]的算法有所減少，在對批量圖像進(jìn)行超分辨率重建時(shí)將更顯優(yōu)勢.

Table 1　The PSNR&SSIM of Super-Resolution Images

Table 2　Running Time of Algorithm

圖7橫軸表示高斯噪聲方差，縱軸表示各算法重建圖像(Flowers圖)的PSNR值.

Fig. 7　The PSNR of reconstructed Flowers images with different σ.圖7　不同噪聲環(huán)境下的各算法重建圖像(Flowers圖)的PSNR對比

如圖7所示，在不同噪聲環(huán)境下本文算法明顯優(yōu)于其他算法，而且隨著高斯噪聲方差的增大，本文算法的優(yōu)越性依然保持明顯；而文獻(xiàn)[8]的算法和Bicubic算法的結(jié)果則十分接近，將體現(xiàn)不出其明顯的優(yōu)勢.由此可知,文獻(xiàn)[8]的算法在噪聲環(huán)境下的重建效果不太理想，噪聲等因素將影響其重構(gòu)圖像的質(zhì)量，從而進(jìn)一步證明了本文算法的有效性與可行性.

5結(jié)論

將低秩矩陣和字典學(xué)習(xí)結(jié)合在一起，形成一種新的超分辨率重建算法.算法只針對圖像的低秩部分進(jìn)行重建，稀疏部分則不參與字典學(xué)習(xí)重建.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法有效地降低了重建時(shí)間，在重建圖像的質(zhì)量上也有所提升.通過大量實(shí)驗(yàn)論證，在噪聲環(huán)境下該算法仍具有優(yōu)越性，同時(shí)也表明該算法具有良好的有效性和魯棒性.下一步將對圖像的稀疏部分進(jìn)行深入探究，圖像的稀疏部分對超分辨率重建效果的影響將是下一步的研究重點(diǎn).

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YangShuaifeng,bornin1989.MasterfromBeijingJiaotongUniversity.Hismainresearchinterestsincludeimagesuper-resolution,compressivesensingandpatternrecognition.

ZhaoRuizhen,bornin1975.PhD,professorandPhDsupervisorinBeijingJiaotongUniversity.Hismainresearchinterestsincludeimagedenoising,restorationandreconstructionalgorithms,imageclassificationandrecognition,compressivesensingandsparserepresentation,patternrecognition.

ImageSuper-ResolutionReconstructionBasedonLow-RankMatrixandDictionaryLearning

YangShuaifengandZhaoRuizhen

(Institute of Information Science, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044) (Key Laboratory of Advanced Information Science and Network Technology of Beijing (Beijing Jiaotong University), Beijing 100044)

AbstractSuper-resolution (SR) reconstruction based on sparse representation and dictionary learning algorithm does not decompose the image at first. It reconstructs the image with its whole information based on sparse representation and dictionary learning algorithm directly. It is said that images can be decomposed into low-rank part and sparse part by low-rank matrix theory. Using different methods according to the characteristics of the different parts can be more effective to use the characteristics of the image. This paper proposes a super-resolution reconstruction method based on low-rank matrix and dictionary learning. The method obtains the low-rank part and sparse part of the original image via low-rank decomposition at first. The low-rank part retains most of the information of the image. The algorithm reconstructs the image based on dictionary learning method only for the low-rank part. The sparse part of the image reconstruction is not involved in the learning method, instead its reconstruction is based on linear interpolation method directly. Experimental results show that it can not only enhance the quality of the image reconstruction but also reduce the time of the reconstruction. Compared with existing algorithms, our method obtains better results in the visual effects, the peak signal to noise ratio and the running speed of the algorithm.

Key wordslow-rank matrix; image decomposition; sparse representation; dictionary learning; super-resolution

收稿日期：2014-08-04；修回日期：2015-09-21

基金項(xiàng)目：國家“八六三”高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃基金項(xiàng)目(2014AA015202)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61073079，61272028)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金項(xiàng)目(2013JBZ003)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(20120009110008)；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃基金項(xiàng)目(NCET-12-0768)；教育部創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃基金項(xiàng)目(IRT201206)

通信作者：趙瑞珍(rzhzhao@bjtu.edu.cn)

中圖法分類號TP391.41

ThisworkwassupportedbytheNationalHighTechnologyResearchandDevelopmentProgramofChina(863Program) (2014AA015202),theNationalNaturalScienceFoundationofChina(61073079，61272028),theFundamentalResearchFundsfortheCentralUniversities(2013JBZ003),theSpecializedResearchFundfortheDoctoralProgramofHigherEducationofChina(20120009110008),theProgramforNewCenturyExcellentTalentsinUniversityofMinistryofEducationofChina(NCET-12-0768),andtheProgramforInnovativeResearchTeaminUniversityofMinistryofEducationofChina(IRT201206).