集成壓電元件的撓性太陽帆板振動抑制控制系統

袁秋帆, 劉延芳, 馬明陽, 齊乃明

(哈爾濱工業大學 航天工程系，哈爾濱　150006)

集成壓電元件的撓性太陽帆板振動抑制控制系統

袁秋帆, 劉延芳, 馬明陽, 齊乃明

(哈爾濱工業大學 航天工程系，哈爾濱150006)

摘要：針對基頻低于1 Hz的大撓性太陽帆板，提出了整板主動振動抑制方法。該方法通過在太陽帆板上集成壓電元件作為傳感器和執行器；針對帆板撓性增大時，同位控制易出現虛假抑制的現象，綜合考慮壓電傳感器的測量數據和板上一點的振動情況，基于正向位置反饋控制律(Positive Position Feedback,PPF)，設計了整板振動抑制控制系統。通過Adams和Simulink聯合仿真，對控制系統的振動抑制能力進行了考核，結果表明所設計的PPF控制系統避免了虛假抑制，具有良好的整板振動抑制效果。

關鍵詞：大撓性結構；振動抑制；正向位置反饋；整板抑制

航天探索的不斷深入，對航天器提出大型化和輕質化的要求，太陽翼、天線等呈現越來越多的柔性；另一方面，高精度的對地定向和深空探測等應用需求又要求航天器具有高的姿態控制精度、小的振動擾動等。在航天器位姿機動或者穩定過程中，撓性附件的振動會影響航天器位姿控制及有效載荷功能，需要加以抑制。抑制方法可以分為被動和主動抑制方法。被動振動抑制[1]通過改變結構、增加阻尼材料，增大模態阻尼，將振動能量轉化為其他形式的能量，達到振動抑制的目的，方法簡單可靠，但靈活性低，抑制效果不明顯。主動控制振動抑制方法可分為兩種：一種是前饋控制方法，包括分力合成方法[2]和輸入成型方法[3]；另一種是閉環反饋控制方法，根據傳感器和執行器的不同又可分為兩種方法，一種是是采用姿態傳感器，實時測量本體由于撓性振動引起的姿態變化，通過一定的控制方法，消除振動，達到較高的姿態控制精度，比較典型的是模糊自抗擾控制[4]，第二種方法采用智能材料[5]，通過實時測量振動，再用執行器對撓性體施加作用力或力矩，達到振動抑制的目的，多采用分布黏貼的執行器布局形式，執行器作動器一般是壓電陶瓷或者記憶合金等。主動振動抑制靈活性高，可以改變結構剛度和結構模態，有能力應對不斷變化的外部環境(如負載變化或者形狀變化)和內部環境(如損壞或故障)。采用貼壓電陶瓷片實現主動振動抑制時，通常采用同位控制[6]，即壓電執行器和壓電傳感器對位分別貼于薄板結構兩側，控制方法有速率反饋控制[7]、諧振控制[10]和正向位置反饋[11](Positive Position Feedback,PPF)等，近年來又有學者提出了H∞控制、LQG控制[8]和魯棒模型參考控制[9]等。

文獻[10]提出了諧振控制方法，該方法能夠保證多輸入多輸出系統的閉環穩定性，并且在諧振頻率處具有最大閉環阻尼，從而實現對結構特定模態振動的抑制,但其增加阻尼的能力是有限的。在此基礎上，Fanson等[11]提出了正向位置反饋控制方法，該方法對于外溢效應不敏感，控制律設計簡單，能夠保證在系統結構帶寬內存在不控制模態情況下的穩定性。

薄板柔性結構具有無窮階諧振模態，是一個分布參數系統，每一階模態都可以應用偏微分方程來描述。對撓性結構建模時，如果忽略了結構帶寬之外的振動模態對結構整體振動的影響，這樣雖然簡化了控制器的設計，但這些忽略掉的振動模態會影響系統傳遞函數的零點，導致所設計的閉環控制系統不穩定。因此，Moheimani等[12]在系統傳遞函數中引入了饋通項作為對這部分的補償，設計了相應的PPF控制器，對穩定性進行了重新推導。Moheimani采用懸臂梁試驗驗證了所設計的PPF控制律抑制結構振動的有效性。

