雙質體振動磨動力學建模及參數優化

賈民平, 周　浩, 楊小蘭, 劉極峰, 汪　震

(1.東南大學 機械工程學院,南京　211189； 2.南京工程學院 機械工程學院,南京　211167)

雙質體振動磨動力學建模及參數優化

賈民平1, 周浩1, 楊小蘭2, 劉極峰2, 汪震2

(1.東南大學 機械工程學院,南京211189； 2.南京工程學院 機械工程學院,南京211167)

摘要：針對多自由度振動磨系統建模困難以及動力學參數優化設計的需要，根據拉格朗日方程建立雙質體振動磨6自由度動力學方程，利用數值分析方法分析了系統的動力學響應，并通過振動測試試驗驗證了模型的有效性。在振動微分方程的基礎上研究了激振器轉速對振動磨動力學特性的影響，仿真結果表明在一定范圍內，轉速越大，振動強度越大，但振動幅值越小。為了使振動磨產生更好的粉磨效果，對激振參數進行優化分析。利用模態分析獲得雙質體振動磨的固有頻率和振型，分別從振動強度和共振頻率兩個角度確定系統激振器轉速的上下限，得到轉速的最佳取值范圍。在實驗室振動磨樣機上進行參數優化后的粉磨試驗，實驗結果表明，改進后的振動磨機金剛石粉體產品d50達到0.27 μm，較之前有所細化，驗證了參數優化具有一定的工程效果，為振動磨超微粉碎的動力學設計和產品開發奠定了基礎。

關鍵詞：振動磨;動力學模型;激振頻率;參數優化;超微粉碎

振動磨作為一種細磨設備，通過激振裝置驅動筒體作高頻振動，使介質對物料實施沖擊、摩擦和剪切等作用，實現被加工物料破碎、研磨、細化[1]。振動磨在超細粉磨中有著不可替代的作用，應用也越來越廣泛。雙質體振動磨是一種在傳統振動磨基礎上改進的新型粉磨設備，由上質體主振系統和下質體減振系統組成。較多的自由度和彈簧等使得雙質體振動磨的動力學研究比傳統振動磨更加復雜，因此有必要對振動磨的動力學特性作深入的研究。

國內外學者在振動磨動力學和參數優化等方面進行了相關研究工作。Gock等[2]建立振動磨機體和筒體運動的數學表達式，并研究振動磨能量散失函數和功率計算公式；Beenken等[3]建立偏心振動磨的3自由度運動方程，并與傳統振動磨進行比較；江曉紅等[4]推導了振動磨機的運動方程，分析了運動方程各參數對磨機運動軌跡的影響；劉政等[5]運用ProE和ANASYS對振動磨機體進行建模和初步分析，并對機體進行了局部優化。

但是上述研究對振動磨的建模簡單，只考慮兩個或三個自由度，也缺乏試驗驗證，同時對相關激振參數對粉磨效果影響鮮有研究。本文以實驗室雙質體振動磨樣機為研究對象，建立6自由度系統動力學微分方程，進而研究激振頻率對機體的影響，再從振動強度和模態分析相結合的角度對振動磨進行激振參數優化。

1雙質體振動磨系統的動力學建模

1.1典型雙質體振動磨結構及工作原理

典型雙質體偏心振動磨結構如圖1所示，主要包括筒體、振動電機、彈簧、研磨介質和物料以及質體板等。雙質體偏心振動磨的最大特點是激振器即振動電機與筒體軸線不在一條直線上，而是處于筒體的側邊。振動電機由電動機和四組主副偏心塊組成，改變電機轉速，可以調整振動磨的激振頻率；調整負偏心塊和主偏心塊的相位角，可改變激振力的大小，從而達到調整振幅大小的目的。下質體和隔振彈簧對底座起減振作用以降低基礎載荷和噪音。

圖1　典型偏心雙質體振動磨結構圖Fig.1 Typical structure of double masses vibration mill

振動磨物料和研磨介質裝入彈簧支撐的磨筒內，由電動機驅動偏心激振裝置高速旋轉，從而產生慣性離心力使上質體及部件作一定頻率和振幅的連續受迫振動。筒體的受迫振動使被磨物料受到研磨介質強烈的沖擊、擠壓、剪切及研磨等作用，使物料的彈性模量降低并產生缺陷和微裂紋擴展，達到粉碎物料的目的。

