橫縱激勵下幾何非線性復合材料層合梁的混沌同步

王龍飛 ， 韓志軍 ， 閆曉鵬 ， 路國運

(1.太原理工大學 力學學院，太原　030024； 2.太原理工大學 建筑與土木工程學院，太原　030024)

橫縱激勵下幾何非線性復合材料層合梁的混沌同步

王龍飛1， 韓志軍1， 閆曉鵬1， 路國運2

(1.太原理工大學 力學學院，太原030024； 2.太原理工大學 建筑與土木工程學院，太原030024)

摘要：基于里茲-伽遼金法，將考慮幾何非線性的一端固支一端夾支復合材料層合梁的控制方程簡化為典型的Duffing方程；引入了Duffing-Van Der Pol系統，通過兩種系統的分岔圖說明了它們共同達到混沌時的參數值；通過廣義投影同步法，實現了Duffing系統和Duffing-Van Der Pol系統的精確同步，得到了實現兩種系統同步的控制器；分別將兩種系統通過Matlab進行了數值仿真，得到了兩種系統的同步誤差曲線圖、二維相圖和三維相圖，從而驗證了混沌同步的準確性。

關鍵詞：復合材料；混沌同步；DVP系統；廣義投影同步

混沌運動研究是近20年發展起來的關于非線性動力學系統中一種特殊運動方式的研究，它起源于人類對大自然的不斷探索，其同步被廣泛的應用于各種工程技術方面，尤其在保密通訊中的應用令人矚目，由此引申出了三大技術：混沌遮掩、混沌調制和混沌開關技術。此外，混沌在超寬帶通信和數字水印等方面的應用也在最近幾年飛速發展。因此，關于混沌同步的研究有重大的意義和實際價值，被越來越多的學者所關注[1-3]。

混沌同步最早是由美國海軍實驗室的Pecora等[4]提出的，他們在電路實驗中首次實現了混沌的同步，其后，關于混沌同步的研究也越來越熱門；Kocarev等[5]提出了一種新的APD分解法，改進了之前的PC同步法，并將其應用到了通信工程中；Pyragas[6]基于反饋調節的思想，提出了一種變量反饋同步法，該方法因為不改變原系統的混沌特性而被廣泛應用于電路、激光和振蕩器等系統之間的同步；Mainieri等[7]提出了投影同步法，將對應狀態的振幅按照一個比例因子進行演化，且得到了廣泛應用；基于此，Yan等[8]提出了廣義投影同步，可以使所有響應系統和驅動系統的對應狀態變量都滿足比例關系且相空間可以自由拉伸或壓縮；Hu等[9]提出了一種更一般的方法，這種方法不局限于狀態變量滿足相同的比例關系，稱之為全狀態混合投影同步；閔富紅等[10-11]分別研究了兩個相同的四維混沌系統的同結構廣義投影同步以及Lorenz系統和Chen系統的改進自適應廣義投影同步；王宇野等[12]研究了異結構的不確定混沌系統的廣義投影同步，并以R?ssler系統和Lü系統的同步為例說明了異結構同步的問題；馮浩等[13]研究了Chen系統和Liu系統的廣義投影同步，并將其應用在電路設計方面。以上研究分別利用了不同的方法實現了不同系統之間的混沌同步，然而關于復合材料層合梁在橫縱外載激勵下的新型混沌同步方法的研究，卻鮮有文獻提及。

基于此，本文考慮系統的幾何非線性，應用廣義投影同步法，研究復合材料層合梁在發生非線性振動時的混沌同步，從而通過適當的控制器，將其精確同

步為Duffing-Van Der Pol系統，并廣泛應用于力學與工程、激光物理、化學以及生命科學中。

1系統的控制方程

圖1是一端固支一端夾支的復合材料層合梁，桿長為L，橫截面A=bh，軸向壓力為P1=F0，橫向擾動力為P2=Fcosωt。若不考慮軸向慣性，由Hamilton原理可導出復合材料層合梁的振動方程，如下：

(1)

(2)

圖1　一端固支一端夾支下梁的受載示意圖Fig.1 Theclamped-fixed bar by the load

整理式(1)和式(2)，得到由橫向位移表達的控制方程為：

(3)

令：

(4)

取滿足一端固支一端夾支的邊界條件，即：w(0,t)=w(L,t)=w′(0,t)=w′(L,t)=0，由此可得到位移模態為：

(5)

根據里茲-伽遼金法，通過變分和分步積分，式(4)可化簡為：

(6)

式(6)可寫成如下Duffing方程的形式：

(7)

式(7)是復合材料層合梁控制方程的Duffing方程系統，因為兩者都是同一振動系統，所以可以進行等價替代。

2Duffing系統和DVP系統的混沌同步

DVP系統(Duffing-Van Der Pol,DVP)是Duffing系統和Van Der Pol振蕩系統的結合，它既具備了Duffing系統的非線性項、具有一定的恢復力，又兼備了Van-Der Pol振蕩系統非線性阻尼項，有一定的維持自激振動的能力，可以用來模擬人心臟的振動以及含有負阻原件的電路等，受迫DVP系統可以表示為下式：

(8)

利用廣義投影同步法[14]，可以將DVP系統作為驅動系統，Duffing系統作為響應系統，于是這兩個系統可以分別表示為：

驅動系統：

(9)

響應系統：

(10)

考察μ、ω和f的取值，要滿足Duffing系統和DVP系統能同時進入混沌，進而方便討論它們在發生混沌下的同步，下面先討論兩種系統隨著分岔參數f變化的系統分岔圖，然后給出兩系統同時發生混沌的參數值，令μ=0.2，ω=1，可得圖2分岔圖。

