基于Liu混沌系統生成的多翅膀蝴蝶吸引子

高秉建

(武漢理工大學理學院，武漢 430070)

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基于Liu混沌系統生成的多翅膀蝴蝶吸引子

高秉建

(武漢理工大學理學院，武漢 430070)

摘要:提出了基于Liu混沌系統生成多翅膀蝴蝶吸引子的新方法。主要的設計思想是增加系統第二類鞍焦點的數目。用多分段二次函數作代換，設計了改進的混沌系統，獲得多個第二類鞍焦點，從而生成多翅膀蝴蝶吸引子。理論分析表明每一個第二類平衡點與蝴蝶吸引子的翅膀相對應。數值仿真證實提出的方法的可行性和有效性。

關鍵詞：多翅膀蝴蝶吸引子；Lorenz系統族；Liu混沌系統；多分段二次函數

0引言

自從1963年Lorenz[1]發現了第一個混沌系統以來，混沌在許多領域得到了深入的研究,包括數學、物理、生物科學和工程領域。1999年，Chen和Ueta[2]發現了Lorenz系統的對偶系統；2002年Lü和Chen[3]發現了Lorenz系統與Chen系統之間的臨界系統，隨后在Lorenz系統族的統一框架下一些類似系統相繼出現，如2004年Liu等[4]提出的新混沌系統，并隨后成功實現電路設計[5-6]。一方面，在1984年，Chua等[7-8]提出了第一個混沌電路，建立了混沌理論與非線性電路間的聯系。作為Chua雙卷吸引子的自然推廣，Suykens等[9-11]設計了一維多渦卷混沌吸引子并實現了模擬電路。另一方面，在1993年，Miranda和Stone[12]首次提出了Proto-Lorenz系統，可觀察到輻射狀的多渦卷吸引子。2006年，Yu等[13]進一步推廣到Lorenz系統族產生多渦卷吸引子，隨后Lü和Chen[14]總結了改進的Lorenz系統族獲得多渦卷吸引子的理論、方法和應用。近年來，基于混沌系統產生多翅膀蝴蝶吸引子成為混沌研究新的熱點。2008年，Yu等[15]基于簡約的Lorenz系統，用鋸齒波函數作代換，生成了多翅膀蝴蝶吸引子。2010年，基于類Lorenz系統的改進設計出多翅膀蝴蝶吸引子[16]。這讓人們想到，與Lorenz系統有不同特性的Liu系統，是否也能生成多翅膀蝴蝶吸引子？答案是肯定的。

本文提出了基于Liu系統生成多翅膀吸引子的新方法，用多分段二次函數作代換，設計了改進的Liu系統。主要的設計思想是增加系統第二類鞍焦點，使它們對應的翅膀沿某一坐標軸水平方向延伸。理論分析表明每一個第二類鞍焦點與蝴蝶吸引子的翅膀相對應。數值仿真證實了提出的方法的可行性和有效性。

1Liu混沌系統

Liu混沌系統的狀態方程:

(1)

Liu混沌系統的特性:1)系統有兩個第2類平衡點,對應于吸引子的雙翅膀結構。2)在變換(x,y,z)→(-x,-y,z)下，系統都是不變的，因而吸引子是對稱的。3)平衡點的定位與系統的平方項或交叉項緊密相關，由平衡點的平方根項反映出來。4)非線性動力學特性由狀態變量的平方項或交叉項控制。

2改進的Liu混沌系統

基于Liu混沌系統的特性，用多分段函數替代系統的平方項或交叉項，很可能改變系統平衡點數目和定位。于是構造多分段函數

(2)其中，sgn(x)為標準符號函數，N為正整數,A0,Ai為波幅，Ei為分段點，它們滿足Ai=f(Ei-0)-f(Ei+0),i=1,2,…,N,寬度wi=Ei+1-Ei，斜率ki=A0(Ei+Ei+1),顯然，每個分段的特性，包括斜率和寬度，很容易由A0，Ai和Ei的值調節。若參數取值N=4,A0=100,A1=10,A2=12,A3=16.67,A4=18.75,E1=0.3,E2=0.45,W3=0.6,E4=0.75,則可構造9分段非線性函數f(x)，如圖2所示。