在公開文獻中，針對PPF控制律及其試驗驗證的研究所采用的薄板一階頻率一般在3 Hz以上，關于采用PPF控制律抑制1 Hz以內振動的相關報道卻很少。然而，隨著航天器的大型化和輕型化，下一代的航天器的撓性附件的基頻往往在1 Hz以內，同位控制主動振動抑制易出現虛假抑制的現象[15]。因此，本文針對基頻在1 Hz以內的太陽帆板進行了建模分析，應用PPF控制律的基本原理，提出以整板振動抑制為控制目標的控制系統結構，并設計了相應的PPF控制器，仿真試驗結果表明所提出的整板振動抑制控制系統結構避免了虛假抑制，具有良好的整板振動抑制效果。

1集成壓電元件的太陽帆板動力學模型

本節在對集成壓電元件的撓性太陽帆板簡化處理的基礎上，建立其傳遞函數模型，并給出模型參數的辨識方法。

1.1傳遞函數模型

將太陽帆板簡化為懸臂薄板，薄板表面任意位置(x1,y0)處兩個側面分別貼有一個壓電陶瓷傳感器和一個壓電陶瓷執行器，壓電元件施加在薄板上的載荷等效為力矩M(x,t)，施加位置如圖1。

圖1　集成壓電元件的懸臂薄板模型Fig 1 Cantilever plate model with integrated piezoelectric element

應用經典基爾霍夫板理論，對于薄板使用動撓度來表示振動方程，定義板上動撓度為[13]：

(1)

式中，ωk為第k階模態振型，qk為第k階模態的廣義坐標。

根據薄板振動基本方程和哈密頓原理，得到壓電陶瓷輸出力矩到動撓度的傳遞函數為[14]：

(2)

線性壓電陶瓷用作傳感器時，其模型為[12]：

(3)

式中：Cp為壓電陶瓷片電容，Vs為電極間電壓，Ep為材料的楊氏模量，ε1為x方向應變，wp為片長。

壓電陶瓷執行器是利用逆壓電效應輸出微位移的執行器。應用經典基爾霍夫板薄板理論，可得對位粘貼壓電陶瓷片的情況下，壓電元件上施加的電壓和產生的力矩的關系[12]：

T=EbIAd31Va/tp

(4)

式中：Eb為薄板的楊氏模量，tp為壓電元件的厚度，I為薄板截面的慣性矩，d31為壓電應變常數，A為與薄板和壓電元件的楊氏模量與厚度相關的常數，該常數的計算公式因壓電元件在薄板的粘貼方式不同而不同，對于同位控制，A計算公式如下:

(5)

對撓性薄板和壓電陶瓷元件的數學模型進行整合，得到壓電執行器輸入電壓到傳感器輸出電壓的傳遞函數形式：

(6)

為了使控制系統可設計，將模態截斷到第N階，直接截斷有可能導致外溢現象，從而導致控制系統不穩定。結構帶寬內高于N階的模態可以使用饋通項來近似，則控制系統開環傳遞函數可表示為：

(7)

模態截斷誤差項不影響開環傳遞函數的極點，但是影響開環傳遞函數的零點和閉環傳遞函數的極點，與系統是否穩定相關。

1.2模型參數辨識

薄板振動變形量為小量，多個執行器施加電壓對單個傳感器測量電壓的影響滿足疊加關系。同位控制時，設共有m對壓電執行器/傳感器對，則第i個執行器施加電壓到第j個傳感器測量電壓的傳遞函數有如下形式：

(8)

Vi=K(ω0+vωt)j

(9)

(10)

則如何求解傳遞函數參數的問題轉化為以下數學問題：

已知函數形式為：

選取價值函數：

(11)

(12)

