基于SGP4模型與多普勒頻移的改進定軌方法

陸正亮, 張　翔, 劉　洋, 廖文和

(南京理工大學機械工程學院, 江蘇 南京 210094)

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基于SGP4模型與多普勒頻移的改進定軌方法

陸正亮, 張翔, 劉洋, 廖文和

(南京理工大學機械工程學院, 江蘇 南京 210094)

摘要：立方體衛星廣泛使用兩行根數(two-line element, TLE)結合SGP4模型作為定軌的唯一或是備份手段。針對SGP4模型長期預報誤差積累的問題,分析了模型的誤差來源及分布情況,提出兩種利用地面觀測站測量多普勒頻移提高定軌精度的方法。一種方法直接修正大氣阻力項系數,結果表明能大幅減小速度方向上的預報誤差,將預報10天的位置精度提高到4 km以內。另一種方法將已知的兩行根數更新為衛星過境時刻的兩行根數,然后修正緯度幅角,修正后短期預報誤差能基本消除但長期精度不如前一種方法。通過對在軌立方體衛星的實際測量也驗證了上述的結論。

關鍵詞：立方體衛星; 兩行根數; SGP4模型; 多普勒頻移

0引言

從1999年立方體衛星的概念被提出以來,世界范圍內的高校、研究所以及商業航天機構都在深入挖掘立方體衛星的應用潛能,共同推動了立方體衛星研制技術的跨越式發展。立方體衛星的測定軌手段除了使用GPS接收機或應答機以外,還大范圍使用SGP4軌道遞推模型進行定軌。目前在軌的立方體衛星大多依賴北美防空司令部(North American Aerospace Defense Command,NORAD)發布的兩行根數結合SGP4模型進行定軌[1-5]。但是NORAD發布兩行根數的周期是不確定的,容易導致定軌誤差隨時間大量累積。為此國內外學者研究了多種生成兩行根數的算法[6-9],但其大多以GPS精密星歷為測量數據,并不適用于立方體衛星的軌道確定。

衛星與地面站通信時發生的多普勒頻移現象與衛星軌道以及地面站的相對位置之間存在對應關系,美國海軍導航系統NNSS就是基于這個原理建立的第一代衛星導航系統。立方體衛星使用的通信頻段以業余波段UHF/VHF為主,大多數高?；蜓芯繖C構在研制立方體衛星時都會配套建立一個業余頻段地面站,使得多普勒頻移成為研究人員對立方體衛星自主測軌的一種低成本手段。文獻[10]基于J2模型提出利用多普勒頻移測量得到衛星位置速度信息的方法,在衛星過境期間得到不錯的定軌精度,但其可行性的基礎是在全球建立地面站網絡以縮短衛星過境時間間隔,從而避免使用J2模型進行長期軌道預報。

將多普勒頻移測量與SGP4模型相結合能解決衛星過境時刻外的軌道預報精度問題。文獻[11]對多普勒頻移測量數據擬合兩行根數的算法原理以及性能進行了研究,結果發現算法難以收斂至正確結果。認真分析多普勒頻移測量量與軌道根數之間的本質聯系可得出兩方面原因,其一是多普勒頻移與某些軌道根數之間的關系不夠緊密導致算法的收斂半徑過小;另外由于多普勒頻移測量數據的時間跨度太短而不足以去除軌道攝動中大氣阻力和重力的長期項影響,從而導致擬合得到的兩行根數的精度過低。

本文結合多普勒頻移這類測量量的本質特性以及SGP4模型的誤差分布情況,認為多普勒頻移測量是提高SGP4模型定軌精度的一種高效而且低廉的手段。提出了兩種利用多普勒頻移測量修正兩行根數的方法,對其可行性進行了仿真分析,并利用LabView軟件平臺搭建的地面數據采集系統進行了實際測量驗證。

1多普勒頻移

衛星過境地面站時兩者之間的相對速度會發生改變,使得地面站接收到衛星發送的信號頻率發生偏移,這就是所謂的多普勒頻移現象。理論上來說多普勒頻移與衛星軌道根數之間是一一對應的關系,使得多普勒頻移成為衛星測軌或是實現衛星導航的一種有效測量方式。但在實際應用中使用該方法定軌和導航的精度并不高,現代衛星基本已經不再使用這種測量方式。而對于發展迅速的立方體衛星來說,中等定軌精度已經能夠滿足其需求,測量便捷成本低廉的多普勒頻移成為立方體衛星實現自主測軌的方式之一[12]。

