廣義變分不等式解的精煉*

趙淵嫣，楊　輝，陳　莎

(貴州大學理學院 ，貴州　貴陽　550025)

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廣義變分不等式解的精煉*

趙淵嫣，楊輝，陳莎

(貴州大學理學院 ，貴州貴陽550025)

摘要：主要通過對集值映射Φ的定義域X和法錐映射進行擾動，對Φ的廣義變分不等式的解進行精煉，進一步提出穩定解和法錐穩定解的定義，并證明其存在性結果。

關鍵詞：廣義變分不等式；精煉；定義域；法錐映射

0引言

設X是n維歐氏空間Rn的一個子集，是X到Rn的映射。 如果存在x*∈X滿足：

(x*-x)T(x*)≥0，?x∈X

則稱x*為關于的變分不等式的解，其中：aTb表示向量a∈Rn和b∈Rn的內積。

眾所周知，變分不等式的問題在很多領域都有重要的應用，特別是在a∈Rn非合作博弈、經濟平衡理論、不動點理論、非線性最優化理論和交通網絡均衡[1-4]中。而在這些應用中，解往往都不是唯一的，所以需要對解進行精煉[5-6]。

廣義變分不等式問題如下：

設X是Rn的一個子集，Φ：X→P0(Rn)為集值映射。 這里，P0(Rn)表示Rn中所有非空子集。如果存在x*∈X，z∈Φ(x*)使得：

(x*-x)Tz≥0， ?x∈X

則稱x*為關于Φ的廣義變分不等式的解。

而關于Φ的廣義變分不等式的解的存在性，在文[8]中已有相關結果： 即X是Rn的非空緊凸子集，Φ：X→P0(Rn)為上半連續的集值映射，且?x∈X，Φ(x)是Rn中的緊凸集。

廣義變分不等式中，其解通常是不唯一的，所以需要對其進行精煉，以滿足應用的需求。

在var der Laan，Talman和Yang[9]的文章中，提出了變分不等式解的一種精煉方法，在此將之推廣到廣義變分不等式中。

本文主要是借助一列擾動，去掉那些不符合要求的解，且至少保留一個解，稱之為穩定解。 精煉的主要思想是通過對Φ的定義域X和法錐的擾動來剔除不穩定的解，以實現解的精煉。……