2控制系統設計

2.1控制系統結構

一般來說，薄板振動抑制控制系統以板根部的應力作為控制目標，使用壓電傳感器測量板根部的應力，控制器控制壓電執行器，使板根部的應力快速衰減，但當基頻較低時，板的撓性較大，在同位控制時，會出現虛假抑制的現象[15]，即在壓電傳感器上測量電壓值迅速衰減，但板上除壓電傳感器位置外的其他位置仍然在振動，這樣就達不到對板整體振動抑制的目的。

為了實現對板整體振動的抑制，選擇板長中點的法線方向位移作為控制目標，控制系統的被控量是壓電傳感器的測量電壓，控制量為壓電執行器上的電壓，設計控制器同時使該控制目標和傳感器測量電壓快速穩定，這樣僅使用板上的壓電元件實現了對板的整體振動的抑制。壓電執行器與傳感器配置方式如圖2所示。撓性帆板所受到的干擾主要有中心剛體機動產生的作用力矩、太陽光壓、攝動和執行器振動等，其中中心剛體機動帶來的力矩干擾要遠大于其他項，是撓性帆板振動的主要干擾源，因此，在撓性帆板上，使用一片壓電執行器黏貼在帆板根部模擬中心剛體機動產生的力矩，作為干擾執行器，對板施加干擾力矩，量化干擾以便于對控制系統進行評價，另設置m對傳感器執行器對，對板的振動情況進行采集，并對板施加作用力矩。

圖2　控制系統組成Fig 2 Composition of control system

為了實現整板振動抑制的目標，提出整板振動抑制控制系統結構，如圖3所示。

圖3　控制系統框圖Fig 3 Control system block diagram

控制目標為y，即板的中點位移， V為控制壓電執行器輸入電壓，Vp為壓電傳感器測量電壓，ω為干擾壓電執行器輸入電壓，控制對象為Gvv(s)，控制器為K(s)。根據控制系統框圖2可以得出，PPF控制器的作用是對干擾激發的控制目標y的振動進行反饋補償，從而使控制目標盡快衰減。

2.2控制器設計

薄板結構振動的狀態空間描述：

y=Cyx(t)+Dwyω(t)+DvyV(t)

Vp(t)=Cvx(t)+Dwvω(t)+DvvV(t)

(13)

式中：

PPF控制器的基本結構[11]為：

(14)

根據控制框圖，PPF控制器的狀態空間表達為：

(15)

式中：

將Vp(t)代入式(16)得：

(17)

(18)

式中：

為證明PPF控制器的穩定性，需以下定理。

由m對執行器到m對傳感器的傳遞函數Gvv(s)可以描述為：

Vp(t)=ψx(t)+DvvV(t)

(19)

式中：

PPF控制K(s)可以描述為：

(20)

式中：

定理3.1[12]：假設Δ正定，由式(19)和式(20)構成的閉環負反饋系統穩定，當且僅當矩陣Q正定：

(21)

圖4　極點配置Fig 4 Pole assignment

設計目標函數：

上述問題轉化為：

s.t.

(23)

(24)

式中，κ是一個接近于1的常數。

3仿真分析

壓電元件的粘貼位置如圖2所示，板長2 450 mm，板寬270 mm，一號傳感器執行器(S1A1)對位于板根部，二號傳感器執行器(S2A2)對距離根部180 mm處，控制目標y位于距離根部1 250 mm處。根部中間對貼有兩片壓電元件，其中一片為三號執行器，用于提供干擾激勵。控制目標為板上距離板根部1 250 mm的中點的沿Z正方向的位移量。控制目的是在有A3干擾輸入時，使用S1A1和S2A2對板進行控制，使控制目標y的振動受到抑制。