(1)

式中,C表示光速;i表示測量次數;f0表示衛星的發射頻率;fi表示地面站接收到的頻率。

使用多普勒頻移定軌,了解并建立準確的測量模型甚為關鍵。衛星與地面站之間的距離變化率這類測量量與軌道根數的關系較為復雜,不便使用解析表達式來表達。通過分析距離變化率與軌道根數之間的內在聯系可以了解多普勒頻移測量的本質特性。假設地球停止自轉,距離變化率就只與軌道形狀、衛星位置以及地面站到星下點的垂直距離相關,而與決定軌道位置的傾角和升交點赤經無直接關系。如圖1所示,當圖1中d1和h1分別與d2和h2相等時,縱使衛星1和衛星2有著不同的軌道傾角和升交點赤經,計算得到的距離變化率也是相同的。正是由于地球自轉才使得傾角和升交點赤經與距離變化率關聯在一起。但由于地球自轉相對衛星運動來說速度太慢,使得這種關聯非常不緊密,加上多普勒頻移測量誤差以及測量模型誤差的影響，必然導致使用多普勒頻移直接定軌的精度不高。

圖1　衛星與地面站之間的相對位置

2兩行根數與SGP4模型的誤差分析

兩行根數(two-lineelement,TLE)是北美防空司令部基于一般攝動理論產生的用于預報地球軌道飛行器位置和速度的一組軌道根數。與利用測軌數據進行軌道確定或軌道預報獲得的瞬時軌道六根數不同,兩行根數是在真赤道、平春分點坐標系下的“平均”根數,是一種利用特定的方法去除了周期攝動力影響后的軌道根數,通常與SGP4、SDP4模型一起使用。SGP4模型是一種空間目標解析預報模型,當使用特定的TLE作為輸入時可較準確的對近地目標軌道進行預報,計算量較小且精度適中。SGP4模型的原理就是在TLE的基礎上通過重構短、長周期項以及長期項的攝動力大小從而對軌道進行預報。使用SGP4模型預報軌道的誤差會隨著時間累積越來越大,提高軌道預報精度的前提則是分析清楚SGP4模型的誤差來源以及誤差分布情況。

預報誤差來源包括輸入的TLE誤差以及攝動力建模誤差。攝動力建模誤差是SGP4模型的固有誤差無法消除,TLE誤差則來源于用于擬合TLE的測量數據誤差以及相關擬合算法誤差。但是北美防空司令部發布兩行根數的同時并沒有公布其誤差信息,這給評估SGP4模型的預報精度帶來了一些困難。本文借助衛星工具包(satellitetoolkit,STK)軟件的強大仿真能力來分析SGP4模型的誤差分布情況。

首先使用高精度軌道預報(high-precisionorbitalpropagator,HPOP)精確軌道遞推模型生成一條近地軌道模擬真實軌道。然后使用STK軟件自帶的GenerateTLE工具擬合出兩行根數來仿真北美防空司令部發布的TLE,擬合算法用到的測量數據是真實軌道的位置信息。最終利用擬合得到的TLE建立一條SGP4預報軌道。通過比較真實軌道和預報軌道的位置關系可以分析SGP4模型的誤差分布情況。預報誤差以位置偏差的3個分量,即速度方向偏差、垂直軌道面方向偏差以及軌道半徑方向偏差來描述。研究發現擬合TLE的時長是決定SGP4模型誤差的最主要因素,由于這里研究的重點是誤差分布情況,故將擬合時長設置為北美防空司令部發布TLE的平均周期1.5d。模擬的真實軌道高度為500km,得到的典型結果如圖2所示,圖2中橫坐標0天表示所發布TLE的歷元時間。

圖2　SGP4軌道預報精度

由圖2可見,SGP4模型的預報誤差主要集中在速度方向偏差上,預報5 d的速度方向偏差為-18 km,預報10 d則為-35 km。而垂直軌道面方向偏差以及軌道半徑方向預報精度較高,預報15 d的偏差范圍在±1.5 km以內。結果與國外一些學者采用精密星歷對比法得出的結論類似[13-16]。

