雙冪變換下參數的極大似然估計存在唯一性研究
——以線性回歸模型為例

丘　甜，華偉平，李新光，白　鵬

（1.武夷學院商學院，福建武夷山354300；2.武夷學院生態與工程學院，福建武夷山354300；3.云南財經大學統計與數學學院，云南昆明650221）

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雙冪變換下參數的極大似然估計存在唯一性研究
——以線性回歸模型為例

丘甜1，華偉平2，李新光1，白鵬3

（1.武夷學院商學院，福建武夷山354300；2.武夷學院生態與工程學院，福建武夷山354300；3.云南財經大學統計與數學學院，云南昆明650221）

摘要：在雙冪變換下，使用極大似然估計方法估計正態線性回歸模型中的變換參數，并研究其存在唯一性。根據極大似然函數性質可知，0是其無條件駐點。模擬研究表明，極大似然估計的取值滿足存在唯一性，但模型中抽樣的隨機性會影響其取值是否為無條件駐點0。

關鍵詞：雙冪變換；存在唯一性；正態線性回歸模型；極大似然估計；模擬研究

目前，現代科學技術仍在快速發展中，同時統計分析相關理論也在不斷發展與完善，統計推斷已成為極為重要的分析方法之一。在考察可觀測隨機因變量Y和解釋變量X之間的關系時，經常采用如下正態線性回歸模型［1-2］：

其中β∈Rp為回歸系數，ε為不可觀測隨機誤差向量。模型（1）實際上需要Y滿足Gauss-Markov條件［3］：Y～Nn（Xβ，σ2In）。若數據不滿足Gauss-Markov條件，則將對該數據進行某種“治療”。數據變換就是一種常用的處理有問題數據的辦法。

Box-Cox變換是至今為止研究的最為透徹的變換［4-5］。通過引入參數λ，可以使Y1（λ），Y2（λ），…，Yn（λ）來自一正態線性回歸模型，達到對原來數據的“綜合治理”。但注意到Box-Cox變換存在截斷問題，即當λ＜0時，Y（λ）在-1/λ處右截斷，而λ＞0時，Y（λ）在-1/λ處左截斷，只有在λ=0時，Y（λ）取值范圍是（-∞，+∞），從而認為Y經過Box-Cox變換得到的Y（λ）是一組正態樣本是不正確的（除了λ=0這種情況）。

為了克服Box-Cox變換中的截斷問題，ZhenLin Yang［6-7］引入了雙冪變換：

當假定其來自正態線性回歸模型的正值觀測數據Y=（Y1，…，Yn）T經雙冪變換變換為Y（λ）=（Y1（λ），…，Yn（λ））T，即滿足

其中Y是n×1維的觀測向量，X是n×p階的已知設計矩陣，β是p×1維的回歸系數向量，隨機誤差項ε是n×1維隨機誤差項，其需滿足E（εi）=0，Coν（εi，εj）= 0，i≠j，i，j=1，2，…，n且Var（ε）=σ2In，其中In是n維的單位矩陣，λ∈（-∞，+∞），β∈Rp，σ2＞0是未知參數。而在具體變換過程中，尋找合適的λ值很重要。顯然，Y（λ）=Y（-λ），對一切λ∈（-∞，+∞）成立，這意味著根據樣本Y=（Y1，…，Yn）T不能唯一確定模型（3）中的參數λ。為了消除這種不確定性，本文研究將λ限制在區間［0，+∞）內。本文的目的在于探討模型中參數λ極大似然估計的存在唯一性，為雙冪變換的應用提供理論依據。

1 參數的極大似然估計

由模型（3）可得未知參數λ，β，σ2基于Y=（Y1，…，Yn）T的對數似然函數為：

其中J（Y，λ）表示變量Y（λ）=（Y1（λ），…，Yn（λ））T和Y=（Y1，…，Yn）T之間的變換Jacob行列式，其表達式為：

當λ≥0已知時，由式（4）利用熟知的正態線性回歸模型極大似然估計的結果可得知（β，σ2）的極大似然估計分別為：

其中PX=X（XTX）-1XT為一正交投影陣［8］。將式（6）代入式（4）中可得：

由此可知：

2 存在唯一性模擬研究

function func_dpt2（n，p，Lambda，Lambda，beta，sigma2，a，b，N） %畫出極大似然函數（λ|Y）與一階導數的散點圖。其中，n、p分別為樣本量及回歸系數β的維數，Lambda表示參數λ的真實值，Lambda是設計矩陣X進行奇異值分解中的Λ，Beta為β的真實值，Sigma2 是σ2的真實值，a、b是模擬圖像中λ的取值范圍，N代表畫出點的個數。

