基于直覺模糊推理的直覺模糊時間序列模型

王亞男, 雷英杰, 王　毅, 范曉詩

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

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基于直覺模糊推理的直覺模糊時間序列模型

王亞男, 雷英杰, 王毅, 范曉詩

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

摘要：由于受到模糊集理論的限制,模糊時間序列預測理論在不確定數據集的描述上有失客觀,針對這種局限性,提出一種直覺模糊時間序列預測模型。應用模糊聚類算法實現論域的非等分劃分;針對直覺模糊時間序列的數據特性,提出一種更具客觀性的隸屬度和非隸屬度函數的確定方法;提出一種基于直覺模糊近似推理的模型預測規則。在Alabama大學入學人數和中國社會消費品零售總額數據集兩組數據集上分別與典型方法進行對比實驗,結果表明該模型有效提高了預測精度,證明了模型的有效性和優越性。

關鍵詞：直覺模糊時間序列; 模糊聚類; 隸屬度函數; 非隸屬度函數; 直覺模糊推理

0引言

時間序列預測無論在經濟領域(如國民收入、股票指數),社會領域(如客運流量、學校入學人數)還是自然領域(如溫度、降水量)都有著廣泛而重要的應用。傳統的時間序列預測方法主要是以ARIMA模型為代表的基于統計分析的方法,這類方法存在兩大弊端:第一,需要大量歷史數據且歷史數據需滿足諸多限制;第二,不能預測歷史數據為語言值或歷史數據不完整、不準確的問題。因此,文獻[1]利用模糊集能夠描述和處理模糊信息的優勢,借助模糊邏輯理論,首次提出了模糊時間序列(fuzzy time series, FTS)的概念,并在Alabama大學入學人數數據集上進行了實驗驗證。

模糊時間序列預測的基本思想是用模糊集表示歷史數據,用模糊關系表示序列的動態變化趨勢,在歷史數據不精確或不完整的情況下,利用模糊推理得到理想的預測結果。由于其在不確定性數據處理上的優勢,模糊時間序列理論在面世的短短20年間就受到了廣泛關注,并取得了大量有價值的研究成果:文獻[2]針對歷史數據及其概率均為模糊集的情況,建立了一個模糊隨機模糊時間序列模型;文獻[3]首次系統地討論了如何確定論域劃分的有效長度,提出基于分布和基于平均的兩種劃分方法;文獻[4-5]將信息粒理論引入論域劃分,提出一種有效的非等分劃分方法;文獻[6]考慮了模糊關系出現的頻率,采用與文獻[2]不同的加權0-1矩陣表示模糊邏輯關系;文獻[7-8]提出幾個高階模型分別運用優化算法、人工神經網絡等對模型進行改進;文獻[9]用模糊關系的重要性取代出現頻率作為權重的依據,并據此提出一種新的去模糊化方法;文獻[10]將模糊關系分為遞增、不變和遞減3類,根據各自概率進行多元高階模糊時間序列的預測。FTS模型中對歷史數據模糊化時采用了傳統的Zadeh模糊集概念,即只用一個屬性——隸屬度來度量語言值的模糊性質,既不夠全面也不夠客觀,極大地影響了FTS模型處理不確定信息的能力,限制了模型預測精度的提升。

考慮到直覺模糊集(intuitionistic fuzzy sets, IFS)用隸屬度、非隸屬度和直覺指數3個指標來描述信息的模糊性,較傳統模糊集更加客觀和細膩,文獻[11]首次將直覺模糊集理論融入時間序列分析,建立了一個直覺模糊推理系統進行數據的預測,但其本質還是基于兩個隸屬度模糊推理系統和非隸屬度模糊推理系統的加權合成。文獻[12]在FTS模型的基礎上初步建立了直覺模糊時間序列(intuitionistic fuzzy time series, IFTS)預測模型,但其直覺模糊隸屬度函數和非隸屬函數的構造方法存在一定的缺陷,導致隸屬度和非隸屬度之和的最大值恒為0.8。文獻[13-14]利用直覺模糊C均值聚類方法實現論域的自動非等分劃分,并且在預測步驟中引入回溯機制和矢量預測技術有效提高了預測精度,但如何有效地直覺模糊化歷史數據,使其符合直覺模糊C均值的應用條件,成為模型實現有效預測的一大限制。直覺模糊集理論的引入極大地擴展了時間序列對不確定、不完備等模糊信息的處理能力,為模糊時間序列研究開辟了新的研究方向。然而,當前IFTS理論的研究僅嶄露頭角,國內外相關學術成果很少,且僅有的理論研究缺乏標準化的定義和模型,理論深度不夠,預測精度有待進一步提高。

