基于結構靈敏度分析與稀疏約束優化的結構損傷識別方法

周述美， 鮑躍全， 李　惠

(哈爾濱工業大學 土木工程學院，哈爾濱　150090)

基于結構靈敏度分析與稀疏約束優化的結構損傷識別方法

周述美， 鮑躍全， 李惠

(哈爾濱工業大學 土木工程學院，哈爾濱150090)

摘要：在反問題求解中引入稀疏約束條件是當前應用數學領域的研究熱點，結構損傷識別是典型的結構動力學反問題，且結構的損傷具有空間稀疏性，也即結構損傷發生時，只有部分單元或子結構出現損傷，基于結構靈敏度分析與稀疏約束優化，提出了一種結構損傷識別方法。通過結構靈敏度分析，建立結構損傷剛度參數的變化量與模態參數變化量之間的線性方程組，由于實測自由度有限，引入結構損傷稀疏性的條件，采用最小化l1范數優化求解。通過桁架模型的數值模擬，在考慮測量噪聲的基礎上，對多損傷工況進行了識別，與不考慮稀疏約束的損傷識別結果進行了對比,并對測點布置與數量對識別結果的影響進行了研究。仿真分析結果表明該方法可以在較少的測點下，有效地識別結構損傷的位置與程度，并且考慮稀疏約束可以明顯增加損傷識別結果的準確性。

關鍵詞：結構健康監測；結構損傷識別；壓縮感知；結構靈敏度；稀疏約束優化

結構健康監測技術在世界范圍內得到快速的發展和應用，我國在許多大跨度橋梁上安裝了包括多種和較大規模傳感器的健康監測系統[1-4]。結構損傷識別是結構健康監測的核心關鍵技術，在過去的幾十年里，國內外研究者提出了大量基于振動測試的損傷識別方法的[5-7]。這些方法按照是否需要有限元模型的角度，可以分為非模型與基于模型的損傷識別方法。非模型的損傷識別方法，通過結構的振動響應數據，識別結構模態參數構造損傷指標，或直接從響應數據中，提取結構損傷特征構造損傷指標，然后再進行損傷定位。如，基于頻率的結構損傷方法，通過結構頻率改變構造合適的指標進行損傷診斷[8]。基于振型的結構損傷診斷方法，通過結構損傷前后振型的改變進行損傷診斷，如模態置信度判據法，曲率模態法、剛度法、柔度法、殘余力向量法、模態應變能法等一些經典的方法。基于小波損傷特征提取方法[9]、基于信號分解變換的HHT(Hilbert Huang Translation)方法[10]、神經網絡方法[11]、隨機子空間損傷診斷技術[12]等。

有限元模型對結構損傷的精確定位與損傷程度的識別具有重要作用，基于模型的損傷識別方法通過結構振動響應數據提取的模態參數或損傷特征參數，結合有限元模型，識別結構系統參數，然后進行損傷識別。該類方法中，最重要的是識別過程中的優化求解問題，由于土木工程結構的復雜性以及實際測量信息的有限性，基于模型的損傷識別方法往往很難得到精確解。

近些年，國內外應用數學與信號處理領域提出了壓縮感知(Compressive sensing)理論[13-15]，壓縮感知理論的核心思想是只要某高維信號是可壓縮的或在某個變換域上具有稀疏性，就可以用一個與變換基不相關的測量矩陣將該信號投影到一個低維空間上，然后通過求解一個最優化問題以極高的概率從這些少量的投影中重構出原始信號。壓縮感知理論一提出就在許多研究領域得到的廣泛的研究與應用[16]。從本質上講, 壓縮感知理論中的信號重構問題就是尋找欠定方程組的最稀疏解，壓縮感知理論的提出也推動了稀疏優化問題求解方法的研究，對時間域、空間域或某些基變換下是稀疏的反問題的求解提供了新的思路。

結構損傷識別是典型結構動力學中的反問題，另外結構損傷是一種稀疏的現象，也即結構的損傷具有空間稀疏性。本文基于結構靈敏分析，引入稀疏約束條件，提出了一種結構損傷識別方法，并通過數值模擬驗證了方法的有效性。

1結構靈敏度分析

對于一個n自由度結構系統，通過有限單元分析可得到n階頻率ωr和n階振型φr(r=1,2,…,n)。不考慮阻尼的結構特征方程如下所示：

(1)

剛度和質量的改變會導致結構頻率與振型等模態參數的變化，一般認為損傷只引起剛度的改變，采用結構模型中結構單元剛度系數的變化來表示結構的損傷。結構剛度矩陣可表示為

(2)