圖1 函數（λ|Y），λ≥0及其一階導數，λ≥0

圖2 函數（λ|Y），λ≥0及其一階導數，λ≥0

3 結論

雙冪變換下正態線性回歸模型中未知參數的估計常用極大似然估計法，本文通過研究極大似然函數的圖像性質，得到了λ=0是對數似然函數（λ|Y），λ≥0的無條件駐點的結論，并通過大量模擬研究表明極大似然估計的取值滿足存在唯一性，但模型中抽樣的隨機性會影響其取值是否為無條件駐點0。由于造成此現象的機制較為復雜，不是本文工作能夠弄清的，只有留待以后細致的研究。

參考文獻：

［1］張金槐.線性模型參數估計及其改進［M］.湖南∶國防科技大學出版社，2000∶5-35.

［2］王桂松，史建紅.線性模型引論［M］.北京∶科學出版社，2004∶175-178.

［3］陳希孺，王桂松.近代回歸分析［M］.合肥∶安徽教育出版社，1987.

［4］Amemiya T，poweLL J L. A commparison of fhe Box- Cox M acimum LikeLihood estimator and the nonLinear two -stage Least squares estimato［J］. JournaL of Exonometrics. 1981（17）∶315- 281.

［5］Kwanho C，Johnson. Asymptotic theory for Box - Cox tr ansformations in Linear modeLs［J］. Statistics & ProbabiLity Letters，2001，51（4）∶337-343.

［6］Yang ZhenLin. A Modified FamiLy of Power Transformations ［J］. Economics Letters，2006，92（1）∶14-19.

［7］Yang Z L，Eden F. Inference for generaL parametric functions in Box-cox-type transformation modeLs［J］. The Canadian journaL of statistics，2008，36（2）∶301-319.

［8］王松桂.線性統計模型∶線性回歸與方差分析［M］.北京∶高等教育出版社，1999∶1-20.

［9］丘甜，白鵬，華偉平.雙冪變換下線性回歸模型中參數的極大似然和最小二乘估計的比較研究［J］.金融經濟，2013（24）∶92-93.

［10］BaLakrishnan N，Jie M. Existence and uniqueness of the MLEs for normaL distribution based on generaL progressiveLy Type -II censored sampLes［J］. Statistics & ProbabiLity Letters，2003，64（4）∶407-414.

（責任編輯：葉麗娜）

An Existence and Uniqueness Study on Maximum Likelihood Estimation for Parameters under Dual Power Transformation——Taking Linear Regression ModeL as an exampLe

QIU Tian1，HUA Weiping2，LI Xinguang1，BAI Peng3

（1. SchooL of Business，Wuyi University，Wuyishan，Fujian 354300；2. SchooL of EcoLogy Resource Engineering，Wuyi University，Wuyishan，Fujian 354300；3. SchooL of Statistics and Mathematics，Yunnan University of Finance and Economics，Kunming，Yunnan 650221）

Abstract:Under duaL power transformation，the maximum LikeLihood estimation is used to estimate the parameters in normaL Linear regression modeL and then study the existence of uniqueness for the parameters. According to the properties of maximum LikeLihood function，0 is the unconditionaL stationary point. The simuLation study shows that the existence of uniqueness of the vaLue of maximum LikeLihood estimate is satisfied. However，the randomLy sampLing in modeL may affect whether the vaLue is unconditionaL stationary point.

Key words:duaL power transformation；existence of uniqueness；normaL Linear regression modeL；maximum LikeLihood estimate；simu-Lation study

中圖分類號：O213.9

文獻標識碼：A

文章編號：1674-2109（2016）03-0055-04

收稿日期：2015-09-20

基金項目：福建省自然科學基金項目（B0010019）；福建省社科項目（FJ2015C241）；福建省中青年教師教育科研項目（JAS150608）；?？蒲谢痦椖浚╔D201402）。

作者簡介：丘甜（1988-），女，漢族，助教，主要從事空間計量模型的統計推斷研究。

通訊作者：白鵬（1968-），男，漢族，教授，主要從事時間序列數據分析研究。