基于區間分析的機器人絕對定位精度分析方法

黃　康　何春生　甄圣超　洪　健　趙福民

合肥工業大學，合肥，230009

基于區間分析的機器人絕對定位精度分析方法

黃康何春生甄圣超洪健趙福民

合肥工業大學，合肥，230009

摘要：針對6R機器人絕對定位精度不高的現狀，提出了一種基于誤差的分析方法。該方法通過區間分析和POE方程對機器人誤差進行建模，并通過修正一些區間運算規則得到更為準確的擴展區間運動學方程。分析了擴展區間運動學方程的層級特性，提出了一種易于擴展并且能有效降低區間依賴特性的層級區間運動學方程，并針對該方程由于過度擴展而無法得出精確結果的問題提出了一種區間矩陣優化方法。通過蒙特卡羅法以及和傳統區間方法對比的仿真實驗，驗證了所提出方法更為高效，并且能夠近似計算出理想的結果。某汽車變速箱裝配線的6R機器人螺栓擰緊工序實驗結果表明，所提出的分析方法比傳統的區間方法更有效更精確。

關鍵詞：POE方程；區間分析；絕對定位精度；6R機器人

0引言

由于機器人在制造、裝配、控制等方面存在不可避免的誤差，所以機器人的定位無法達到理想的目標。關于機器人定位精度的研究一直是學術界和工業界的熱點[1-3]，早期的研究利用D-H參數[1]或者是修正的D-H參數[2]進行機器人運動學誤差建模，另外一種研究思路則是利用POE(指數積)方程[4-6]或者是局部POE方程[7]建立誤差模型。眾多研究表明，相對于傳統的D-H參數或者是修正的D-H參數進行誤差建模，POE方程法具有明顯的優點：①運動學模型相對于關節運動是光滑變化的，可以很好地保證不會出現奇異性問題；②只需建立全局坐標系和工具坐標系而無需建立眾多局部坐標系。針對機器人誤差的分析方法有模糊集法[8-9]、概率統計法[10]、區間方法[11]，前面兩種方法均需要額外條件，如概率統計法需要大量的統計數據，而區間方法只需確定誤差所隸屬的區間即可，具有相當的優越性。

本文結合區間方法和POE方程對6R機器人的絕對定位精度進行研究。

1機器人基本參數及運動學模型

1.1理想運動學模型

某汽車變速箱螺栓擰緊工序6R機器人本體初始位形如圖1a所示，圖1b為該位形下機器人的結構簡圖，其中關節1和關節2軸線在x方向上重合。根據旋量理論[12]，機器人關節的運動可以表述為一個旋量運動，其中單位旋量為

(1)

式中，ω為旋量軸上的單位向量；q為旋量軸上的一個點向量；q×ω為旋量軸關于全局坐標系原點的矩。

(a)6R機器人本體初始位形

(b)6R機器人初始位形簡圖及坐標系建立圖1　6R機器人

假定機器人在全局坐標系oxyz的初始位形為g(0)，每個關節的單位旋量為ξi(i=1,2,…,6)，那么機器人的運動學方程可以表示為

(2)

其中，θi是第i關節的運動偏置，并且有

(3)

其中，I是3×3單位矩陣，同時

(4)

式(4)被稱為Rodriguez公式，∧是向量反對成化算子，對于任一向量ω=(ωx,ωy,ωz)，有

(5)

1.2實驗平臺及機器人基本參數

圖2　6R機器人螺栓擰緊工序實驗臺

汽車變速箱機器人螺栓擰緊工序實驗臺如圖2所示，該工序對機器人的絕對定位精度要求很高，式(2)中的機器人運動學各參數均為理想參數，而機器人實際設計中其結構參數ω、q均有一定公差，關節運動偏置θ由于傳動和編碼器精度也存在誤差，因此它們均隸屬于一定區間[13]，綜合考慮設計公差以及測量儀器分辨率，得到初始位形下擰緊機器人的區間參數如表1所示。