仿真模型中，輸入為施加在壓電執行器上的等效力矩Ti，輸出為壓電傳感器經過放大環節后的電壓Vpi，i=1,2,…,m。

3.1模型參數辨識

根據所建立的模型，在壓電執行器上加入適當的激勵力矩，即一定帶寬范圍的掃頻信號或者高斯白噪聲，在壓電傳感器上獲得表示結構響應的輸出電壓，對輸出電壓值進行傅里葉變換分析，可以獲得模型每個模態的頻率和阻尼。在已知傳遞函數結構的基礎上，采用非線性擬合的方法，獲取φk和D。

由執行器輸入力矩到傳感器輸出電壓的傳遞函數包含S1A1、S2A2兩對壓電元件，是一個二輸入二輸出的系統，再加上干擾力矩輸入和控制目標y，如圖。

圖5　傳遞函數Fig 5 The transfer function

G為傳遞函數矩陣，其形式為：

(25)

式中，Gij代表從Ai執行器到Sj傳感器的傳遞函數，i,j=1,2,3。根據控制系統框圖2-2，傳遞函數可分成四部分：

掃頻輸入力矩信號范圍從0.1到3 Hz，施加到A1、A2和A3執行器上，得到S1、S2和y的輸出，進而得到系統的幅頻響應曲線，使用最小二乘非線性優化方法[19]求解傳遞函數參數。代入參數后的傳遞函數幅頻響應曲線與原傳遞函數幅頻響應曲線相比較，如圖6所示。

圖6　傳遞函數優化求參結果Fig 6 Transfer function optimized results

3.2PPF控制器設計

使用極點配置法設計PPF控制器，根據系統開環傳遞函數可知系統開環極點為：

(26)

可見極點位置十分靠近虛軸，這樣的系統阻尼很小，振動衰減較慢。利用式(22)的目標函數，在穩定性判斷矩陣Q為正定的條件下，求解控制器的參數，使閉環控制系統的一對極點的實部向-1靠近，設計的閉環極點如圖。

圖7　PPF極點設計Fig 7 PPF pole design

由圖可知，閉環控制系統將第一階模態對應的極點向右配置，得到了兩對虛部相近的極點，其中一對極點的實部接近-1的設計極點位置。閉環系統的極點為：

(27)

圖8　閉環控制系統幅頻響應Fig 8 Closed-loop control system amplitude frequency response

可見加入控制后，閉環傳遞函數在第一階模態頻率的增益大幅度減小。第二階模態頻率增益較小，設計的控制器沒有針對該模態進行控制。

3.3仿真算例及結果分析

3.3.1仿真算例1

為了驗證所設計的控制器的有效性，使用Adams建立集成壓電元件的懸臂薄板模型，使用ADAMS/Simulink進行聯合仿真，干擾輸入信號為等效力矩：

在初始0.2 s激發板自由振動。

板自由振動后，抑制和不抑制的板上壓電傳感器S1、S2和控制目標y的振動如圖9～圖11。

根據控制結果可以看出，不加控制時，y的第一階模態振動明顯，而且衰減較慢，閉環控制后，y的振動在30 s內衰減下來，第一階模態振動被抑制，而更高階模態在初始開始控制的前10 s內，被控制器輕微激振，之后由于結構自身阻尼，也很快衰減。

