磷烯低能有效哈密頓的Berry相位計算研究

王 洋, 富笑男， 秦志杰， 喬 崇， 賈 瑜

(1.河南工業大學 理學院 河南 鄭州450001; 2.鄭州大學 物理工程學院 河南 鄭州450001)

磷烯低能有效哈密頓的Berry相位計算研究

王 洋1, 富笑男1， 秦志杰2， 喬 崇2， 賈 瑜2

(1.河南工業大學 理學院 河南 鄭州450001; 2.鄭州大學 物理工程學院 河南 鄭州450001)

基于緊束縛近似方法計算磷烯低能有效哈密頓的Berry相位，并與石墨烯的Berry相位進行了對比.研究了外加磁場對磷烯Berry相位的影響，發現可以通過外加磁場調節磷烯的Berry相位，將其數值調節到π的整數倍，因此磷烯也可以通過外加磁場實現整數量子霍爾效應.

貝里相位； 磷烯； 量子霍爾效應

0 引言

2014年，二維黑磷(磷烯)首次在實驗室中被制備出來，因其具有極高的電子遷移率以及存在一個直接帶隙，使得它極有可能成為石墨烯的替代品[1].基于緊束縛近似模型研究磷烯能帶性質的研究工作已有很多.文獻[2]建立了磷烯晶體的四能帶緊束縛模型，利用磷烯晶體的C2h點群對稱性，將四能帶緊束縛模型簡化為二能帶緊束縛模型，進而約化出二能帶緊束縛模型的哈密頓.文獻[3]研究了磷烯中電子的自旋-軌道耦合對磷烯緊束縛哈密頓的影響，并給出了能譜.文獻[4]在此基礎上研究了外加磁場下磷烯電子的朗道能級和量子霍爾效應，但對磷烯Berry相位的研究尚未見報道.本文基于緊束縛近似方法計算了磷烯的Berry相位，與石墨烯的Berry相位進行了對比，并研究了外加磁場對磷烯Berry相位的影響，提出磷烯也可以通過外加磁場實現整數量子霍爾效應.

1 磷烯的低能有效哈密頓

磷烯的緊束縛近似哈密頓可以用二次量子化語言寫為

(1)

式中：ci?為第i個格點上的電子產生算符；cj為第j個格點上的電子湮滅算符.對最近鄰的格點進行求和，近鄰格點之間的躍遷參數如圖1所示，圖中t1=-1.220 eV，t2=3.665 eV，t3=-0.205 eV，t4=-0.105 eV，t5=-0.055 eV[5].

圖1 磷烯中近鄰格點之間的躍遷參數

磷烯的二能帶哈密頓[5]為

(2)

將二能帶哈密頓在布里淵區Γ點附近做泰勒展開至晶格動量的二階項，得到低能有效哈密頓為

(3)

δ=1.014 5 eV.

2 磷烯Berry相位的計算

首先討論無外加磁場時磷烯的Berry相位，磷烯的有效哈密頓的本征方程為

(4)

解得色散關系和本征矢為

在復平面上本征矢可以寫為

(5)

(6)

注意到(6)式第二個等號右邊第一項是一個全微分，其在帶邊流形上的積分為0，因此可忽略此項，將Berry聯絡取為

A=(1+R2)-1R2dθk,

(7)

則Berry相位為

(8)

積分路徑沿著磷烯第一布里淵區的邊界，注意到

R2=M2+N2=1.

(9)

所以，

(10)

而θ(π,π)=0.138 855π，θ(-π,-π)=-0.138 855π，所以無外加磁場時磷烯的Berry相位為

Φ=0.277 7π.

(11)

其次討論在Z方向有外加磁場時磷烯的Berry相位，磷烯的有效哈密頓的本征方程為

(12)

計算得Berry聯絡為

(13)

(14)

3 結果與討論

3.1 磷烯與石墨烯的Berry相位對比

石墨烯第一布里淵區邊界的絕熱演化給出的Berry相位為π[6]，這源于石墨烯晶格良好的對稱性.磷烯的晶格雖是六角晶格，但是其中電子形成的sp3雜化軌道使其晶體結構呈波浪形，這導致磷烯的Berry相位是0.277 7π，并不是π的整數倍.