分析低地球軌道衛星的軌道攝動力來源可知,大氣阻力是影響位置誤差中速度方向偏差的最主要來源。在TLE中代表大氣阻力攝動的是大氣阻力項系數B*。由此推論擬合得到的TLE中B*的誤差可能是造成速度方向偏差較大的原因。可以通過簡單改變B*的大小來驗證這個推論。圖2中使用的TLE中B*的大小為0.000 152 32,當將B*更改為0.000 182 32時得到的軌道預報精度結果如圖3所示。圖3中改變B*后預報10 d的速度方向偏差由-35 km變化為10 km,驗證了上述的推論。

圖3　調整B*后的SGP4軌道預報精度

如果通過某種測量手段能修正速度方向的偏差,同時又能保持垂直軌道面方向以及軌道半徑方向的高精度,將大大提高立方體衛星利用SGP4模型定軌的精度。

3修正TLE與仿真分析

依據上述對多普勒頻移測量特性以及SGP4模型預報軌道的誤差特性的分析,不難看出多普勒頻移是一種能高效提高SGP4模型定軌精度的方法,而且成本低廉,其唯一需要的測量工具是一臺實驗室通用儀器——頻譜分析儀。

大氣阻力項系數B*的誤差是造成速度方向偏差的主要因素,而在軌道六根數中描述速度方向偏差的則是緯度幅角誤差?，F提出兩種利用多普勒頻移測量提高定軌精度的方法如下。

3.1修正大氣阻力系數

(2)

(3)

由于距離變化率與狀態量B*之間是非線性的關系,采用解析方法計算導數矩陣是非常困難的,可以使用有限差分的方法來計算導數矩陣，即

(4)

式中,ΔB*為小量,ΔB*大小的正確選擇是保證有限差分法計算精度的關鍵所在。設定一系列大小有序的ΔB*值來計算Ai的大小,從而得到SGP4模型對變量ΔB*的線性范圍,部分結果如圖4所示。

圖4　偏導數Ai隨小量ΔB*的變化曲線

圖4顯示當ΔB*選為10-5時導數Ai趨于線性,因此設定ΔB*為10-5。由此得到B*修正量的公式為

(5)

算法收斂的條件是殘差的均方根值小于某一閾值或是不再變化。殘差的均方根計算公式為

(6)

3.2修正緯度幅角

利用已知TLE的預報軌道信息可以直接擬合更新得到衛星過境地面站時刻的平均軌道根數,由于擬合過程不存在模型誤差的差異,更新后TLE的預報軌道與更新前TLE的預報軌道是完全一致的,但衛星過境時刻的軌道預報誤差來源卻發生了變化。更新前的軌道預報誤差主要是由于大氣長期攝動作用的結果,所以TLE的誤差來源主要是大氣阻力項系數誤差;而更新后TLE的歷元時間為衛星過境時刻,基本消除了大氣攝動對軌道預報誤差的影響,TLE的誤差來源主要是是緯度幅角誤差。利用多普勒頻移測量修正緯度幅角即可提高軌道預報精度。更新后的TLE為

(7)

緯度幅角是近地點幅角與真近點角相加得到

(8)

TLE中表征緯度幅角的變量是ωo和Mo,同樣利用最小二乘估計算法對這兩個參數進行修正,此時狀態向量為

(9)

其余計算過程與第3.1節類似。

3.3仿真分析

Shakespeare wrote comedies（喜?。﹚ith happy endings（美滿的結局），like A Midsummer Night’s Dream（《仲夏夜之夢》）.He wrote tragedies（悲?。﹚ith sad endings，like Romeo and Juliet（《羅密歐與朱麗葉》）.He wrote about 38 plays，maybe more.

