復雜轉子-軸承-汽封耦合系統的非線性振動分析

袁銘鴻， 童水光,， 從飛云， 李發宗

(1. 浙江大學 熱工與動力系統研究所，杭州　310027； 2.浙江大學 機械設計研究所，杭州　310027)

復雜轉子-軸承-汽封耦合系統的非線性振動分析

袁銘鴻1， 童水光1,2， 從飛云2， 李發宗1

(1. 浙江大學 熱工與動力系統研究所，杭州310027； 2.浙江大學 機械設計研究所，杭州310027)

摘要：基于非線性動力學和轉子動力學理論，綜合考慮Muszynska非線性汽封力、非線性油膜力和轉子不平衡量的耦合作用，建立了雙葉輪-軸承交錯布置的復雜轉子-軸承-汽封系統動力學模型。采用有限元法(FEM)推導系統運動微分方程，編程計算了系統轉速、圓盤偏心量、汽封長度和汽封間隙等參數對系統動力特性的影響，并利用分岔圖、頻譜圖、相軌跡和Poincare映射圖表征了系統的運動性態。研究表明：耦合系統具有高度非線性，隨著參數的變化系統呈現出周期運動、倍周期運動、準周期運動和混沌運動等復雜動力學行為。通過減小圓盤偏心，增加系統汽封長度，選取合適的汽封間隙有利于提高轉子-軸承-汽封系統的穩定性，改善系統的運動特性。

關鍵詞：非線性振動；轉子動力學；有限元法；分岔；混沌

在旋轉機械轉子系統中，非線性動力學問題一直是國內外學者研究的熱點[1-3]。葉頂間隙汽封力、滑動軸承油膜力、迷宮密封力，以及裂紋和碰摩等引起的非線性力是影響整個系統穩定性的重要因素之一[4-5]。隨著機組向高轉速大容量等大型化高參數的結構發展，研究轉子系統動態響應和穩定性是關系到機組安全生產、可靠運行的重要課題。文獻[6-7]經過大量實驗提出一種非線性流體密封模型(Muszynska模型)，采用流體周向平均流速比表征流體運動，正確表征了汽封力的非線性特性。文獻[8]基于哈密爾頓原理和有限元法建立了一個簡單的轉子系統模型，考慮非線性汽封力和油膜力對系統動力學進行了分析。文獻[9-10]采用Muszynska密封力模型和短軸承油膜力模型對單圓盤Jeffcott轉子系統的動力學行為開展了研究。文獻[11]建立了雙圓盤轉子系統，探討了圓盤位置尺寸、汽封壓降等對系統振動特性的影響。

轉子系統是一個具有復雜結構的非線性系統，線性振動理論不能很好地或全面地解決轉子系統的動力學問題，實際轉子系統發生故障時大多為兩種或多種因素的耦合作用下同時發生且相互影響。基于此，本文基于非線性動力學和轉子動力學理論，對一具有雙葉輪-軸承交錯布置的復雜轉子系統進行研究，綜合考慮非線性汽封力、油膜力和轉子不平衡量的耦合作用，采用有限元法推導系統運動微分方程，建立了復雜轉子-軸承-汽封系統動力學模型，并分析了系統轉速、圓盤偏心量、汽封長度和汽封間隙對系統動力特性的影響。

1復雜轉子-軸承-汽封系統模型

本文分析的轉子-軸承-汽封系統由一根轉軸、兩個葉輪和兩個滑動軸承組成(圖1)，葉輪與軸承交錯布置將轉軸分為三段，非線性汽封力和油膜力分別作用在葉輪和滑動軸承上。根據有限元理論，可以把整個系統沿軸線劃分為離散的圓盤、具有分布質量及彈性的軸段和軸承座等，共計4個節點單元和3個軸段單元，系統的有限元模型如圖2所示。兩個葉輪作為剛性圓盤分別位于節點1和節點3處，該處節點承受圓盤質量md、不平衡質量力Qd和非線性汽封力Fs的作用。節點2和節點4作為滑動軸承承受非線性油膜力Fo的作用。

圖1　復雜轉子-軸承-汽封系統模型Fig.1 Rotor-bearing-seal system

圖2　轉子系統有限元模型Fig.2 Finite element model of a rotor system

2部件模型

對系統的有限元模型進行單元分析建立節點力與節點位移間的關系，綜合各單元的運動方程可得到廣義坐標的系統運動微分方程。應用拉格朗日公式建立系統運動微分方程[12-13]：

(1)

式中，ui為廣義坐標，T為動能，U為應變能，Qi為廣義力。

2.1角速度與旋轉坐標

(2)

(3)