1.2雙質體振動磨物理模型

實驗室振動磨與典型雙質體磨機有一定的區別，振動電機采用下置式而非左右偏置，這樣可以省去平衡裝置，縮短整體尺寸，減輕振動磨重量。故可以用與筒體軸線正交平面內的有阻尼6自由度強迫振動來描述實驗室振動磨樣機，如圖2所示。6個自由度分別表示為上、下質體在x方向和y方向的平動以及繞其質心的轉動，其中，φ1為偏心塊繞豎直方向的轉角，X1O1Y1為固聯于上質體質心的隨體坐標系，X2O2Y2為固聯于下質體板質心的隨體坐標系，XOY為絕對坐標系。

圖2　實驗室雙質體振動磨6自由度動力學模型Fig.2 The dynamic model of six degree of freedom

1.3振動微分方程的建立

1.3.1系統動能

根據Lagrange方程，該系統的動能包括上質體T1、下質體T2和偏心塊的動能T3，可表示為：

(1)

(2)

(3)

式中:偏心塊速度可表示為：

(4)

式中，H為偏心塊轉動中心距上質體參考點距離，a為偏心塊的回轉半徑。

1.3.2系統勢能

系統的勢能由主振彈簧和減振彈簧的彈性勢能組成，不包括重力勢能和彈簧靜變形的勢能。

1) 下質體減振彈簧的彈性勢能計算

圖3　下質體彈簧彈性勢能分析簡圖Fig.3 Strain energy of lower spring

下質體彈簧彈性勢能分析結構簡圖如圖3所示。彈簧中A1點初始狀態在絕對坐標系XOY中的坐標為A1(-a2,h2),則A1點在工作狀態下的絕對坐標為：

(5)

因此A1點的變形為：

(6)

同理可得A2點的變形，容易得到下質體減振彈簧的彈性勢能表達式為：

2) 上質體主振彈簧的彈性勢能計算

上質體彈簧彈性勢能分析結構簡圖如圖4所示。彈簧中B1點初始狀態在X2O2Y2坐標系下的坐標為B1(-a1,h1)，則B1點在工作狀態下的絕對坐標為：

(8)

圖4　上質體彈簧彈性勢能分析結構簡圖Fig.4 Strain energy of upper spring

若B1在X2O2Y2坐標系下坐標為(xB1,yB1)，則

B1點變形量為：

(10)

同理可得B2點的變形，則主振彈簧的彈性勢能：

(11)

綜上，系統的總勢能為：

U=U1+U2

(12)

1.3.3系統能量散失函數

能量散失函數D可表示為：

(13)

式中,ci為由阻尼比ξ構成的阻尼系數

(14)

1.3.4振動微分方程組

將振動磨系統的總動能表達式和總勢能表達式對各個自由度求導數，代入上面的拉格朗日方程。整理可得由下列6個方程組成的微分方程組：

(l12-a12)sin(2θ1-2θ2)-(y1-y2)2sin2θ2]-2sin(θ1-θ2)(k1xa12+k1yh1H)+(k2x-k2y)sin2θ2(l02-a22)+

(15)

式中，j1、j2為上、下質體的轉動慣量；k1x、k1y為主振彈簧在徑向和軸向的剛度系數；k2x、k2y為減振彈簧在徑向和軸向的剛度系數；θ1為偏心塊繞上質體垂直向下方向的轉角，并規定順時針方向轉動取正值；2a1、2a2為上、下質體板的寬度；h1為系統靜止時上質體彈簧頂點至坐標系X2O2Y2水平軸的距離；h2為系統靜止時下質體彈簧頂點至絕對坐標系XOY水平軸的距離；2l1、2l2為上、下質體板的厚度；ci為各個方向的阻尼系數；ξ為阻尼比。

2振動磨動力學分析及試驗驗證

2.1系統動力學仿真分析

振動磨樣機激振器轉速為1 000 r/min，最大激振力10 kN。將表1中磨機相關參數代入動力學方程組(15)，利用數值分析方法可得振動磨在恒定轉速下的動力學響應。其中上、下質體在水平、垂直和轉動方向的位移曲線以及中心運動軌跡如圖5、圖6所示。由圖5可知，恒定轉速激振下，振動磨在開機階段會產生一定的晃動，穩定后會產生周期性的簡諧波響應，頻率為激振器的激振頻率，且筒體中心軌跡為橢圓。對比兩幅圖可以看出，相對于上質體，下質體的位移和振動幅度很小，垂直方向振幅為上質體的20%，水平方向僅為上質體的17.24%，即下質體運動對振動磨整體影響較小，故進一步分析時以上質體動力學響應為主。

表1　振動磨樣機相關參數表

圖5　振動磨機上質體在三個方向的位移曲線及中心軌跡Fig.5 The curves of upper body’s displacement in three direction and the center track