式中,θi為剛度損傷系數；Ki表示第i個單元的單元剛度矩陣；Ne表示單元數目。

振型和頻率的靈敏度系數定義為：振型φr和頻率ωr對剛度損傷系數θi的改變率，即有?φr/?θi和?ωr/?θi。靈敏度系數的大小可以表征相關單元的剛度變化對結構振型和頻率的影響程度。

頻率的靈敏度系數表達式為

(3)

振型靈敏度按照Zhao等[17]提出的方法進行推導，由泛函理論得知，在n維線性空間中，n個線性無關的向量稱為空間的一組基。這組獨立向量可以定義整個線性空間。又由于振動理論，結構振型之間是相互獨立的，于是一組完整模態振型可以用來定義第r階振型的靈敏度系數，振型靈敏度系數定義如下：

(4)

式中αl是一個待定系數，代表第l階振型對振型靈敏度系數的權重。αl的取值分兩種情況：

(5)

將αs代入式(4)即可得到振型靈敏度系數。

2結構損傷識別方法

單元的剛度變化量θ與實測結構模態參數的變化量Δγ可以通過靈敏度矩陣S建立如下聯系：

Δγ=Sθ

(6)

式中，θ=[θ1,θ1,…,θNθ]T；S為靈敏度矩陣，

(7)

Sω=[Sω1,Sω2…,Sωn],

(8)

損傷引起結構模態參數的變化量表示為：

Δγ=[ΔωT,ΔφT]T

(9)

式中，Δω和Δφ為：

Δω=[Δω1,Δω2,…,Δωn]T,

(10)

(11)

(12)

(13)

3稀疏正則化優化算法

式(11)建立了結構單元損傷剛度變化系數向量θ與測試的結構模態參數直接的關系，但向量θ的維數遠大于測點數目，即未知數遠多于方程數，式(11)為一病態的線性方程組，但結構單元損傷程度向量θ具有稀疏性，只有少數損傷的結構單元其值為非零，因此可通過如下方程優化求解

(14)

式(14)可以轉換為無約束最小化問題：

(15)

步驟1：令λ0=1,l=1；

步驟2：代入式(16)優化求解

(16)

步驟4：λl=λl-1+Δλ，令l=l+1，并返回第2步。這里Δλ是λ的增量，本文算例中取Δλ=λ0/20。

4數值算例

建立一個桁架有限元模型，桁架總長度為8 m，每榀桁架的長度為0.4 m，總高度為0.8 m。結構共有312個桿件，108個螺栓球節點連接各個桿件。整個桁架的桿件和節點材料為鋼材，彈性模量和密度分別為2.06×1011Pa和7 800 kg/m3，模型如圖1所示。

圖1　桁架有限元模型Fig.1 Finite element model of truss structure

考慮實際工程結構測點有限的情況，選擇測點數為38個，布置位置如圖1所示，均為下弦桿節點。取結構的前四階豎向振型和對應的頻率，振型包括前3階豎向振型與第1階豎向扭轉振型。采用降低單元彈性模量的方法模擬損傷，設置三種損傷工況。損傷工況1為單元235損傷10%；損傷工況2為單元175與236各損傷10%；損傷工況3為單元26，60，175，190，265分別損傷5%，5%，10%，10%，10%。在有限元計算得到的前4階模態參數上加噪聲，模擬實測數據噪聲的影響，噪聲水平分別為1%，5%與10%。

(17)

4.1計算結果

圖2　損傷工況1的識別結果Fig.2 Damageidentification results of Case 1

損傷工況1的識別結果如圖2所示，圖2(a)為真實的損傷情況，圖2(b)～(d)為識別結果，從圖中看出，對1個單元損傷的工況，損傷識別結果較好，即使在10%的噪聲下，也能準確識別損傷位置與損傷程度。

損傷工況2為2個單元的損傷情況，識別結果如圖3所示，圖3(a)為真實的損傷情況，單元175與236各損傷10%。圖3(b)～(d)為識別結果，從圖中看出，損傷識別結果較好，但是隨著噪聲的增加，損傷程度的識別結果準確度降低，但是損傷位置識別較好。

圖3　損傷工況2的識別結果Fig.3 Damageidentification results of Case 2

圖4　損傷工況3的識別結果Fig.4 Damageidentification results of Case 3

損傷工況3為5個單元的損傷情況，識別結果如圖4所示，圖4(a)為真實的損傷情況，損傷工況3為單元26，60，175，190，265分別損傷5%，5%，10%，10%，10%。圖4(b)～(d)為識別結果，從圖中看出，對于多個單元損傷的情況，本文提出的方法仍然可以較準確的識別損傷位置與損傷程度。對于多損傷的情況，隨著噪聲的增加，損傷程度的識別結果準確性降低。