圖9　控制目標y的位移Fig 9 Displacement of the control target y

圖10　一號壓電傳感器電壓Fig 10 Voltage of sensor 1

圖11　二號壓電傳感器電壓Fig 11 Voltage of sensor 2

對y進行快速傅里葉變換，如圖12。

可見加入控制后，第一階模態頻率位置振動能量變小，證明控制器達到了振動抑制的效果。

一號執行器和二號執行器的控制力矩如圖13和圖14。

由于第一階模態振型的應力變化最大位置在根部，一號執行器控制力矩遠大于二號執行器的控制力矩。

圖12　控制目標y的頻域分析Fig 12 Frequency domain analysis of control target y

圖13　一號壓電執行器控制力矩Fig.13 Control torque of piezoelectric actuator 1

圖14　二號壓電執行器控制力矩Fig.14 Control torque of piezoelectric actuator 2

3.3.2仿真算例2

對更加一般的情況進行考慮，干擾輸入信號設置為高斯白噪聲，最大幅值5 Nm。板上壓電傳感器S1、S2和控制目標y的曲線如圖15～圖17。

圖15　控制目標y的位移Fig.15 Displacement of control target y

圖16　一號傳感器的電壓Fig.16 Voltage of sensor 1

圖17　二號傳感器的電壓Fig.17 Voltage of sensor 2

由圖15～圖17看出，不加控制時，在40 s后，控制目標的振幅y明顯變大，板的第一階模態振動被激發，加入控制后，控制目標y的第一階模態振動被抑制。一號傳感器上的電壓在控制前后變化不大，這是由于干擾執行器與一號傳感器豎直平行黏貼，又由于板較薄，根部以拉伸變形為主，干擾作用直接傳遞到了一號傳感器。干擾作用主要通過板的彎曲振動傳遞到二號傳感器。為了更加詳細分析控制效果，對控制目標y和一號傳感器輸出電壓進行fft變換，如圖18和圖19。

圖18　控制目標y的頻域分析Fig.18 Frequency domain analysis of control target y

圖19　一號壓電傳感器電壓值的頻域分析Fig.19 Frequency domain analysis of sensor 1 voltage

由圖18和圖19可知，y和一號傳感器電壓值在第一階模態頻率附近有很好的抑制效果。

4結論

本文針對集成壓電元件的太陽帆板振動抑制控制技術進行了研究。首先建立了集成壓電元件的懸臂薄板模型，基于經典基爾霍夫板理論，給出了壓電執行器輸入電壓到傳感器輸出電壓的傳遞函數，基于PPF控制律，提出了整板振動抑制控制系統結構。使用ADAMS/Simulink對設計的控制系統進行了聯合仿真，結果表明所設計的控制器能夠很好的實現整板振動抑制，根部的應力和板中部位移均較快收斂，提高了整板剛度。該方法具有潛在的應用前景。

參 考 文 獻

[1] 杜華軍,黃文虎,鄒振祝. 航天支架結構的被動振動控制[J]. 應用力學學報,2002,19(3):10-11.

DU Hua-jun,HUANG Wen-hu,ZOU Zhen-zhu. Passive vibration control (PVC) of aerospace supporter[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics,2002,19(3):10-11.

[2] 陜晉軍,劉暾. 應用分力合成方法改善柔性系統性能的研究[J]. 系統仿真學報,2002,14(11):1536-1537.

SHAN Jin-jun,LIN Tun. Study on performance improvement of flexible systems using component synthesis method[J]. Journal of System Simulation,2002,14(11):1536-1537.

[3] 陜晉軍,劉暾. 撓性結構的輸入成型與分力合成主動振動抑制方法研究[J]. 中國機械工程,2002,13(5):379-383.

SHAN Jin-jun,LIU Tun. Study on input shaping and component synthesis method of flexible structure[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering,2002,13(5):379-383.

[4] 劉福才，陳鑫，賈亞飛，等.模糊自抗擾控制器在撓性航天器振動抑制中的應用[J].振動與沖擊,2015,34(9):9-14.

LIU Fu-cai, CHEN Xin, JIA Ya-fei, et al. Application of Fuzzy Auto Disturbance Rejection Controller in Flexible Spacecraft Vibration Suppression[J]. Journal of Vibration and Shock,2015,34(9):9-14.

[5] 胡慶雷,馬廣富. 撓性航天器姿態機動控制的主動振動抑制[J]. 振動工程學報,2005,18(3):17-18.

HU Qing-lei,MA Guang-fu. Active vibration control of flexible spacecraft during attitude maneuver[J]. Journal of Vibration Engineering,2005,18(3):17-18.

[6] 陳勇,陶寶祺,劉果,等. 柔性結構振動控制的初步分析與試驗研究[J]. 機械強度,1998,20(3):208-209.

CHEN Yong,TAO Bao-qi,LIU Guo,et al. Analysis and experimental study on the vibration control of flexible structures[J]. Journal of Mechanical Strength,1998,20(3):208-209.