圖3　坐標轉換示意圖Fig.3 Transformation of coordinates

2.2剛性圓盤

葉輪假設成剛性圓盤為具有4個自由度的節點，其廣義坐標位移向量的表達式為{u1d}=[x,θy]T和{u2d}=[y, -θx]T。忽略應變能，其側向彎曲振動的動能表達式：

(4)

應用式(1)，即可得出圓盤的運動微分方程為：

(5)

式中，[Md]為圓盤的質量矩陣，[Gd]=Ω[Jd]為回轉矩陣，{Q1d}和{Q2d}為相應的廣義力。

2.3彈性軸段

彈性軸段單元如圖4所示，該單元有兩個節點共8個自由度，其廣義坐標為兩端節點的位移向量，即

{u1s}=[xA,θyA,xB,θyB]T

{u2s}=[yA,-θxA,yB,-θxB]T

(6)

圖4　彈性軸段單元Fig.4 Elastic shaft element

單元內任一截面的位移是該截面位置和時間的函數，通過位移插值函數可得：

(7)

式中，N=[N1N2N3N4]，N′=[N1′N2′N3′N4′]，

因此彈性軸段單元的動能和彎曲應變能可表示為節點位移及節點速度的函數，該單元的動能和應變能為：

(8a)

(8b)

式中，[MsT]，[MsR]為單元移動慣性矩陣和轉動慣性矩陣，[Gs]=Ω[Js]為單元回轉矩陣，[Ks]為單元剛度矩陣。

將式(8)代入式(1)，可得到軸段單元的運動方程：

(9)

式中，[Ms]=[MsT]+[MsR]，是考慮了移動慣性及轉動慣性在內的一致質量矩陣。{Q1s}和{Q2s}為相應的廣義力向量，包括節點處連接的圓盤或相鄰軸段的作用力和力矩，還包括支撐的約束力和不平衡廣義力。

2.4不平衡力

考慮圓盤因具有微小偏心距引起的不平衡力，如圖5。不計微小偏心對Jd和JP的影響，圓盤的運動方程式(5)中的廣義力包括不平衡力：

(10)

式中，e,φ分別為圓盤偏心距和偏位角。

圖5　偏心距引起的不平衡力Fig.5 Unbalance forces

2.5非線性汽封力

汽封流體激振力是由于汽封腔中氣流有旋轉，使轉子和汽封腔之間的間隙變化，周向壓力分布變化引起的。非線性汽封力采用Muszynska模型[14]，以流體周向平均流速比τ來表征汽封中流體的整體運動，認為流體對轉子的整體作用以平均角速度τΩ旋轉：

(11)

2.6非線性油膜力

滑動軸承的油膜力具有強烈的非線性特性，應用動態π油膜條件下的非穩態油膜力模型，得出短軸承非線性油膜力[15]為：

(12)

圖6　軸承油膜力示意圖Fig.6 Diagram of oil film forces

3系統運動方程

對于有n個節點的轉子-軸承-汽封系統，將所有圓盤和軸段單元矩陣進行組裝，合并單元的運動微分方程式(5)和式(9)，忽略微小的轉動位移，可得轉子-軸承-汽封系統有限元運動微分方程：

[K]{u}={Q}+{G}

(13)

式中，[M]、[J]、[C]和[K]分別為系統的質量矩陣、陀螺矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，{Q}為系統的廣義力，{G}為系統重力向量。

為便于計算求解，對系統運動微分方程進行無量綱化，可將上式轉化為：

4數值計算與動力學分析

轉子-軸承-汽封系統因包含汽封力和油膜力而具有高度非線性，應用數值計算方法，通過Matlab編程并使用4～5階Runge-Kutta法對系統運動微分方程式(14)進行數值求解。采用分岔圖、頻譜圖、相軌跡圖和Poincare映射圖等方法分析系統在不同參數下的非線性動力學特性。系統模型主要參數為：軸段L1=L2=250 mm，L3=500 mm；轉軸直徑d=50 mm；圓盤質量M1=M2=125.58 kg；圓盤直徑D1=D2=500 mm；圓盤偏心距rd=0.06 mm;汽封長度Ls=50 mm，汽封間隙cs=1 mm，汽封壓降ΔP=0.5 MPa；軸承長度Lb=25 mm，軸承間隙cb=0.2 mm。

