無標度網絡上具有時滯的SIRS謠言傳播模型

李　濤

(軍械工程學院基礎部， 河北 石家莊 050003)

無標度網絡上具有時滯的SIRS謠言傳播模型

李濤

(軍械工程學院基礎部， 河北 石家莊 050003)

摘要：通過分析具有遺忘效應的謠言傳播特點和方式，在無標度網絡環境下建立了一類具有時滯的SIRS謠言傳播模型,計算了傳播過程中的基本再生數，并通過證明得到結論:當基本再生數小于1時，謠言將逐漸消失；當基本再生數大于1時，謠言將持續存在。最后，通過數值仿真驗證了所得結論的正確性。

關鍵詞：無標度網絡； SIRS謠言； 時滯； 基本再生數

近年來，隨著網絡技術的發展，謠言這一古老的傳播學現象以前所未有的速度瘋狂傳播，造成了嚴重的危害[1]。因此，如何有效地監控與治理謠言的傳播已成為信息時代一個亟待解決的問題。人們發現網絡謠言和傳染病作為有害傳播源，具有很多類似的傳播機理，經典的網絡謠言傳播模型延續了傳染病傳播模型的建模思想和分析方法[2]，它把用戶的狀態分為無知者、傳播者和免疫者3類，通過建立三者之間的狀態轉移關系，得到微分動力學模型[3-4]。但是，這些模型均未考慮社會網絡的拓撲結構對謠言傳播的影響。而復雜網絡理論研究表明：作為謠言傳播載體的社會網絡、信息網絡等都具有無標度特性[5]。目前，大部分的研究[6-9]均為常微分方程模型，基于無標度網絡并考慮時滯因素的數學模型非常少。由于謠言的傳播具有非常強的時效性，因此建立具有時滯因素的謠言傳播模型，無疑能更好地描述謠言傳播過程。為此，筆者將互聯網視為無標度網絡，針對實際個體謠言傳播能力有限的情況考慮了具有飽和性質的非線性傳播率，建立了一類具有時滯的SIRS謠言傳播模型，通過計算得到了謠言傳播的基本再生數，并對模型的平衡點以及時滯對謠言傳播的影響進行研究，最后通過數值仿真進行驗證。

1模型建立

根據現實網絡世界謠言傳播的特點，網絡中的個體可分為無知者、傳播者和免疫者3類：1)無知者(Susceptible)是指從未聽到過謠言的人，但通過和謠言傳播源的接觸，其變成潛在傳播者的概率為λ(k)，潛在傳播者開始傳播謠言的概率為p；2)傳播者(Infective)是指相信并開始傳播謠言者，傳播者也可能以各種渠道得知正確信息后不再傳播謠言而以概率β轉化為免疫者；3)免疫者(Removed)是指確信謠言為假的群體，免疫者也在經過時間τ后，由于網絡中大量信息的存在或對謠言不感興趣等因素，從而遺忘之前的謠言而成為無知者。令Sk(t)、Ik(t)、Rk(t)分別表示t時刻在度值為k(k=1,2,…,n)的節點中無知者、傳播者、免疫者所占的比例。設所有參數均為正常數，根據平均場理論，建立如下傳播動力學方程：

(1)

式中：λ(k)為感染率，與節點的度值k有關[10];

(2)

為任意一條邊指向傳播節點的概率，其中，P(k)為度值為k的節點占所有節點的比例，kkP(k)，為節點平均度值，非線性函數φ(k)=akα/(1+bkα),a>0,0≤α≤1,b≥0，為度值為k的節點的有效接觸率[11]，φ(k)具有飽和性，即φ(k)=a/b,b≠0，因此它可以較準確地描述單位時間內單個謠言傳播者傳播能力有限的情況。由于Sk(t)+Ik(t)+Rk(t)=1，于是系統(1)等價于如下系統：

(3)

2模型分析

定理1：令R0=pλ(k)φ(k)/(βk)，當R0<1時，系統(3)存在平衡點E0(1,1,…,1,0,0,…,0)；當R0>1時，系統(3)存在平衡點。

(4)

式中：

(5)

解方程組(4)可得

(6)

(7)

顯然θ*=0是方程(7)的解，此時系統(3)有唯一的平衡點E0。若當方程(7)有非零解時，注意到

且

此時，y=f(θ)與y=θ在第一象限內有唯一交點。因此，方程(7)有唯一的正解，根據式(6)可得此時系統(3)有平衡點E*。

證明： 1) 當R0<1時，在{(S1,S2,…,Sn,I1,I2,…,In):Sk,Ik≥0,Sk+Ik≤1,k=1,2,…,n}，t≥0上考慮Lyapunov函數