3.2 外加磁場對磷烯的Berry 相位的調控

利用沿著Z方向外加磁場,可連續地調節磷烯的Berry 相位.當Z方向有外加磁場時，磷烯的Berry 相位的表達式為(14)式，可見磷烯的Berry相位Φ是外加磁場B的一元函數.據此可以通過改變磁場強度將磷烯的Berry相位調節為π的整數倍.例如，如圖2所示，當磁場強度為-2.972 T時，磷烯的Berry相位為11π.

另外，當外加磁場為0時，磷烯的Berry相位應當與無外加磁場時磷烯的Berry相位是一樣的，事實正是如此，如果將(14)式中的磁場B設置為0，那么如圖3所示，當磁場強度為0時，磷烯的Berry相位確實為0.277 7π.這與不加磁場時的磷烯Berry相位相同，說明本文所采用的理論模型與方法是自洽的.

圖2 磷烯的Berry相位隨Z方向的外加磁場的變化曲線(局部圖)

圖3 磷烯的Berry相位隨Z方向的外加磁場的變化曲線(整體圖)

4 小結

基于磷烯與單層石墨烯的緊束縛二能帶模型，計算了磷烯與單層石墨烯的低能有效哈密頓的Berry相位.與單層石墨烯的Berry相位相比，磷烯的Berry相位并不是π的整數倍.但是可以通過外加磁場對磷烯的Berry相位進行調控，將其調整為π的整數倍.因此，在理論上提出：與石墨烯一樣，磷烯也可通過外加磁場實現整數量子霍爾效應.

[1] JIANG J W，PARK H S. An analytic study of strain engineering the electronic bandgap in single-layer black phosphorus[J]. Phys Rev B,2015,91(23): 235118.

[2] EZAWA M. Electrically tunable quasi-flat bands, conductance and field effect transistor in phosphorene[J]. Nat Mater,2011, 10: 282-285.

[3] RODIN A S, CARVALHO A, CASTRO A H. Strain-induced gap modification in black phosphorus[J]. Phys Rev Lett,2014, 112(17): 176801.

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[6] BOLMATOV D, ZAVIALOV D V. Conductance enhancement due to atomic potential fluctuations in graphene[J]. J Appl Phys,2012, 112(10): 103703.

(責任編輯：孔 薇)

The Research on the Berry Phase of an Effective Hamiltonian at Low Energy of Phosphorene

WANG Yang1， FU Xiaonan1， QIN Zhijie2， QIAO Chong2, JIA Yu2

(1.CollegeofScience,HenanUniversityofTechnology,Zhengzhou450001,China;2.SchoolofPhysicsandEngineering,ZhengzhouUniversity，Zhengzhou450001,China)

The Berry phase of an effective Hamiltonian at low energy case of monolayer phosphorene was calculated，and compared with the Berry phase of graphene. It was found that external magnetic field could influence the Berry phase of the monolayer phosphorene. The Berry phase of the monolayer phosphorene could be adjusted to integral multiple of π by external magnetic field. Therefore, it was possible to realize quantum Hall effect in monolayer phosphorene by external magnetic field.

Berry phase; phosphorene; quantum Hall effect

2015-11-11

王洋(1988—)，男，山東東營人，碩士研究生，主要從事凝聚態輸運理論研究，E-mail:173493731@qq.com；通訊作者：賈瑜(1964—)，男，河南民權人，教授，博士，主要從事材料特性模擬及量子生長與調控研究，E-mail:jiayu@zzu.edu.cn．

王洋,富笑男，秦志杰，等.磷烯低能有效哈密頓的Berry相位計算研究[J].鄭州大學學報(理學版)，2016,48(2)：71-73.

O469

A

1671-6841(2016)02-0071-03

10.13705/j.issn.1671-6841.2015239