表1　6R機器人區間參數

所有矢量均在全局坐標系oxyz中表示，該坐標系與機器人第一關節重合，如圖1b所示。

2運動學誤差模型及其層級特性

2.1修正區間運算規則

為了獲得更為緊湊的擴展運動學誤差模型，需要對區間數學規則作出修正，例如，機器人第一關節旋量軸方向向量區間中[ω1x]=[-10-5,10-5]，根據區間數學[14]，[ω1x]-[ω1x]=[-2×10-5,-2×10-5]，[ω1x]×[ω1x]=[-10-10,10-10]，而ω1x為實際機器人結構參數，僅為區間[ω1x]中一具體未知數值，[ω1x]-[ω1x]=0，[ω1x]×[ω1x]=[0,10-10]，可以看出按照區間數學的計算規則，模型計算出來的結果將會放大很多。

根據機器人的區間參數的實際意義，提出以下修正規則：

(6)

(7)

(8)

2.2擴展運動學誤差模型

以修正區間規則為基礎，推導機器人擴展運動學誤差模型，在區間矩陣的乘法運算中，?Am×n∈Rm×n,Bn×r∈Rn×r,[A]m×n?IRm×n,[Bn×r]?IRn×r，如果Am×n∈[A]m×n，Bn×r∈[B]n×r，那么Am×nBn×r∈[A]m×n[B]n×r。其中，IR為區間實數集。

設ω=(ωx,ωy,ωz)為機器人一關節旋量軸上的單位向量，[ω]=([ωx],[ωy],[ωz])是其對應的區間向量，那么可以得到：

(ω∧)2∈([ω]∧)2=[ω][ω]T-‖[ω]‖2I

(9)

(ω∧)3∈([ω]∧)3=-‖[ω]‖2[ω]∧

(10)

其中，I為3×3單位矩陣，給定θ∈[θ]，根據實數函數擴展到區間函數的根本定理[14]，有

(11)

結合式(9)、式(10)并利用式(7)，可將式(11)變為

(12)

那么eω∧θ∈e[ω]∧[θ]，將區間根本定理擴展到矩陣中來，有

(13)

記θi∈[θi]，qi∈[qi]，ωi∈[ωi](i=1,2,…,6)，因而有

e[ξ1]∧[θ1]e[ξ2]∧[θ2]e[ξ3]∧[θ3]e[ξ4]∧[θ4]e[ξ5]∧[θ5]e[ξ6]∧[θ6]·

g(0)=[g(θ)]

(14)

式(14)稱為機器人擴展運動學誤差模型。

2.3誤差模型層級特性

區間計算中，同一區間變量出現的次數越少，結果就越精確[14]，據此對式(14)進行變形，得到：

[g(θ)]=

e[ξ1]∧[θ1]e[ξ2]∧[θ2]e[ξ3]∧[θ3]e[ξ4]∧[θ4]e[ξ5]∧[θ5]e[ξ6]∧[θ6]·

(15)

Q=[R1]([R2]([R3]([R4]([R5]((I-[R6])·

[q6]-[q5])+[q5]-[q4])+[q4]-[q3])+

[q3]-[q2])+[q2]-[q1])+[q1]

(16)

對于6R機器人，該計算方式計算次數為2×6(關節數)共12次。觀察式(16)易知，該特性可以很容易擴展到其他n自由度的機器人，稱式(16)表示的模型為機器人層級運動學誤差模型。

3驗證實驗

為驗證式(16)表示的層級運動學誤差模型是有效的，利用6R機器人螺栓擰緊工序實驗臺進行實驗，實驗中機器人各關節運動量為θ1=0，θ2=π/6，θ3=π/4，θ4=θ5=θ6=0，利用水平三坐標測量機測量6R機器人執行器末端的位置。由于機器人各參數均在全局坐標系oxyz中表示，而三坐標測量機測量的數據均相對于它本身的坐標系，因此需要對數據進行坐標轉換，測得螺栓擰緊執行器初始位姿為