利用Matlab軟件結合STK對上述兩種修正方法進行仿真驗證。仿真使用的真實軌道為第3小節使用的標稱軌道,仿真時間選為兩行根數歷元時刻5d后的某次過境時刻,由圖2可見速度方向偏差大約在20km。初始的TLE與擬合更新后的TLE分別標記為TLE0和TLE1,具體形式如表1所示。

表1　仿真使用的兩行根數

仿真的實際距離變化率測量值由真實軌道計算并加上測量白噪聲得到,而估計測量值由SGP4預報軌道計算而來。為獲得較高的擬合精度,仿真參數參考真實多普勒頻移測量系統的測量性能,即仿真步長設置為2 s,仿真時間為7.5 min。實際測量值與估計測量值曲線如圖5所示。首先使用實際測量值與仿真測量值的殘差來修正大氣阻力項系數B*,算法迭代4次后收斂到0.000 177 75。修正后的TLE的預報軌道誤差如圖6所示。然后仿真分析修正緯度幅角的方法。修正后ωo和Mo分別為179.115°和311.755°,修正后的TLE的預報軌道誤差如圖7所示。

圖5　實際測量值與估計測量值(仿真)

圖6　修正B*后的SGP4軌道預報精度(仿真)

由圖6可見,修正B*參數后衛星過境時刻的軌道預報精度由20 km提高到2 km左右,預報至第10 d的精度也達到4 km。圖7中修正緯度幅角后衛星過境時刻的精度也提升至2 km,但預報10 d(從修正前兩行根數歷元時刻起計算)的精度仍然在25 km左右。由此可見利用多普勒頻移測量數據修正兩行根數的方法能及時修正SGP4模型隨時間累積較大的速度方向誤差分量,能大大提高SGP4預報軌道的精度;兩種修正方法在短期內對于精度的提高相差不大,但對于長期精度來說修正B*的方法明顯優于修正緯度幅角的方法。

圖7　修正緯度幅角后的SGP4軌道預報精度(仿真)

4實際多普勒頻移數據的測量

4.1自動數據采集系統

使用UHF/VHF頻段地面站與頻譜分析儀來測量在軌微小衛星的多普勒頻移現象,系統硬件架構如圖8所示。圖8中GPS接收機用于給工控計算機授時以保證時間系統的統一,頻譜儀通過LAN口與工控計算機進行通信,實現遠程控制與自動數據采集。上位機采用LabView軟件對頻譜儀捕獲的衛星信號進行分析存儲。

由于大部分衛星信號在時間上不是連續發送的,導致采集到的數據會有大量背景噪聲存在,自動數據采集系統程序中通過以下3種途徑有效去除背景噪聲數據,設定的采樣周期為1 s。

(1) 提前采集背景噪聲信號強度的最大值,并加上2 dBm余量,測量時以此為閾值剔除任何小于此閾值的信號;

(3) 采用曲線擬合的方法剔除剩余少量噪聲信號。

圖8　多普勒頻移測量系統硬件架構

自動數據采集系統工作過程如下:

(1) 在衛星過境前10分鐘內錄制帶寬為10 kHz(能完全覆蓋衛星過境時間內的中心頻率漂移)大小的背景噪聲信號,并得出噪聲信號強度的最大值;

(2) 當地面站指向衛星仰角大于5°時,開始實時跟蹤衛星信號,當信號強度大于噪聲信號最大值+2 dBm時,則認為此信號有效并記錄下來;

(3) 在得到足夠數據點后快速利用最小二乘擬合算法計算出B*的大小并及時以上行指令的方式上行至衛星。

上位機編寫的程序界面如圖9所示。

圖9　多普勒頻移自動數據采集系統界面

4.2發射頻率常值漂移的補償

(10)

(11)

(12)

這樣得到實際發射頻率的估計值為

(13)

4.3對QB50 P1衛星實測數據的分析

QB50P1立方體衛星是2014年6月發射入軌的QB50項目先導星。本文對其多普勒頻移信號連續觀測了數周,由于缺乏所觀測衛星的實時在軌位置信息,無法對所提出的改進定軌方法的誤差大小進行直觀比較,故在下文中使用多普勒頻移測量值這一間接量對定軌精度進行間接分析,如修正后的兩行根數相對原始兩行根數預報的多普勒頻移計算值更接近真實多普勒頻移測量值,則認為修正后的兩行根數提高了軌道預報精度?，F將一組典型的測量與分析的結果展示如下。