4.1旋轉速度的影響

對于轉子-軸承-汽封系統，轉子的轉速是影響系統動態響應和振動特性的最重要因素之一。運用數值計算分析系統轉速Ω從100 rad/s增加至1 000 rad/s區間內，圓盤(X1)和軸承(X2)的無量綱位移分岔特性(如圖7)。隨轉速Ω的上升，系統運動規律為：周期運動→2倍周期運動→混沌運動→2倍周期運動→準周期運動→7倍周期運動→準周期運動直至混沌。當轉速Ω≤370 rad/s時，系統作周期運動即系統的運動方程有且只有一個確定解，系統處于穩定運動狀態。轉速Ω>370 rad/s后，系統出現2倍周期分岔，表明系統由于流體誘發失穩而產生次同步振動。當轉速Ω=592 rad/s時，系統運動特性由2倍周期運動變為極不穩定的混沌運動。直到轉速Ω>664 rad/s時，系統再次進入2倍周期運動。當轉速Ω>748 rad/s時，系統開始作準周期運動并在轉速Ω在808～844 rad/s間處于短暫的7倍周期運動后，系統將隨著轉速的繼續升高由準周期運動分岔道路最終進入混沌運動狀態。

圖7　系統圓盤(X1)和軸承(X2)處無量綱位移分岔圖Fig.7 Bifurcation diagrams of disk(X1) and bearing(X2)

圖8表征了轉速Ω=200 rad/s時系統的運動特性。在此轉速下，系統在頻譜圖上只有1倍頻的單峰，相軌跡為單極限環，Poincare映射也為一孤立相點，表明系統為同步周期運動，其渦動頻率與轉動頻率相等，系統運動穩定。圖9為轉速Ω=400 rad/s時系統的運動特性。此時系統不再作同步運動，相軌跡為兩個連結的閉環，頻譜中在1/2倍頻、1倍頻、3/2倍頻和2倍頻處有離散譜峰，Poincare映射為兩個孤立相點，表明系統發生了2倍周期分岔。當轉速Ω升高到610 rad/s時(圖10)，系統的相軌跡以螺旋的形式發生纏繞形成奇怪吸引子，系統的頻譜中存在連續譜，Poincare映射為沿曲線分布的點集并具有分形幾何結構，表明系統響應處于混沌狀態。圖11描繪了轉速Ω=810 rad/s時系統7倍周期的分頻振動運動特性，此時系統頻譜圖上具有較明顯的7個峰值，Poincare映射為7個孤立相點。系統轉速Ω=950 rad/s時(圖12)，頻譜圖顯示系統除了整數倍頻外還有互相不可公約的諧波分頻，相軌跡為不規則形狀，Poincare映射圖為一條閉軌跡環，表明系統作典型的準周期運動。通過分析表明，轉子-軸承-汽封系統的穩定性隨系統轉速的升高而降低，轉速越高系統越不穩定的可能性越大。

圖8　轉速Ω=200 rad/s時系統圓盤(X1)和軸承(X2)的運動特性圖(相軌跡、頻譜圖和Poincare映射)Fig.8 Dynamic behavior of disk(X1) and bearing(X2) at Ω=200 rad/s

圖9　轉速Ω=400 rad/s時系統圓盤(X1)和軸承(X2)的運動特性圖(相軌跡、頻譜圖和Poincare映射)Fig.9 Dynamic behavior of disk(X1) and bearing(X2) at Ω=400 rad/s

4.2圓盤偏心的影響

以1#圓盤偏心距為變量的系統位移分岔圖(圖13)，在汽封長度Ls=50 mm，汽封間隙cs=1 mm，汽封壓降ΔP=0.5 MPa，轉速Ω=500 rad/s條件下，使圓盤偏心距rd從0.001 mm增加至0.1 mm，系統運動規律為：周期運動→2倍周期運動→準周期運動→2倍周期運動→4倍周期運動→準周期運動。當偏心距rd小于0.057 mm時，系統為穩定的周期運動，隨著偏心距的增大，系統出現2倍分岔并經過短暫的準周期運動，振幅迅速增大，最后進入多倍周期運動、準周期運動直至混沌呈現不穩定的運動狀態。分析表明在此系統參數下，減小圓盤偏心引起的不平衡能提高轉子-軸承-汽封系統運動狀態的穩定性。

圖10　轉速Ω=610 rad/s時系統圓盤(X1)和軸承(X2)的運動特性圖(相軌跡、頻譜圖和Poincare映射)Fig.10 Dynamic behavior of disk(X1) and bearing(X2) at Ω=610 rad/s

圖11　轉速Ω=810 rad/s時系統圓盤(X1)和軸承(X2)的運動特性圖(相軌跡、頻譜圖和Poincare映射)Fig.11 Dynamic behavior of disk(X1) and bearing(X2) at Ω=810 rad/s

