基于RBF元模型集的多變量全局優化算法研究

楊 飛， 胡萬強， 李耀輝

(許昌學院 機電工程學院 河南 許昌 461000)

基于RBF元模型集的多變量全局優化算法研究

楊 飛， 胡萬強， 李耀輝

(許昌學院 機電工程學院 河南 許昌 461000)

首先提出元模型集的概念，根據RBF函數的特點，將其系數向量轉化為系數矩陣，使得多個變量可在同一元模型中進行仿真.其次針對通過采樣點計算Pareto適存度矩陣困難的問題，提出了增量迭代式Pareto適存度計算方法，利用上一次迭代產生的適存度值直接更新，減少了計算工作量.最后將元模型集和增量Pareto適存度算法應用到多變量全局優化算法中，并將其應用于數值計算以及五桿平面桁架結構優化設計中.結果表明該方法科學合理，效果明顯.

元模型集； 多變量全局優化； 增量Pareto適存度算法； 優化算法

0 引言

現代機電產品設計中經常涉及多輸入多輸出(多變量)函數的優化問題，處理這類問題的方法大致可以分為兩種:一種方法是根據各變量的重要程度將被優化的目標加上不同權值而轉化為單目標輸出，稱為多目標加權法,但是在實際過程中由于缺少合理的權值選擇方法，所以很難確定每個目標的權重；另一種方法是先找出所有Pareto解集，從中選擇有效解作為優化目標的最佳解，該方法也稱為Pareto多目標優化方法，目前這種方法中應用比較廣泛的有粒子群優化算法[1-2]和進化算法.文獻[3]提出了一種改進的多輸出粒子群算法，將遺傳算法成功引入到粒子群優化中.文獻[4]提出了一種改進的多目標進化算法，并將其應用到機電產品設計中.上述方法需要對非Pareto解集點進行函數估值，占用了大量計算機資源，代價較昂貴.

多輸入多輸出優化問題常常涉及源模型的近似化問題，即仿真模型，如計算模型、元模型等. 這些模型促進了優化和概念搜索的發展，降低了函數優化迭代次數，從而減少了計算機資源的消耗.文獻[5]將kriging元模型引入到多輸出優化問題中，以kriging元模型代替源模型.文獻[6]利用hyper-ellipse元模型求解雙標準凸優化問題.使用這些仿真模型的關鍵在于近似模型的精度問題，精度不夠準確會使求得的Pareto解集不能有效逼近Pareto邊界.本文提出元模型集的概念，利用RBF函數線性化的特點，將其系數向量轉化為系數矩陣，從而使得多輸入多輸出優化過程在同一元模型中完成，并提出一種與元模型集方法相匹配的增量Pareto適存度算法，從而降低了優化算法的難度，節省了寶貴的計算機資源，為復雜機電產品的結構優化設計提供了一種新的思路與方法.

1 元模型集基本概念

元模型集(meta-model set，MS)是指多個元模型的集合體，即為采樣點集X(x1,x2,…,xn)到響應值Y(y1(y11,y12,…,y1m),y2(y21,y22,…,y2m),…,yn(yn1,yn2,…,ynm))的一個多值映射.對于任一個采樣點xi，即有一個矢量響應集yi(yi1,yi2,…,yim)與之對應，其表達式為

Y=Φ·Λ,

(1)

式中:Φ為基函數矩陣，Λ為采樣點矩陣.由式(1)可知，如果一個元模型應用于元模型集，則必須是線性的.文獻[7]研究表明,RBF元模型構造方便，能較好地近似高階非線性問題，可以作為元模型集的多值元模型，其表達式為

(2)

將式(2)中的向量λ換為矩陣Λ，那么RBF元模型的響應值f*(x)即變為矩陣Y，RBF元模型就被轉變為同一元模型下的多值模型，即元模型集合，RBF元模型的構造原理見文獻[8].

2 增量Pareto適存度算法

相對于單目標優化問題，多目標優化問題一般具有多個Pareto最優解.Pareto最優解集中的任何一個解都可能成為最優解，其在目標函數上對應的集合即為Pareto邊界.Pareto邊界因實際多目標優化問題的解而出現連續或不連續性，求解完全的Pareto解集是很困難的，但可以用一個離散的解集去逼近連續解集以作為其近似解集.為了得到近似的Pareto解集，引入適存度函數作為求解得到的設計點是否為Pareto最優解的標準[9].