2015年1月24日發布的TLE標記為TLE0,1月29日觀測到的多普勒頻移測量數據轉換為距離變化率后如圖10所示,圖10中顯示采用自動數據采集系統測量得到的多普勒頻移曲線較為平滑。利用觀測到的多普勒頻移測量值分別應用修正B*的方法與修正緯度幅角的方法對兩行根數進行更新,更新后的兩行根數分別標記為TLE1與TLE2,表2所示為3組TLE的具體數值。由于NORAD發布TLE的周期為1～3d,為對修正后兩行根數的短期和長期預報精度進行評估,分別選取了1月30日和2月2日的觀測數據進行分析。圖11和圖12所示的分別為1月30日與2月2日的觀測數據,圖中黑色圓點為測量到的實際距離變化率,紅色曲線為原始兩行根數TLE0計算出的估計距離變化率,紫色和綠色曲線分別為B*和緯度幅角修正后的TLE1和TLE2計算出的估計距離變化率。

表2　實際測量使用的兩行根數

圖10　多普勒頻移1月29日測量數據

圖11　多普勒頻移1月30日測量數據

觀察圖11可知,更新后的TLE1和TLE2都比TLE0更接近實際多普勒頻移測量值,表明兩種修正TLE的方法都能使SGP4模型短期軌道預報精度得到大幅提升;圖12顯示TLE2在估計2月2日的多普勒頻移曲線時明顯沒有TLE1精確,表明修正緯度幅角的方法用于長期軌道預報會帶來較大誤差。

圖12　多普勒頻移2月2日測量數據

5結 論

本文通過對多普勒頻移這類測量量本質屬性的探索以及對SGP4模型預報誤差分布的分析,總結出多普勒頻移測量是一種能高效提高SGP4模型預報精度的方式。結合兩行根數的誤差來源提出了修正B*以及修正緯度幅角兩種方法。通過仿真以及對實際觀測數據的分析驗證了這兩種方法的可行性。在精度方面,兩種方法在短期預報時都能快速提高SGP4模型預報精度,但在長期預報時修正B*的方法明顯優于修正緯度幅角的方法。

參考文獻：

[1] Vallado D A, Crawford P, Hujsak R, et al. Revisiting spacetrack report #3[C]∥Proc.oftheAIAA/AASAstrodynamicsSpecialistConference, 2006.

[2] Han L, Chen L, Zhou B Z. Precision analysis of SGP4/SDP4 implemented in space debris orbit prediction[J].ChineseSpaceScienceandTechnology, 2004, 24(4): 65-71. (韓蕾,陳磊,周伯昭. SGP4/SDP4模型用于空間碎片軌道預測的精度分析[J].中國空間科學技術,2004,24(4):65-71.)

[3] Vallado D A, Crawford P. SGP4 orbit determination[C]∥Proc.oftheAIAA/AASAstrodynamicsSpecialistConferenceandExhibit, AIAA-2008-6770.

[4] Zhang T, Chen R L, Chen H W, et al. Conversion of the non-cooperative space object using bearing-only measurements[J].ActaPhotonicaSinica, 2009, 38(12): 3230-3234. (張濤,陳榮利,程洪瑋, 等. 空間目標TLE天基光學混合狀態SPKF擬合方法[J].光子學報,2009,38(12):3230-3234.)

[5] Baranov I V. SGP4 propagation program design and validation[D]. Saint-Hubert: University of Waterloo, 2009.

[6] Montenbruck O, Gill E. Real-time estimation of SGP4 orbital elements from GPS navigation[C]∥Proc.oftheInternationalSymposiumSpaceFlightDynamics, 2000.

[7] Greene M R, Zee R E. Increasing the accuracy of orbital position information from NORAD SGP4 using intermittent GPS readings[C]∥Proc.ofthe23rdAnnualAIAA/USUConferenceonSmallSatellites, SSC09-X-7.

[8] Zhu H X, Peng B B, Ju T. Determination of two-line elements with numerical method[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity,2009,34(9):1113-1115.(朱洪欣,彭碧波,巨濤. 利用數值法獲取兩行根數[J].武漢大學學報(信息科學版),2009,34(9):1113-1115.)