圖12　轉速Ω=950 rad/s時系統圓盤(X1)和軸承(X2)的運動特性圖(相軌跡、頻譜圖和Poincare映射)Fig.12 Dynamic behavior of disk(X1) and bearing(X2) at Ω=950 rad/s

圖13　系統圓盤(X1)和軸承(X2)處隨偏心距變化的無量綱位移分岔圖Fig.13 Bifurcation diagrams of disk(X1) and bearing(X2) with increasingrd

圖14　系統圓盤(X1)和軸承(X2)處隨汽封長度變化的無量綱位移分岔圖Fig.14 Bifurcation diagrams of disk(X1) and bearing(X2) with increasing LS

4.3汽封長度的影響

圖14為圓盤偏心距rd=0.06 mm，汽封間隙cs=1 mm，汽封壓降ΔP=0.5 MPa，轉速Ω=500 rad/s條件下，1#圓盤的汽封長度Ls從25 mm增長至80 mm間的系統位移分岔圖，其運動規律為：多倍周期運動與準周期運動交替→2倍周期運動。在此參數條件下，系統振幅隨著汽封長度逐漸增大而減小，當汽封長度Ls大于51 mm時，系統由準周期運動鎖相進入2倍周期運動，且此周期解在其后的參數區間內穩定存在。由此系統模型參數條件得出，增加系統汽封長度有利于改善轉子-軸承-汽封系統的運動特性。

4.4汽封間隙的影響

圖15為圓盤偏心距rd=0.06 mm，汽封長度Ls=50 mm，汽封間隙cs=1 mm，汽封壓降ΔP=0.5 MPa，轉速Ω=500 rad/s條件下，汽封間隙cs在0.1～2 mm區間內變化的位移分岔圖。系統運動規律隨汽封間隙cs的增加呈現：2倍周期運動→周期運動→2倍周期運動。當cs小于0.22 mm或大于0.36 mm時，系統為具有較大振幅的2倍周期分岔運動。由分岔圖表明，在此系統參數下，過大或過小的汽封間隙都會導致系統發生分岔而產生渦動，且過小的汽封間隙會導致軸與殼體動靜碰摩，合適的汽封間隙能保證系統的穩定運行。

5結論

本文基于有限單元法和拉格朗日方程建立雙葉輪-軸承交錯布置的復雜轉子-軸承-汽封系統的動力學模型，運用數值計算分析系統的運動特性，結論如下：

(1) 轉子系統在非線性汽封力、非線性油膜力和質量不平衡等多種因素的綜合作用下具有豐富的動力學行為，其運動狀態隨參數的變化可能呈現出周期運動、倍周期運動、準周期運動和混沌運動。

(2) 分析系統在不同轉速下的相軌跡、頻譜圖和Poincare映射圖表明，系統的穩定性隨轉速的升高而降低，轉速越高系統運動狀態越復雜。

(3)除轉速外，圓盤偏心距、汽封長度和汽封間隙等參數均為系統動力學特性的重要影響因素。本文系統模型參數條件下，減小圓盤偏心，增加系統汽封長度，選取合適的汽封間隙有利于改善轉子-軸承-汽封系統的運動特性。

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Vibration analysis of a nonlinear rotor-bearing-seal system

YUAN Ming-hong1, TONG Shui-guang1,2, CONG Fei-yun2, LI Fa-zong1

(1. Institute of Thermal Engineering and Power Systems, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China;2. Institute of Mechanical Design, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

Abstract:Based on the theory of nonlinear dynamics and rotor dynamics, a new complicated rotor-bearing-seal system dynamic model with double-impeller-bearing staggered arrangement considering Muszynska’s nonlinear seal force, the nonlinear oil film force and the mass eccentricity of the disk was proposed. The finite element method(FEM) was applied to derive the motion differential equations of the system and analyze the effects of system speed, disk eccentricity, seal length and seal clearance on the dynamic characteristics of the system. By using bifurcation diagrams, frequency spectra, phase trajectory maps, and Poincare maps, the dynamic state of the system was presented. The studies demonstrated that the coupled system is highly nonlinear; with parameters’ change, the system reveals rich forms of its dynamic behaviors including periodic, multi-periodic, quasi-periodic and chaotic motions; small disk eccentricity, long seal length and suitable seal clearance is helpful to improve the stability of the system.

Key words:nonlinear vibration; rotor-dynamics; finite element method (FEM); bifurcation; chaos

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51305392)；浙江省重大科技專項(2013C01150)

收稿日期：2015-03-16修改稿收到日期：2015-05-14

通信作者童水光 男，教授，博士生導師，1960年生

中圖分類號:O322；TH133

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.011

第一作者 袁銘鴻 男，博士生，1987年11月生