鑒于以上問題,本文從論域劃分、直覺模糊集建立和預測規則3個方面入手對模型進行優化改進,建立了一個基于直覺模糊推理的IFTS模型。通過在通用數據集上的實例計算,驗證所建模型有效克服了FTS模型的缺陷,取得了較好的預測結果。

1基本概念

定義 1設X是一給定論域,則X上的一個直覺模糊集A為

(1)

式中,μA(x):X→[0,1]和γA(x):X→[0,1]分別代表A的隸屬函數和非隸屬函數,且對于A上的所有x∈X,0≤μA(x)+γA(x)≤1成立。稱πA(x)=1-μA(x)-γA(x)為x的直覺指數,它是x對A的猶豫程度的一種測度。

定義 2設X和Y是普通有限非空集合或論域。定義在直積空間X×Y上的直覺模糊子集R為從X到Y之間的二元直覺模糊關系。記為

(2)

式中,μR(x,y):X×Y→[0,1]和γR(x,y):X×Y→[0,1]滿足條件0≤μR(x,y)+γR(x,y)≤1, ?(x,y)∈X×Y。

定義 3設給定論域X(t)(t=1,2,…)為R的一個子集,fi(t)=〈μi(X(t)),γi(X(t))〉(i=1,2,…)為定義在X(t)上的直覺模糊集,若F(t)={f1(t),f2(t),…},則稱F(t)為定義在X(t)上的直覺模糊時間序列。

這里,F(t)表示語言變量,fi(t)表示可能的語言變量值,例如若F(t)為語言變量“年齡”,則fi(t)可以是“較老”“年老”“較年輕”“年輕”“年幼”等。因為F(t)的取值隨時間t而變化,故F(t)為t的函數,且論域也隨t而變化,所以常將X(t)看作變化的論域。

定義 4設R(t,t-1)為從F(t-1)到F(t)之間的直覺模糊關系,且F(t)是由F(t-1)通過直覺模糊關系R(t,t-1)推導得到的,即

(3)

式中,“°”表示直覺模糊合成運算,則稱R(t,t-1)為F(t)上的一階直覺模糊邏輯關系。

定義 5如果對于任意的t,R(t,t-1)均與t無關,即

(4)

則稱F(t)為時不變直覺模糊時間序列;否則,稱其為時變直覺模糊時間序列。

本文研究對象為一階時不變直覺模糊時間序列。

2基于直覺模糊推理的IFTS模型

與FTS類似,IFTS預測模型可以概括為以下4個步驟:

步驟 1根據歷史數據確定論域大小,并對論域進行劃分;

步驟 2建立直覺模糊集,并直覺模糊化歷史數據;

步驟 3建立預測規則,求得預測值;

步驟 4預測結果去模糊化輸出。

接下來按照步驟1～步驟4建立本文模型。

2.1基于模糊聚類的非等分論域劃分

首先,定義問題的討論范圍,即論域U=[xmin-ε1,xmax+ε2],其中xmin和xmax分別表示歷史數據的最小值和最大值;ε1和ε2是兩個合適的正數,為了討論和計算上的方便使得xmin和xmax分別向下、向上取合適的整數。

然后,劃分論域。論域劃分的理論和規律在FTS模型和IFTS模型上是通用的,文獻[3,6]的研究已表明,在FTS模型中使用非等分劃分方法會產生比等分方法更好的預測結果,近年來很多學者采用遺傳算法、粒子群算法和FCM等算法來實現非等分的論域劃分,這類算法的每個子區間具有明顯實際意義,更符合人們的理解習慣。但是,這類算法通常在大數據條件下才能充分發揮其優良性能,這又與FTS和IFTS模型不需要大量歷史數據的優勢相背離;此外,預測方法在實際中也多用于數據量不大的經濟、環境等問題。因此,本文采取了較遺傳算法等優化算法更簡捷更具實時性的基于最大生成樹的直接模糊聚類算法[5]。