[9] Andersen D E. Computing NORAD mean orbital elements from a state vector[D]. Ohio: Air Force Institute of Technology, 1994.

[10] Sakamoto Y, Kasahara Y, Yasaka T. Low-cost orbit determination system for a CubeSat[C]∥Proc.oftheInternationalCubeSatSymposium, 2003.

[11] Hsu C, Koh D, Rahman O A, et al. Low-cost rapid TLE updating method for nano-satellites using Doppler signature[C]∥Proc.oftheAIAASpaceConference&Exposition, 2011.

[12] Weeks C J, Buschelman A, Sabillo R. Direct determination of a spacecraft orbit from the Doppler data signature[J].TheJournaloftheAstronauticalSciences, 1999, 47(3/4): 295-308 .

[13] Flohrer T, Krag H, Klinkrad H. Assessment and categorization of TLE orbit errors for the US SSN catalogue[C]∥Proc.ofthe5thEuropeanConferenceonSpaceDebris, 2009.

[14] Kelso T S. Validation of SGP4 and IS-GPS-200D against GPS precision ephemerides[C]∥Proc.ofthe17thAAS/AIAASpaceFlightMechanicsConference, 2007.

[15] Oltrogge D L, Ramrath J. Parametric characterization of SGP4 theory and TLE positional accuracy[C]∥Proc.ofthe22ndAnnualAIAA/USUConferenceonSmallSatellites, SSC08-X-13.

[16] Gangestad J W, Hardy B S, Hinkley D A. Operations, orbit determination, and formation control of the aerocube-4 CubeSats[C]∥Proc.ofthe27thAnnualAIAA/USUConferenceonSmallSatellites, SSC 13-X-4.

[17] Capderou M.Satellitesorbitsandmissions[M]. France: Springer-Verlag, 2005.

[18] Vallado D A.Fundamentalsofastrodynamicsandapplications[M]. Hawthorne, CA : Springer/Microcosm, 2007.

[19] Lam Q M, Junker D, Anhalt D, et al. Analysis of an extended Kalman filter based orbit determination system[C]∥Proc.oftheAIAAGuidance,Navigation,andControlConference, 2010.

[20] Levit C, Marshall W. Improved orbit predictions using two-line elements[J].AdvancesinSpaceResearch, 2011, 62(7): 1107-1115.

陸正亮(1990-),男,博士研究生,主要研究方向為微小衛星軌道姿態測量與控制。

E-mail:112010115@njust.edu.cn

張翔(1973-),男,副教授,博士,主要研究方向為微小衛星總體技術。

E-mail:zhxiang2002@126.com

劉洋(1991-),男,碩士研究生,主要研究方向為微小衛星姿態傳感器設計、測試與標定。

E-mail:513101001254@njust.edu.cn

廖文和(1965-),男,教授,博士,主要研究方向為微小衛星總體應用技術。

E-mail:cnwho@mail.njust.edu.cn

Improved orbit determination based on SGP4 model and Doppler shifts

LU Zheng-liang, ZHANG Xiang, LIU Yang, LIAO Wen-he

(SchoolofMechanicalEngineering,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,China)

Abstract:CubeSats always choose two-line element (TLE) in conjunction with the SGP4 model to determine the orbit, or as a backup method. To settle the problem that the propagation error accumulates over time, the source and distribution of the errors are analyzed and two improved approaches are proposed by using Doppler shifts. One is to directly correct the drag coefficient and results show a significantly decrease in in-track orientation error. The position difference is improved to 4 km in 10 days. The other approach is to update the TLE epoch time to the pass time firstly, and then correct the argument of the latitude. Simulation results indicate that the position error can be almost removed in a short time but the long time performance is worse than the first method. The conclusion is also verified by actual measurements from the in-orbit CubeSats.

Keywords:CubeSat; two-line element; SGP4 model; Doppler shift

收稿日期：2015-03-03；修回日期：2015-10-23；網絡優先出版日期：2016-01-12。

基金項目：歐盟第七科研框架計劃QB50項目(284427)；教育部科技發展中心博士點基金(20133219120030)；江蘇省高校優勢學科建設項目資助課題

中圖分類號：V 448.232

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.06.22

作者簡介：

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160112.1741.012.html