2.2雙質體振動磨振動信號測試

實驗設備包含振動磨樣機、傳感器、信號采集系統，振動磨尺寸參數、激振器頻率等與仿真相同，使用壓電加速度傳感器。在實際振動磨樣機實驗中，仿真參考點在設備中無法直接測量，可以根據上質體上的測點來間接驗證模型的準確性。先計算出測點相對于參考點的距離和角度，結合參考點的運動方程和轉動方程，推導出實測點的位移方程，進一步求導可得加速度方程，與實測信號進行對比，進而驗證理論模型的有效性。

利用DHDAS5920_1394動態信號采集分析系統和壓電式加速度傳感器，在采用頻率為2 000 Hz下分別測量振動磨樣機筒體和上質體板上四個便于安裝傳感器位置的加速度值，4個測點的具體位置如圖7所示。分別將實際測量值與該點仿真值進行對比，具體如下圖8所示。

從上述四個測點加速度對比圖可以看出，振動磨各點加速度周期為60.46 ms，頻率為16.54 Hz，對應于振動磨激振器所在軸的轉頻，與仿真情況一致。波形和振動幅值與仿真信號基本相吻合。

圖6　振動磨機下質體在三個方向的位移曲線及中心軌跡Fig.6 The curves of underbody’s displacement in three direction and the center track

圖7　振動磨試驗上質體測點示意圖Fig.7 Sketch of measuring points

3振動電機轉速優化

振動強度(振幅和激振角速度的平方之積與重力加速度的比值)是衡量振動磨粉磨效果的一個重要技術參數，提高振動強度可以使物料在筒體內經較短的時間獲得較佳的細化效果[6]。在優化設計中，可通過振動強度約束來保證系統的性能指標，考慮到振動磨結構的復雜性和高速運轉的危險性，要求激振參數滿足安全需求。

圖8　四個測點加速度實測值(叉點)與仿真值(實線)對比圖Fig.8 Comparison between real values and simulation values

本文從振動強度和模態分析兩個角度對磨機振動電機轉速分別進行優化設計，轉速直接影響振動磨系統的振幅和振動強度，優化的目標是振動磨達到粉磨所需強度，提高粉磨效率，同時遠離共振區，確保安全運轉。

3.1轉速對振動磨動力學響應影響分析

振動電機轉速可以通過變頻器調節，其值是振動強度的重要影響因素，同時轉速變化也會對振動磨振幅產生影響。通過振動微分方程組可得不同轉速下振動磨振幅和振動強度值如圖9所示。

圖9　振動電機轉速對上質體振幅和振強的影響Fig.9 Vibration amplitude and intensity with the rotation speed

從圖9可以看出，在遠超共振區工作的振動磨，振幅隨著激振頻率的增大而減小，但振動強度在不斷變大，且變化趨勢較為明顯。當轉速為600 r/min時，振強約為2，為低振強；當轉速達到1 800 r/min時，振強值已經超過10，屬于高振強。可以清楚地看出，改變激振頻率，振強變化范圍大。

上述分析表明，激振頻率對振動磨動力學響應影響顯著，調節激振頻率可以在較大范圍內實現振強值的改變。實踐證明，當振動強度大于6時，磨機才能產生細磨作用[6]，結合圖7中振強與轉速關系曲線，即轉速要大于1 300 r/min時振動磨才能達到顆粒超微粉磨所需的動力學要求。但由于轉速變大，振幅變小，對粉磨會產生不利影響，因此不能無限提高轉速來追求顆粒細化，需要對轉速選取的上限進行研究。

3.2振動磨模態分析

振動磨屬于高振強設備，它的工作狀態與結構模態有很大關系。因此在對激振參數優化時，有必要對系統固有頻率和振型進行研究，控制有利振動，避免進入共振區。

振動磨模型是在Pro/Engineer軟件中建立的，進而導入ANSYS Workbench中，并對模型進行了部分簡化，如螺栓、圓角等，定義材料屬性，劃分網格，確定邊界條件。求解可得振動磨系統的前八階模態頻率和振型，見表2和圖10所示。第六階振型是振動磨上質體上下振動，這是粉磨工作過程中主要的振動形式，故振動磨工作頻率應落在第六階與第七階固有頻率之間。根據振動利用工程知識和相關學者研究經驗[10]，振動粉磨設備頻率選擇應介于1.2f6和0.25f7之間，即轉速范圍在410～1 690 r/min之間。