設X={x1,x2,…,xn}是待分類對象的全體,其中xi=(xi1,xi2,…,xim),i=1,2,…,n,即xi有m維特征。所謂最大樹法就是以被分類對象為頂點,相似矩陣R的元素rij為邊的權重而得到的一棵最大樹,然后取定閾值λ∈[0,1],去掉權重小于λ的邊,得到一個不連通的圖,其中各連通分支的頂點便構成了一個在λ水平上的分類。對于不同的λ可以得到不同的分類,從而得到一組動態分類,因此算法的最后還需確定一個最佳閾值λ從而對應一個最優分類,確定最佳閾值的方法有F統計量方法等。文獻[15]對算法具體步驟已有詳細介紹,本文不再贅述。

聚類得到的r類數據可記為

記

(5)

則論域U被劃分成r個不等長的區間:

2.2直覺模糊集的建立

對應于論域U的r個區間,定義r個代表語言變量的直覺模糊集

(6)

確定Ai的隸屬度和非隸屬度函數是該步驟的關鍵所在。由于直覺指數的影響,確定直覺模糊集的隸屬度和非隸屬度函數的方法呈現極大的復雜性。已有方法如模糊統計法、三分法、二元對比排序法等多將直覺指數固定為一個常數[16],有失客觀性,因此本節針對IFTS模型實際應用情況和劃分區間的特性,給出以下方法。

首先,通過客觀分析,給出以下兩條規則:

(2) 當x位于區間邊界即x=di時,直覺指數取最大值,隸屬度和非隸屬度相等,根據具體情況令πAi(di)=α, 0≤α≤1,則

根據上述規則,隸屬度函數采用典型Gaussian函數

(7)

非隸屬度函數由Gaussian函數變形得到

(8)

則直覺指數函數為

(9)

式中,i=1,2,…,r,cμi、σμi和cγi、σγi為函數的參數,是確定隸屬度和非隸屬函數的關鍵,依然由上述規則計算得到

(10)

(11)

(12)

定義 6A為有限論域X上的直覺模糊集,如果A滿足:

(1) 0≤μA(x)≤1,0≤γA(x)≤1;

(2) 0≤πA≤1,0≤μA(x)+γA(x)≤1;

(3) μA(x)+γA(x)+πA(x)=1。

則稱直覺模糊集A為正規直覺模糊集。

根據該定義,可得以下定理:

定理 1本節提出的隸屬度、非隸屬度和直覺指數函數的確定方法是規范的,即Ai是正規直覺模糊集。

進而得0≤πAi(x)=1-μAi(x)-γAi(x)≤1。

(3) 由直覺指數函數的確定方法,明顯可得μAi(x)+γAi(x)+πAi(x)=1。

證畢

定理1從理論上證明本文隸屬度函數和非隸屬度函數的確定方法是正確、規范、合理的。

2.3基于直覺模糊推理的預測規則

2.3.1直覺模糊多重取式推理

設Ai(i=1,2,…,n)和A*是U上的直覺模糊集,Bi和B*是V上的直覺模糊集,基于直覺模糊關系的廣義多重取式推理規則陳述的是:給定n+1個直覺模糊命題“x是A*”和 “如果x是Ai,則y是Bi”,可推出一個新的直覺模糊命題 “y是B*”,推理模型[17]為

規則:IF x is A1THENy is B1IF x is A2THENy is B2?IF x is AnTHENy is Bn輸入:IF x is A*輸出:y is B*

對于每一條規則可以得到一個輸入輸出關系Ri,在此使用Mamdani蘊涵算子Rc。運用不同的算子,可得到不同的μR與γR,所以計算結果的數值不唯一,而推理輸出的結果基本是一致的。在直覺模糊推理中,Rc性能較好且便于計算,因此選取Rc進行推理計算[16]。

(13)

式中

(14)

(15)

從而由直覺模糊規則的合成運算可得總的直覺模糊關系R為

(16)

式中

(17)

(18)

推理輸出為

(19)

式中,直覺模糊合成運算“°”采用取大“∨”、取小“∧”運算,即

(20)

(21)