將轉換后的數據顯示到MATLAB中，同時在德國漢堡大學開發的INTLAB區間分析工具環境下對式(16)進行蒙特卡羅法和區間計算仿真，將實驗和仿真結果與文獻[13]中推導的現有誤差模型進行對比，結果如圖3所示。

從圖3a中可以看出，無任何優化條件下，蒙特卡羅隨機點集和6R機器人實驗臺測量的點集均比現有誤差模型和層級誤差模型的區間邊界小很多，盡管如此，層級誤差模型的區間邊界要比現有誤差模型的區間邊界更為緊湊，因此式(16)能夠更精確計算執行器誤差區間。圖3b和圖3c中蒙特卡羅點集和6R機器人實驗臺測量的點集分布區域在x、y、z方向基本一致并且層級誤差模型的區間邊界完全包含了實驗臺測量點集，因此基于修正區間運算規則的層級運動學誤差模型能夠用于分析該螺栓擰緊6R機器人的絕對定位精度。

4模型優化

4.1區間矩陣優化

為使得層級運動學誤差模型能得到更精確的結果，對傳統的區間優化方法進行改進，傳統區間優化思路如下[14]。

(a)無優化現有模型和層級模型對比仿真結果

(b)蒙特卡羅點集和實驗臺測量點集x、y方向的分布

(c)蒙特卡羅點集和實驗臺測量點集y、z方向的分布1.現有模型區間邊界　2.層級模型區間邊界o實驗測量點　·蒙特卡羅樣本點圖3　無優化現有模型與層級模型、蒙特卡羅點集和實驗臺測量點集結果對比

設區間向量

[A]=([a1],[a2],…[ai],…[an])?IRn

則

j=1,2,…,n

其中

并且

(17)

對實數函數f在定義區間上的區間擴展函數F，其區間優化可以表示成

(18)

傳統區間優化方法對于多維到一維的區間擴展函數是十分有效的，然而，對于多維到多維的區間擴展函數，該方法效率非常低。

給定任一區間數[k]和區間向量[d]，假定[k]=[0,1]，[d]=([0,1],[1,2],[2,3])，則[b]=[k][d]=([0,1],[0,2],[0,3])，但是真實的區間分布要比[b]小很多，結果被擴大的關鍵在于[k]在計算過程中重復出現了3次，因此利用式(18)對[k]進行主要的區間優化計算，能有效減小區間的依賴效應，稱在區間矩陣乘法中對區間系數進行區間優化的方法為區間矩陣優化。

4.2優化對比實驗

4.2.1仿真結果

對圖3中得到的結果進行優化并利用蒙特卡羅法進行對比仿真驗證，其中對文獻[13]中的模型利用傳統區間優化方法進行優化，對式(16)利用區間矩陣優化方法進行優化，兩者優化次數相同，觀察式(16)以及式(12)可知，對模型計算擴大起主要作用的參數為θi∈[θi]，qi∈[qi](i=1,2,…,6)，因此對其進行區間優化，仿真結果如圖4所示。

(a)現有模型傳統區間優化和蒙特卡羅點集

(b)層級模型區間矩陣優化和蒙特卡羅點集1.傳統區間優化現有模型區間邊界2.矩陣區間優化層級模型區間邊界　·蒙特卡羅樣本點圖4　現有模型、層級模型優化和蒙特卡羅驗證仿真結果

對比圖3a和圖4a可知，經過傳統區間優化后，現有誤差模型的區間擴大問題沒有得到很好的改善，圖4b表明引入區間矩陣優化后，層級誤差模型的區間界基本上與蒙特卡羅點集相接，根據圖3b和圖3c中的結果，蒙特卡羅樣本點與實驗測量數據點集分布基本一致，仿真結果顯示引入區間矩陣優化后的層級誤差模型相對于傳統區間優化后的現有誤差模型，能夠基本精確地計算機器人執行器的絕對定位分布區間。