結合從振動強度和模態分析的兩個角度得出的頻率范圍，得出優化后實驗室振動磨樣機電機轉速應介于1 300～1 690 r/min之間。

表2　振動磨各階固有頻率和振型描述

圖10　振動磨第6階振型圖Fig.10 The sixth step vibration shape

4振動磨樣機試驗與分析

實驗室以筒體尺寸φ200 mm×400 mm型振動磨作為樣機，最大激振力10 kN，功率0.75 kW。筒體內放入平均粒度10 μm的金剛石粉體，并放入一定數量的錳鋼球介質。按照得出的轉速最佳取值范圍，通過變頻器實現振動控制，累計粉磨時間100小時。試驗結束后，通過檢測得到粉體產品的電鏡掃描圖像如圖11所示，樣品前50%的粒度分布見表3。

圖11　粉體電鏡掃描圖像Fig.11 Image of scanning electron microscope

上述檢測結果表明，轉速優化后的粉體顆粒尺寸d50達到0.27 μm。而在轉速沒有優化情況下，振動磨粉磨產品的粒度分布見表4所示。從圖中可以明顯看出，振動磨在轉速沒有優化前其d50的約為2.52 μm。

表3　優化后粉體顆粒粒度分布表

表4　優化前粉體顆粒粒度分布表

對比表3和表4可知，轉速優化后產品顆粒較之前平均粒度明顯降低，細化效果顯著，說明在較短時間內獲得了良好的粉磨效果，驗證了參數優化具有一定的工程應用價值。這證實了對振動磨轉速優化不僅可以進行超微粉磨作業，細化顆粒，而且能夠提高生產能力，縮短工作時間。同時也應該注意到，此時的轉速不宜太高，適當的振動頻率不僅有利于降低粉磨功耗，而且有利于延長軸承等高速旋轉設備的壽命。

5結論

(1) 打破了振動磨建模分析時未考慮質體轉動情況的不足，建立了雙質體振動磨的動力學模型和六自由度動力學方程，利用數值方法研究了系統的動力學響應，并利用振動測試試驗驗證了模型的有效性；

(2) 基于已經建立的系統振動微分方程組，分析了轉速變化對磨機振動幅值和振動強度的影響。在一定范圍內，轉速越大，振動強度越大，而振幅變小，使粉碎難度加大。通過模態分析方法，獲得了振動磨的固有頻率和振型，從利用有益振動、避免共振角度確定了轉速選取的上限，得到了振動磨系統優化后的轉速范圍；

(3) 粉磨試驗研究表明，優化后的電機轉速對振動磨粉磨顆粒細化起到有效的促進，提高粉磨效率，并且能夠降低振動磨粉磨設備的能耗。試驗結果對雙質體振動磨的參數選取提供一定的參考。

參 考 文 獻

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Dynamic modeling and parametric optimization for a double-mass vibration mill

JIA Min-pin1, ZHOU Hao1, YANG Xiao-lan2, LIU Ji-feng2, WANG Zhen2

(1. School of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China;2. School of Mechanical Engineering, Nanjing Institute of Technology, Nanjing 211167, China)

Abstract:Aiming at the needs of modelling and dynamic parametric optimization design of vibration grinding systems with multi-DOF, the dynamic equations with 6-DOF of a double-mass vibration mill based on Lagrange equation were established. The dynamic response of the double mass vibration mill was analyzed using the numerical analysis method and the model was verrified to be effective with vibration tests. The relationship between the double mass vibration mill’s dynamic characters and the rotating speed of its exciter was studied with the help of the established model. It was shown that the larger the rotating speed, the bigger the vibration intensity, but the smaller the vibration amplitude. In order to achieve the better effect of grinding, the excitation parameters were optimized. With the help of modal analysis, the natural frequencies and vibration modal shapes of the system were obtained. The upper limit of the rotating speed was determined with the resonance frequencies and the lower limit was determined with the vibration intensity. Then, the optimal range of the rotating speed was determined. A grinding test with diamond powder was conducted on the model machine. The result showed that the average size of output powder is 0.27 μm, it meets the requirements of ultrafine powder. This optimization laid a foundation for dynamic design and product development of vibration mills for ultrafine comminution.

Key words:vibration mill; dynamic model; excitation frequency; parametric optimization; ultrafine comminution

基金項目：國家自然科學基金(51375221);江蘇省自然科學基金(BK2012865);國家級大學生創新訓練項目(201411276009Z)

收稿日期：2015-01-29修改稿收到日期：2015-05-04

中圖分類號:TH113.1

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.010

第一作者 賈民平 男，教授，博士生導師，1960年9月生

E-mail:mpjia@seu.edu.cn