2.3.2IFTS模型的預測規則

受直覺模糊多重取式推理的啟發,將IFTS中的序列數據與代表語言變量的直覺模糊集Ai(i=1,2,…,r)的地位互換,即將序列數據看作直覺模糊集,記為Fj(j=1,2,…,t),將Ai看作集合的元素,μAi(x)與γAi(x)看作元素Ai對集合Fj的隸屬度和非隸屬度,則直覺模糊集Fj可表示為

(22)

式中

(23)

(24)

則對Fj和Ai運用多重取式推理,可得推理模型為

規則:IF x is F1THENy is F2IF x is F2THENy is F3?IF x is FjTHENy is Fj+1? IF x is Ft-1THENy is Ft輸入:IF x is Ft輸出:y is F*t+1

推理輸出為

(25)

式中

(26)

(27)

則

(28)

(29)

2.4解模糊算法

直覺模糊集的解模糊算法通常有重心法、加權平均法和最大真值法等,由于重心法具有比較平滑的輸出控制,及對應于輸入信號的微小變化輸出也會發生一定的變化,且這種變化明顯比較平滑,因此本節采用重心法對推理結果解模糊化[17]。重心法的具體計算方法是取隸屬度函數和非隸屬度函數合成的真值函數曲線與橫坐標圍成的平面圖像面積的重心為解模糊的輸出值,即

(30)

式中,U為輸出論域；F為定義在論域U上的直覺模糊子集。

3模型應用

3.1Alabama大學數據集實驗

Alabama大學從1971-1992年的招生人數數據是Song等首次提出FTS模型是使用的一組數據,此后研究FTS模型的學者常將該數據集作為模型的測試集。應用本文的IFTS模型在該數據集上進行實驗,具體步驟如下:

步驟 1定義論域并劃分。

以1971-1991年的招生人數為歷史數據,預測1992年的招生人數,歷史數據中xmin=13 055,xmax=19 337,通常定義論域U=[13 000,20 000]。

按照第2.1節方法將論域U劃分為9個區間,為便于計算將所有數據均縮小1 000倍。

u1=[13.000,13.309], u2=[13.309,14.282]

u3=[14.282,14.921], u4=[14.921,16.186]

u5=[16.186,16.598], u6=[16.598,17.535]

u7=[17.535,18.560], u8=[18.560,19.149]

u9=[19.149,20.000]

步驟 2建立直覺模糊集,直覺模糊化歷史數據。

對應論域U的9個區間建立9個直覺模糊集A1,A2,…,A9,它們的現實意義可以理解為:“很少”“少”“較少”“微少”“正?！薄拔⒍唷薄拜^多”“多”“很多”。接下來按照第2.3節的方法確定個直覺模糊集的隸屬度和非隸屬函數,令α=0.4,各參數的值如表1所示。

表1　隸屬度和非隸屬度函數參數值

各直覺模糊集的隸屬度函數、非隸屬度函數和直覺指數如圖1～圖3所示。

圖1　各直覺模糊集的隸屬度函數

圖2　各直覺模糊集的非隸屬度函數

進而得到歷史數據對各直覺模糊集的隸屬度、非隸屬度和直覺指數的值。

圖3　各直覺模糊集的直覺指數函數

步驟 3建立預測規則,求得預測值。

根據第2.3.2節的推理方法,將1971至1991年的21年招生數據分別記為F1,F2,…,F21,建立推理模型

規則:IF x is F1THENy is F2IF x is F2THENy is F3?IF x is F20THENy is F21輸入:IF x is F21輸出:y is F*22

計算得

〈0.687,0.207〉/A8+〈0.039,0.616〉/A9

步驟 4預測結果去模糊化輸出。

按式(30)的方法計算去模糊化結果為

C0=18.854 5≈18.855

(31)

即1992年招生人數的預測值為18 855。

為檢驗模型性能,分別采用文獻[1]、文獻[5]、文獻[12]中的模型及本文模型對該數據集進行預測,所得結果如表2所示。其中文獻[12]是IFTS預測模型,文獻[1]和文獻[5]是FTS預測模型,并且在文獻[5]中分別給出了將論域劃分為7、17、22個區間的預測結果,考慮到歷史數據只有22個,將論域劃分為17和22個區間的情況并不符合實際應用需求,因此本文只采用其7區間劃分的方法。