設A={xi,i=1,2,…,m}為設計點集合，定義第i個給定點xi在A中的適存度表達式為

(3)

(4)

式中：j=1,2，…,n，且i≠j；k為子目標函數，k=1,2,…,m.則式(4)的行向量矩陣為

(5)

(6)

經分析可知，Pareto適存度函數可采用迭代方式進行求解，而且可以利用上一次迭代計算的Pareto適存度值計算下一次迭代的Pareto適存度值，其算法步驟如下：

1) 設init_def為上一次迭代Pareto適存度值，fit為當前給定點對應的函數值矩陣，并且將fit按比例縮放至[1，0].

2) 構造def為當前Pareto適存度值域，如果init_def非空，將其加入def前面部分.

3) 設i為迭代過程中當前給定點對應函數值cur_fit，將對所有給定點進行循環，設j迭代過程中與i不同的給定點對應函數值oth_fit，對前i-1個給定點進行循環.

5) 令i++,j++，再次循環.

3 基于RBF元模型集的多變量全局優化算法

基于元模型集的多變量全局優化算法的基本思路是以元模型集替代源模型進行仿真優化.使用改進增量拉丁超立方采樣方法在元模型集上逐次采樣，搜尋符合Pareto適存度函數的設計點，直至滿足設計要求.元模型集使用RBF元模型更新方式逐步構造精確的近似模型，算法流程如圖1所示.

其具體步驟如下：

2) 構造初始元模型集.調用目標函數仿真，獲得樣本點集X(i)響應值Y(i)，利用X(i)、Y(i)來構建初始元模型集，適存度集合F(i)通過Pareto適存度函數公式計算.

5) 以RBF方法更新元模型集，令i=i+1，再次循環.

4 工程實例分析

設收斂標準值ε1=1.023，ε2=1.008，經12次迭代后得到98個Pareto邊界點，占精確分析點總量的48%，且精確分析次數為204次.Pareto邊界分布、精確分析點分布、解集分布及收斂曲線如圖3所示，計算結果分析如表1所示.可以得出，基于元模型集的多變量全局優化算法相對于多目標遺傳算法來講，獲取Pareto邊界迭代次數少，進行精確分析的次數也大大降低，這對于節約計算機資源及提高仿真優化效率具有重要意義.

圖1 基于RBF元模型集的多變量全局優化算法流程

圖2 五桿平面桁架結構

圖3 Pareto邊界分布、精確分析點分布、解集分布及收斂曲線

表1 計算結果分析

Tab.1 The results analysis

求解次數迭代次數精確分析次數近似分析ε1值精確分析ε2值Pareto邊界點數量占精確分析點比例/%1#122041.0231.00898482#182231.0151.007105473#203071.0301.00812340

5 小結

根據元模型集的相關理論，利用RBF函數表達式的特點，再加上增量Pareto適存度計算方法，從而完善了基于元模型集的多變量全局優化算法.通過上述函數及工程實例的分析測試，表明了該算法科學合理，效果良好.可以說，這是一種值得考慮并有較大研究前景的方法.隨著元模型不確定性問題和多目標優化評價方法的深入研究，基于增量RBF元模型集的多變量全局優化算法就可以得到更大的完善和發展.

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(責任編輯：孔 薇)

Research of Multivariable Global Optimization Algorithm Based on RBF Meta-model Set

YANG Fei, HU Wanqiang, LI Yaohui

(SchoolofMechanicalandElectricalEngineering，XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

Firstly,the concept of meta-model set was proposed, which utilized the feature of RBF function and converted the coefficient vector into coefficient matrix, and made multiple variables simulating in the same meta-model. Then, to tackle the difficult problems such as calculating Pareto fitness matrix through the sample points, a new incremental iterative Pareto fitness calculation method was proposed to significantly reduce the calculation by using the fitness value of the previous iteration directly. Finally, a new multivariable optimization algorithm based on meta-model set and incremental Pareto fitness algorithm was applied to numerical computation and design optimization of five-bar plane truss structure. The result showed that the method was scientific and reasonable, and the improvement was obvious.

meta-model set; multivariable global optimization; incremental Pareto fitness calculation method; optimization algorithm

2015-11-04

楊飛(1980—)，男，河南長葛人，講師，碩士，主要從事電力電子技術研究，E-mail：35955368@qq.com.

楊飛，胡萬強，李耀輝.基于RBF元模型集的多變量全局優化算法研究[J].鄭州大學學報(理學版)，2016，48(2)：116-120.

TP301.6

A

1671-6841(2016)02-0116-05

10.13705/j.issn.1671-6841.2015228