4.2不考慮稀疏約束的對比結果

對式(15)，不考慮稀疏約束，令λ=0，三種工況的計算結果如圖5～7所示。對于工況1，不考慮稀疏約束的情況下可以正確識別損傷情況，但10%噪聲時，損傷程度識別結果的準確性降低。對考慮多損傷的工況2和3，均存在誤判的情況，且隨著噪聲的增加，識別結果的準確性進一步降低。從對比結果可以看出，考慮損傷的稀疏性，可以明顯增加損傷識別的準確性。

4.3測點數目影響

為研究不同測點數目對識別結果的影響，對測點數[8,10,…,38]的情況分別計算損傷識別結果，識別誤差采用下式計算

圖5　λ=0時，損傷工況1的識別結果Fig.5 Damage identification results of Case 1 with λ=0

圖6　λ=0時，損傷工況2的識別結果Fig.6 Damage identification results of Case 2 with λ=0

圖7　λ=0時， 損傷工況3的識別結果Fig.7 Damage identification results of Case 3 with λ=0

(18)

計算結果如圖8所示，從圖中可以看出，隨著測量點數的增加，識別結果的誤差減少，相比于多個損傷的情況，損傷單元越少，誤差越小。噪聲對識別結果有影響，隨著噪聲的增加，識別誤差增大。

圖8　測點數目對識別結果的影響Fig.8 Influence of sensor number to identification error

圖9　24測點傳感器布置位置Fig.9 Placement of 24 sensors

借鑒壓縮感知理論中隨機采樣的思想，這里矩陣Γ取隨機矩陣。隨機選擇24個測點，研究測點布置位置對識別結果的影響。測點位置隨機布置如圖9所示。

在24個測點下，三種損傷工況在10%噪聲水平下的識別結果如圖10所示，從圖中可以看出，少量測點隨機布置的情況下仍然可以得到較好的損傷識別結果。進一步驗證了提出的方法的魯棒性。同時在實際的工程結構監測系統中，布置的某些傳感器會在使用過程中損壞或出現數據測量不準的情況，而且損壞的具體傳感器難以預測，具有一定的隨機性，按照傳統的傳感器優化布置方法，損壞之后的傳感器可能會影響損傷識別結果。但是本文提出的方法，即使少數傳感器出現問題，仍然可以取得較好的識別結果。

圖10　24個測點時的識別結果Fig.10 Damage identification results with 24 test points

圖11　8測點傳感器布置位置Fig.11 Placement of 8 sensors

對8個測點的情況，傳感器布置如圖11所示，識別結果如圖12所示。在8個測點時10%噪聲情況下，對于工況1，可以較準確的識別，對于工況2和3，識別結果較差。

圖12　8個測點時的識別結果Fig.12 Damage identification results with 8 test points

5結論

提出了基于結構靈敏度分析與稀疏優化的結構損傷識別方法，該方法在結構損傷稀疏的基礎上，通過靈敏度分析，建立結構單元損傷程度與實測頻率和振型變化量之間的關系，由于實際測量點的有限以及測試振型的不完備，所建方程為一對噪聲敏感的病態線性方程組，傳統方法較難獲得準確解，本文根據壓縮感知理論，引入稀疏約束對方程組進行求解。通過一個簡支桁架模型的數值模擬，考慮噪聲影響與測點不完備，對方法進行了驗證。結果表明：提出的方法可以準確的識別結構損傷，在少量測點下，即使受10%的噪聲影響也可以獲得較好的損傷識別結果。與不考慮稀疏約束的損傷識別結果對比表明，考慮稀疏約可以明顯增加損傷識別的準確性。

參 考 文 獻

[1] 歐進萍. 重大工程結構智能傳感網絡與健康監測系統的研究與應用[J]. 中國科學基金,2005(1):8-12.

OU Jin-ping. Research and practice of smart sensor network and health monitoring systems for civil infrastructures in mainland China[J]. Science Foundation in China,2005(1):8-12.

[2] 李宏男，高東偉，伊廷華. 土木工程結構健康監測系統的研究狀況與進展[J]. 力學進展,2008,38(2):151-166.

LI Hong-nan,GAO Dong-wei,YI Ting-hua.Advances in structural health monitoring systems in civil engineering[J]. Advances in Mechanics,2008,38(2):151-166.

[3] 李愛群，丁幼亮，王浩，等. 橋梁健康監測海量數據分析與評估——“結構健康監測”研究進展[J]. 中國科學,2012,42(42):972-984.

LI Ai-qun,DING You-liang,WANG Hao,et al. Analysis and assessment of bridge health monitoring mass data—progress in research/development of “Structural Health Monitoring”[J]. Science China Press,2012,42(42):972-984.

[4] 焦美菊，孫利民，李清富. 基于監測數據的橋梁結構可靠性評估[J]. 同濟大學學報:自然科學版,2011,39(10):1452-1457.