表2　各模型對Alabama大學入學人數的預測結果

續表2

根據均方誤差(root mean square error, RMSE)和平均預測誤差(average forecasting error, AFE)兩項指標將本文的預測模型同其他3種模型進行比較,指標的計算公式如下,計算結果如表3所示。

(32)

(33)

3.2社會消費品零售總額數據集實驗

社會消費品零售總額數據集是由中國國家統計局提供的以月為單位對中國市場的消費品零售總額進行的統計,本文只選取從1991年1月至1994年1月間的37個數據構成實驗數據集,其中1994年1月的值120.85作為待預測值,之前36個數據作為歷史數據值,如表4所示。

在該數據集上應用文獻[1]、文獻[5]、文獻[12]中的模型及本文模型進行預測,預測值及實際值如圖4所示。各模型預測性能如表5所示。

圖4　各模型對社會消費品零售總額數據集的預測結果

序號日期總額(×10億元)11991.171.4421991.270.9931991.364.7541991.465.3951991.563.9061991.664.6571991.762.5081991.863.5391991.969.57101991.1070.78111991.1173.72121991.1283.35131992.180.67141992.281.32151992.377.36161992.471.98171992.573.00181992.675.77191992.774.08序號日期總額(×10億元)201992.875.39211992.982.98221992.1085.02231992.1188.33241992.12104.58251993.1100.21261993.291.54271993.396.64281993.496.49291993.597.66301993.6102.08311993.797.84321993.897.45331993.9103.91341993.10106.70351993.11111.91361993.12143.78371994.1120.85

表5　各模型對社會消費品零售總額數據集的預測性能

4結束語

本文針對模糊時間序列預測方法的不足,利用直覺模糊集在處理不確定數據集上的優勢,建立了一個新的直覺模糊時間序列預測模型。采用基于最大支撐樹的模糊聚類算法實現論域的非等分劃分,使得論域劃分這一基礎步驟更具實時性和簡捷性;針對劃分數據的實際特性,給出一種更客觀的直覺模糊集隸屬度和非隸屬的確定方法;采用直覺模糊近似推理建立序列數據的預測規則,更有效的預測不確定數據的模糊變化特征。通過在兩類數據集上與經典算法的對比試驗表明模型具有較好的預測性能。如何建立多元、高階直覺模糊時間序列,進一步提高預測性能,將是下一步研究的重點。

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王亞男(1988-),女,博士研究生,主要研究方向為網絡信息安全。

E-mail:wyn1988814@163.com

雷英杰(1956-),男,教授,博士研究生導師,主要研究方向為人工智能、網絡信息安全。

E-mail:leiyjie@163.com

王毅(1979-),男,講師,博士后,主要研究方向為智能信息處理。

E-mail:wangyi.kgd@gmail.com

范曉詩(1988-),男,博士研究生,主要研究方向為網絡信息安全。

E-mail:fan_xs@126.com

Intuitionistic fuzzy time series model based on intuitionistic fuzzy reasoning

WANG Ya-nan, LEI Ying-jie, WANG Yi, FAN Xiao-shi

(AirandMissileDefenseCollege,AirForceEngineeringUniversity,Xi’an710051,China)

Abstract:The objectivity of the fuzzy time series (FTS) forecasting theory in description of uncertain data sets is limited by the fuzzy sets theory. To break this limitation, an intuitionistic FTS (IFTS) forecasting model is built. Firstly, the fuzzy clustering algorithm is used to get unequal domain-dividing intervals. And then a more objective construction method of membership and non-membership functions of intuitionistic fuzzy sets (IFS) is proposed. Thirdly, forecasting rules based on intuitionistic fuzzy approximate reasoning are given. Finally, experiments on datasets of enrollments of the university of Alabama and the total retail sales of social consumer goods of China are carried out which show that the new model improves the prediction accuracy with its validity and superiority.

Keywords:intuitionistic fuzzy time series (IFTS); fuzzy cluster; membership; non-membership; intuitionistic fuzzy reasoning

收稿日期：2015-06-04；修回日期：2015-09-02；網絡優先出版日期：2015-12-23。

基金項目：國家自然科學基金(61402517)；陜西省自然科學基金(2013JQ8035)資助課題

中圖分類號：TP 393.08

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.06.18

作者簡介：

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20151223.1030.016.html