圖2　系統隨f變化的分岔圖(左為Duffing，右為DVP)Fig.2 Bifurcation diagrams with the change ofparameters f (Duffing in the left, DVP in the right)

圖2表明：當f=3時，無論是Duffing系統還是DVP系統都已進入了混沌狀態，因而可取μ=0.2，ω=1，f=3進行分析討論。

(11)

u1=(κ1-κ2)x2-e1

(12a)

0.4κ2x2+3(κ2-κ3)x3-e1

(12b)

u3=(κ4-κ3)x4-e3

(12c)

u4=(κ4-κ3)x3-e3-e4

(12d)

可用Matlab模擬給出式(9)和(10)的異結構混沌同步過程。

3數值仿真和討論

取兩個系統的初值如下：

(13)

本文研究兩個異結構之間的精確同步，取縮放系數都為1，在同步控制器u的作用下，可以得到圖3兩個四維映射系統間的同步誤差曲線圖。

圖3　兩系統間的同步誤差曲線圖Fig.3 Synchronous error curve diagrams of two systems

圖4是同步前Duffing系統和DVP系統的二維相圖，圖5是同步前Duffing系統和DVP系統的三維相圖，可以看出DVP系統的二維相圖類似于“蠶豆”型，而Duffing系統的二維相圖為“倒八”型，兩者有明顯的區別。圖4和圖5共同表明：Duffing系統和DVP系統在達到混沌時，相軌跡圖均雜亂無序，但兩者之間有一定的區別，這與DVP系統本身的非線性阻尼項有關。在經過控制器作用，響應系統與驅動系統達到精確同步后，可以得到圖6。

此外，還可以通過平面相圖或空間相圖來形象的說明Duffing系統和DVP系統之間的混沌同步過程。

圖4　同步前兩系統的二維相圖(左為DVP，右為Duffing)Fig.4 2D-phase-trajectory diagrams of two systems before synchronization(DVP in the left, Duffing in the right)

圖5　同步前兩系統的三維相圖(左為DVP，右為Duffing)Fig.5 3D-phase-trajectory diagrams of two systems before synchronization(DVP in the left, Duffing in the right)

圖6　同步后兩系統的二維相圖(左為DVP，右為受控Duffing)Fig.6 2D-phase-trajectory diagrams of two systems after synchronization(DVP in the left, Duffing under the control in the right)

圖6表明：如果不計系統誤差，Duffing系統的吸引子轉變為了DVP系統的“蠶豆”型吸引子，說明兩種系統已經達到了精確同步。

4結論

本文通過理論分析和數值仿真，可以得到如下結論：

(1) 考慮結構的幾何非線性，分析了受擾復合材料層合梁的非線性振動，利用里茲—伽遼金法得到了與其控制方程等價的Duffing振子方程。

(2) 通過Matlab進行數值仿真，得到：Duffing系統和DVP系統的四個誤差函數在經歷了一段時間后，都穩定在零點，且e3和e4的時間要短，大概在5 s左右的時間趨于零點；而前兩個誤差函數e1和e2在25 s左右的時間才趨于零點，這可能與后兩項同為正余弦函數，短周期內容易耦合達到同步有關。之后隨著時間變化，誤差曲線保持水平直線，中間無任何突變或跳躍，因此可以判定Duffing系統和DVP系統實現了異結構的精確混沌同步。

(3) 三維空間相圖的t軸是時間軸，該軸與其他任意兩軸分別可以組成位移和速度的時程曲線圖，時程曲線圖如果不是周期性分布，而是無規律的，則說明系統發生了混沌，因此三維空間相圖可以更加全面的反映兩種系統的混沌運動過程。通過觀察可知，經過短暫的變化后，Duffing系統的軌跡變成了和DVP系統完全相同的“蠶豆”型吸引子，說明驅動系統和響應系統達到了同步。

參 考 文 獻

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[15] 陳啟宗. 線性系統理論與設計[M]. 北京：科學出版社,1980.

Chaotic synchronization of a geometric nonlinear composite beam under horizontal-vertical excitations

WANG Long-fei1, HAN Zhi-jun1, YAN Xiao-peng1, LU Guo-yun2

(1. College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China;2. College of Architecture and Civil Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Abstract:Based on Ritz-Galerkin Method, the dynamic governing equations of a composite beam with clamped-fixed boundary conditions were simplified into the typical Duffing equations considering geometric nonlinear. A Duffing-Van Der Pol System was introduced. Parameter values of two systems reaching chaotic state commonly were presented according to their bifurcation diagrams. The accurate synchronization between Duffing system and DVP System (short for Duffing-Van Der Pol) was realized using the generalized projective synchronization method and their synchronization’s controller was also acquired. Finally, numerical simulations for chaotic synchronization of the two systems were conducted with Matlab and synchronous error curve diagrams, 2D-phase-trajectory diagrams, 3D-phase-trajectory diagrams of the two systems were obtained. These diagrams were used to verify the correctness of chaotic synchronization.

Key words:composite; chaotic synchronization; DVP system; generalized projective synchronization method

基金項目：國家自然科學基金(11372209)；山西省自然科學基金(2013011005-1)

收稿日期：2015-03-18修改稿收到日期：2015-05-13

通信作者韓志軍 男，博士，教授，1964年10月生

中圖分類號:TB33；O322

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.005

第一作者 王龍飛 男，碩士生，1988年3月生