JIAO Mei-ju,SUN Li-min,LI Qing-fu. Bridge structural reliability assessment based on health monitoring data[J]. Journal of Tongji University:Natural Science,2011,39(10):1452-1457.

[5] Sohn H,Farrar C R,Hemez F M,et al. A Review of Structural Health Monitoring Literature:1996-2001[R]//LANL Report,LA-13976-MS,2003.

[6] 宗周紅，任偉新，阮毅. 土木工程結構損傷診斷研究進展[J]. 土木工程學報,2003,36(5):105-110.

ZONG Zhou-hong,REN Wei-xin,RUAN Yi. Recent advances in research on damagediagnosis for civil engineering structures[J]. China Civil Engineering Journal,2003,36(5):105-110.

[7] 鄭棟梁，李中付，華宏星. 結構早期損傷識別技術和發展趨勢[J]. 振動與沖擊,2002,21(2):1-8.

ZHENG Dong-liang,LI Zhong-fu,HUA Hong-xing. A summary review of structural initial damageidentification methods[J]. Journal of Vibration and Shock,2002,21(2):1-8.

[8] Farrar C R,Baker W E,Bell T M,et al. Dynamic characterization and damage detection in the I-40 bridge over the rio grande [R]. Los Alamos National Laboratory Report,LA-1275. MS. 1994.

[9] Hera A,Hou Z. Application ofwavelet approach for ASCE structural health monitoring benchmark studies[J]. ASCE Journal of Engineering Mechanics,2004,126(7):677-683.

[10] Yang J N,Lei Y,Lin S,et al. Hilbert-Huang based approach for structural damage detection[J]. ASCE Journal of Engineering Mechanics,2004:85-95.

[11] Chen S S,Kim S. Neural network based signal monitoring in a smart structural system[J]. Smart Structures and Materials,1994,2191:175-186.

[12] Balmès E,Basseville M,Mevel L et al. Statistical model-based damage localization:a combined subspace-based and substructuring approach[J]. Structural Control and Health Monitoring,2008,15(6):857-875.

[13] Candès E J. Compressive sampling[C]//Proceedings of the International Congress of Mathematicians,Madrid,Spain,2006:1433-1452.

[14] Candès E J,Romberg J,Tao T. Robust uncertainty principles:exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J]. IEEE Transaction Information Theory,2006,52(2):489-509.

[15] Donoho D. Compressed sensing[J]. IEEE Transaction Information Theory,2006,52(4):1289-306.

[16] 馬堅偉，徐杰，鮑躍全，等. 壓縮感知及其應用：從稀疏約束到低秩約束優化[J]. 信號處理,2012,28(5):609-624.

MA Jian-wei,XU Jie,BAO Yue-quan,et al. Compressive sensing and its application:from sparse to low-rank regularized optimization[J]. Signal Processing,2012,28(5):609-623.

[17] Zhao J,DeWolf J T. Sensitivity study for vibrational parameters used in damage detection[J]. Journal of Structure Engineering,1999,125(4):410-416.

[18] Boyd S P,Vandenberghe L. Convex optimization[M]. Cambridge University Press,Cambridge,U K,2004

Structural damage identification based on structural sensitivity analysis and sparse restrains optimization

ZHOU Shu-mei, BAO Yue-quan, LI Hui

(School of Civil Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, China)

Abstract:Sparse constraints are now very popular to solve inverse problems in the field of applied mathematics. Structural damage identification is a typical inverse problem of structural dynamics; structural damage is a spatial sparse phenomenon, i.e., when structural damage occurs, only part of elements or substructures are damaged. Here, a structural damage identification method based on the structural sensitivity analysis and the sparse constraints optimization was proposed. Based on the structural sensitivity analysis, the linear equations for structural damage stiffness parameter variations and changes of modal parameters were established. Considering the structural damage sparsity conditions, the sparse constraints optimization method was employed to solve the equations. The numerical example of a truss structure considering measurement noise, incompleteness of measurements and multi-damage cases was simulated. The effects of sensor number and layout on the identification results were also investigated. The results indicated that the damage locations and levels can be effectively identified with the proposed method; considering sparse constraints, the accuracy of structural damage identification is obviously improved.

Key words:structural health monitoring; structural damage identification; compressive perception; structural sensitivity analysis; sparse restrains optimization

基金項目：973計劃課題(2013CB036305)；國家自然科學基金面上項目(51738154)

收稿日期：2015-02-09修改稿收到日期：2015-05-05

通信作者鮑躍全 男，博士，副教授，1981年6月生

中圖分類號:TU317; TU392.5

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.021

第一作者 周述美 男，博士生，1982年12月生

E-mail: baoyuequan@hit.edu.cn