[7] Balas M J. Feedback control of flexible systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,1978,23(4):673-679.

[8] 袁國平,史小平,李隆. 航天器姿態機動的自適應魯棒控制及主動振動抑制[J]. 振動與沖擊,2013,32(12):110-115.

YUAN Guo-ping, SHI Xiao-ping, LI Long. Adaptive robust attitude maneuver control of a flexible spacecraft with active vibration suppression[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(12): 110-115.

[9] 馬天兵,裘進浩,季宏麗,等. 基于魯棒模型參考控制器的智能結構振動主動控制研究[J]. 振動與沖擊,2012,31(7):15-18.

MA Tian-bing, QIU Jin-hao, JI Hong-li, et al. Active vibration control of a smart structure based on robust model reference controller[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(7): 15-18.

[10] Balas M J. Active control of flexible systems[J]. Journal of Optimization Theory and Applications,1978,25(3):415-436.

[11] Fanson J L,Caughey T K. Positive position feedback control for large space structures[J]. 1990,28(4):717-724.

[12] Moheimani S O R,Andrew J F. Piezoelectric Transducers for Vibration Control and Damping[M]. Germany:Springer,2006:9-66.

[13] Meirovitch L. Elements of vibration analysis[M]. McGraw-hill,Sydney,2nd edition,1996.

[14] Petersen I R,Lanzon A. Feedback control of negative imaginary systems[J]. IEEE Control Systems Magazine,2010,30(5):54-72.

[15] 李東旭,劉望,蔣建平,等. 空間智能桁架的傳感器作動器位置優化和分散化自適應模糊振動控制[J]. 中國科學:技術科學,2011,41(5):605-606.

LI Dong-xu,LIU Wang,JIANG Jian-ping,et al. Placement optimization of actuator and sensor and decentralized adaptive fuzzy vibration control for large space intelligent truss structure[J]. Sci China Tech Sci,2011,41(5):605-606.

[16] Pereira E,Aphale S S. Stability of positive-position feedback controllers with low-frequency restrictions[J]. Journal of Sound and Vibration,2013,322:2900-2909.

[17] Fanson J L,Caughey T K. Positive position feedback control for large space structures[J]. 1990,28(4):717-724.

[18] Song G,Schmide S P,Agrawal B N. Experimental robustness study of position feedback control for active vibration suppression[J]. Journal of Guidance,2002,25(1):179-182.

[19] 陳震,薛定宇,郝麗娜,等. 壓電智能懸臂梁主動振動最優控制研究[J]. 東北大學學報:自然科學版,2010,31(11):1550-1553.

CHEN Zhen,XUE Ding-yu,HAO Li-na,et al. On the optimal control of active vibration of a smart piezoelectric cantilever beam[J]. Journal of Northeastern University:Natural Science,2010,31(11):1550-1553.

Piezoelectric-based vibration control system for solar panels

YUAN Qiu-fan, LIU Yan-fang, MA Ming-yang, QI Nai-ming

(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract:Here, an active vibration suppression method was proposed for flexible solar panels with first-order frequency less than 1 Hz. With this method, piezoelectric elements were employed and integrated into a solar panel as sensors and actuators. However, with decrease in the first-order frequency, the collocated control might cause unreal suppressions. To avoid unreal suppressions, both the measurement from sensors and the vibration of a point on the panel were taken into account in designing the positive position feedback (PPF) controller. The proposed method was validated with simulations based on Simulink and Adams. Results showed the effectiveness on vibration suppression of the whole panel.

Key words:high flexible structure; vibration suppression; positive position feedback; vibration suppression of the whole panel

基金項目：中央高校基本科研業務專項資金資助(HIT.NSRF.201622);CAST創新基金

收稿日期：2014-11-27修改稿收到日期：2015-04-30

通信作者劉延芳 男，博士后,講師，1986年生

中圖分類號:V414.33

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.014

第一作者 袁秋帆 男，博士，1992年生