4.2.2實驗結果

對優化后的層級誤差模型、現有誤差模型與實驗臺測量數據進行分析，結果如圖5、圖6所示。

1.傳統區間優化現有模型區間邊界圖5　現有模型傳統區間優化和實驗測量點集

(a)層級模型區間矩陣優化和實驗測量點集

(b)層級模型區間矩陣優化和實驗測量點集x、y方向分布

(c)層級模型矩陣區間優化和實驗測量點集y、z方向分布2.矩陣區間優化層級模型區間邊界　o實驗測量點圖6　層級模型矩陣矩陣優化邊界和實驗臺實驗結果

對比圖5和圖6a可知，層級誤差模型經區間矩陣優化后的區間邊界要比現有誤差模型經傳統區間優化后的區間邊界更接近實驗測量點集。結合圖6b和圖6c可知，優化后的層級誤差模型區間在x、y、z方向與實驗測量點集基本接近，但仍有些擴大，如果將優化次數增加就可以得到機器人執行器的準確定位分布，實驗結果與圖4中的仿真結果基本一致，因此本文提出的層級誤差模型和區間矩陣優化方法是有效的。

將實驗數據與仿真結果匯總得到表2，從表2可以看出，優化后的層級誤差模型相對測量定位區域比ν和采用蒙特卡羅法得到結果基本一致，蒙特卡羅法定位間距與實驗測量點定位間距差最大為0.56mm，而優化后的層級誤差模型定位間距與實驗測量點分布區域定位間距差最大為0.6mm，但是蒙特卡羅法需要計算1000次，而本文提出的方法只需計算128次，計算效率得到了很大提高。

表2　結果對比

5結論

(1)針對6R機器人區間參數的實際特性推導了基于修正區間規則的擴展運動學誤差模型，并分析了其層級計算特性，在機器人螺栓擰緊實驗平臺以及MATLAB仿真中的結果均表明本文的模型比現有的區間模型更為精確。

(2)針對誤差模型計算中由于區間依賴效應導致的結果過于擴大問題，提出了區間矩陣優化方法，通過對比實驗，驗證了區間矩陣優化方法比原有的區間優化方法更高效。

(3)優化后的層級誤差模型與蒙特卡羅法計算的結果與實驗得到的該螺栓擰緊6R機器人絕對定位區域分布基本一致，提出的模型及優化方法是合理的，并且其計算效率要比蒙特卡羅法高很多，因此該分析方法可以作為設計人員分析機器人操作精度的參考。

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(編輯王艷麗)

An Absolute Positioning Accuracy Analysis Method for Robot Based on Interval Analysis

Huang KangHe ChunshengZhen ShengchaoHong JianZhao Fumin

Hefei University of Technology,Hefei,230009

Abstract：This paper proposed a method for improving the absolute positioning accuracy of 6R robot based on the analysis of error sources. A more precise and closer extended forward kinematics was deduced based on modified interval calculation rules and POE formula. Then a hierarchy interval kinematics was proposed,which was easy to extended to other kind of robots as well as handle interval dependency,and the overestimation of which might be eliminated by interval matrix refinement developed herein. Monte Carlo samples and the results of contrast simulation between the hierarchy interval kinematics and existing extended interval kinematics show the presented kinematics can get as tight results as desired results more efficient than the existing ones. The presented method was executed on a 6R robot of an automatic transmission assembly line that plays role of tightening screws. Experimental results show that the proposed approach is more efficient and accurate than existing analytic methods.

Key words：POE formula; interval analysis; absolute positioning accuracy; 6R robot

收稿日期：2015-07-27

基金項目：安徽省科技攻關計劃資助項目(1301022085)

中圖分類號：TP242.2

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.11.009

作者簡介：黃康，男，1968年生。合肥工業大學機械與汽車工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為機構學、機械傳動、汽車自動變速器、工業機器人技術。何春生，男，1991年生。合肥工業大學機械與汽車工程學院碩士研究生。甄圣超，男，1988年生。合肥工業大學機械與汽車工程學院講師。洪健，男，1992年生。合肥工業大學機械與汽車工程學院碩士研究生。趙福民，男，1991年生。合肥工業大學機械與汽車工程學院碩士研究生。