用(2)中的非線性函數f(x)替代Liu混沌系統中的平方項x2，可設計出多翅膀的Liu系統:

(3)

其中，引進了伸縮因子p，以便能調節吸引子的觀察區域，當實際設備的運行區域有限時，也有利于電路實現。

3改進的Liu系統的動力學分析

為了證實新系統的混沌特性，首先研究平衡點的特性。

根據上述參數取值，計算出改進的Liu系統的10個第二類平衡點分別為Q±0(±0.223 6,±0.223 6,8),Q±1(±0.387 3,±0.387 3,8),Q±2(±0.519 6,±0.519 6,8),Q±3(±0.660 8,±0.660 8,8),Q±4(±0.790 1,±0.790 1,8)。

對系統(3)在平衡點處線性化，計算Jacobin矩陣為

圖1　Liu混沌吸引子

圖2　多分段二次函數f(u)

標記‘×’表示第一類平衡點；

當p=0.2時，每一個平衡點對應的特征值為

Q±0:γ±0=-17.561 4，σ±0±jω±0=2.530 7±j10.367 3

Q±1:γ±1=-22.874 3，σ±1±jω±1=5.187 1±j15.342 7

Q±2:γ±2=-26.706 3，σ±2±jω±2=7.103 2±j18.813 4

Q±3:γ±3=-30.481 0，σ±3±jω±3=8.990 5±j22.186 7

Q±4:γ±4=-33.718 9，σ±4±jω±4=10.609 4±j25.058 2

從上面的特征值可知，這些平衡點都是第二類鞍焦點,可生成10翅膀蝴蝶吸引子，每一個第二類鞍焦點與蝴蝶吸引子的翅膀相對應。

當N=4和上面給定的參數(A0,Ai，Ei)的取值，計算出系統最大的Lyapunov指數Lmax=2.034?？梢则炞C，多參數(A0,Ai，Ei)在很大的范圍內，系統都存在正的Lyapunov指數，因而改進的Liu系統是混沌的。

4數值仿真

應用科學與工程計算軟件Matlab，采用Runge-Kutta四階算法，取步長0.01，對改進的Liu系統進行仿真。通過調節多分段函數的參數，很容易確定吸引子翅膀的數目和定位。由改進的Liu系統生成的多翅膀蝴蝶吸引子如圖4。

圖4　系統生成的多翅膀蝴蝶吸引子

可以觀察到，混沌吸引子具有復雜的折疊和拉伸軌線，表明該系統處于混沌狀態。

5結語

本文提出了基于Liu混沌系統生成多翅膀蝴蝶吸引子的新方法。用多分段二次函數作代換,設計了改進的混沌系統，獲得多個第二類平衡點，從而生成多翅膀蝴蝶吸引子。該方法的優點是，通過調節非線性函數的參數容易確定吸引子翅膀的數目和定位。與環狀的多渦卷吸引子相比，改進的混沌系統生成多翅膀蝴蝶吸引子易于構造和電路實現，因而在保密通信、圖像加密等領域有著廣闊的應用前景。

感謝武漢大學陸君安教授對本論文在構思和仿真過程的指導和支持。

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(責任編輯耿金花)

Multi-wing Butterfly Attractor from a Modified Chaotic System

GAO Bingjian

(College of Science,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China)

Abstract：This paper initiates a novel approach to generate multi-wing butterfly attractor from the Liu chaotic system. The main idea is to increase the number of index-2 saddle-focus of chaotic system. By substitution of multi-segment quadratic function, the Liu′s chaotic system is designed to create many index-2 saddle-focus and generate multi-wing butterfly attractor. Theoretical analysis shows that every index-2 equilibrium point corresponds to unique wing in the butterfly attractor. The simulation demostrates the feasibility and effectiveness of the proposed method.

Key words：multi-wing butterfly attractor; Lorenz system family; Liu′s chaotic system; multi-segment quadratic function

文章編號：16723813(2016)01009104;

DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.01.009

收稿日期：2015-05-07

基金項目：國家自然科學基金(11172215，81271513 )

作者簡介：高秉建(1966-)，男，湖北宜昌人，副教授，博士，主要研究方向為非線性系統和網絡動力學。

中圖分類號：O 545

文獻標識碼：A