計算V(t)沿系統(3)的導數可得

注意到θ(t)≥0且R0<1，即pλ(k)φ(k)/(βk)<1，可得pλ(k)φ(k)/k-β<0，因此可以推出V′(t)≤0，并且當且僅當θ(t)=0時，即Ik(t)=0時有V′(t)=0。由LaSalle不變原理可得：當R0<1時，平衡點E0全局漸近穩定。

設ρ為特征方程的特征值，此時平衡點E0的Jacobian矩陣為

式中：O為n階零矩陣；A為n階對角陣，

將矩陣J第m列乘以λ(m)/λ(1)加到第n+1列，m=n+2,n+3,…,2n，將第n+1行乘以-λ(m)/λ(1)加到第n+m行，m=2,3,…,n，可得

式中：

對應的特征方程為

λ(k)φ(k)+β)=0,

顯然ρ=-e-ρτ與ρ=-β是特征根，其他特征根滿足

ρ=pk-1λ(k)φ(k)-β，

當R0>1時，令

F(ρ)=ρ-pλ(k)φ(k)/k+β，

那么

F(0)=-pλ(k)φ(k)/k+β<0，

由零點定理可知：函數F(ρ)在(0,+∞)至少存在一個根ρ0，即系統(3)的特征方程至少存在一個正實根，因此當R0>1時，平衡點E0不穩定。

記

D={(S1,S2,…,Sn,I1,I2,…,In):Sk,Ik≥0,Sk+

Ik≤1,k=1,2,…,n}，

D0={(S1,S2,…,Sn,I1,I2,…,In)∈D:

顯然D0是系統(3)的正向不變集。系統(3)為耗散系統，E0為系統(3)在?D0上唯一的平衡點，且系統(3)在?D0上的Ω極限集為E0，E0孤立且非循環。

最后只需要證明Ws(E0)∩D0=?，Ws(E0)為E0的穩定流形。這里采取反證法證明，假設其非真，則D0內存在一個解(S1(t),S2(t),…,Sn(t),I1(t),I2(t),…,In(t))，當t→+∞時，有Sk(t)→1,Ik(t)→0。

由于R0>1，可取0<η<1,使得(1-η)R0>1。且存在一個T>0，使得對于所有的t≥T和k=1,2,…,n，有1-η

顯然L(t)是有界函數，但L(t)沿系統(3)的導數為

Ik(t)=ZL(t)。

式中:

由定理2可知：系統(3)的基本再生數為R0=pλ(k)φ(k)/(βk)，當R0<1時，無病平衡點全局漸近穩定，此時謠言將消失；當R0>1時，無病平衡點不穩定，由于infI(t)>ε，此時謠言將持續存在。

3數值仿真

當λ=0.2，p=0.2，β=0.2時，R0=0.642 9<1，系統(1)中k=10,30,80的節點中傳播者節點的比例I10、I30、I80隨時間t的變化趨勢如圖1所示。可以看出:當R0<1時,網絡中的謠言將逐漸消失。

圖1　R0<1時系統(1)中I10、I30、I80隨t的變化趨勢

圖2　R0>1時系統(1)中I10、I30、I80隨t的變化趨勢

當λ=0.2，p=0.2，β=0.02時，R0=3.214 7>1， I10、I30、I80隨t的變化趨勢如圖2所示。可以看出：當R0>1時,謠言在網絡中將持續存在。

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(責任編輯: 尚彩娟)

SIRS Rumors Spreading Model with Time Delay on Scale-free Network

LI Tao

(Department of Fundamental Courses, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Abstract：By analyzing the characteristics and the way of spreading rumors with forgetting effect, a novel SIRS rumors spreading model with time delay on scale-free network is proposed. The basic reproductive number for the model is calculated. it is concluded through verification that the rumors will die out when the basic reproductive number is less than 1, while the persistence of the rumors is shown when the basic reproductive number is larger than 1. At last, numerical simulations are given to illustrate the effectiveness of the analytical results.

Key words:scale-free network; SIRS rumor; time delay; basic reproductive number

文章編號：1672-1497(2016)02-0104-04

收稿日期：2015-11-23

作者簡介：李濤(1983-)，男，碩士研究生。

中圖分類號：G206

文獻標志碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1672-1497.2016.02.021