趣說數(shù)學(xué)說理與數(shù)學(xué)證明

張強(qiáng)勝

初一開始就已經(jīng)有對(duì)幾何圖形的簡(jiǎn)單說理，雖然教材要求降低，但學(xué)生也往往在這一塊知識(shí)上摔跟頭. 教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生有以下幾點(diǎn)常見錯(cuò)誤.

1. 不會(huì)說理 不知從哪里開始進(jìn)行邏輯推理，在求線段長(zhǎng)、求角度中最是常見.學(xué)生往往是從一個(gè)等號(hào)開始，直到結(jié)論出現(xiàn)，中間不說一點(diǎn)理由，讓他解釋也解釋不清.

2. 胡亂說理 進(jìn)行幾何論證時(shí)，天馬行空，想到哪里就說到哪里，往往是這個(gè)定理的條件得到另一個(gè)定理的結(jié)論，或是想當(dāng)然的用假命題得到正確的結(jié)論.

3. 因果倒置 證明中將判定定理和性質(zhì)定理混淆，在平行線中尤為突出.把判定定理當(dāng)性質(zhì)定理用，或是把性質(zhì)定理當(dāng)判定定理用，對(duì)定理的條件和結(jié)論不甚了解.這些都是學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何證明中比較常見的錯(cuò)誤.

減少以至避免出現(xiàn)這些失誤，可不是一朝一夕就能做到的，最好能在一接觸幾何學(xué)習(xí)時(shí)就給予重視.

下面列舉一些有代表性的、常見的錯(cuò)例進(jìn)行剖析，并指出正確的證法.

（1） 偷換概念 在命題的證明過程中，把不屬于某一概念外延的事物誤認(rèn)為屬于這一概 念，從而誤認(rèn)為該事物具有此概念的某些屬性，得出錯(cuò)誤的證明，這就犯了偷換概念的錯(cuò)誤.這種錯(cuò)誤在學(xué)生的證明中經(jīng)常出現(xiàn).

例如：爸爸捕了一條魚，讓兒子分成兩段，每段賣2.5塊，共收益5塊，兒子耍小聰明，偷偷分成三段，每段賣2塊，共收益6塊，上交爸爸5塊，后來老爸發(fā)現(xiàn)，讓兒子退還那1塊，兒子為了分得平均，每個(gè)人退兩毛，自己偷拿4毛，那顧客等于每個(gè)人付了1.8塊，總共花了5.4塊，那兒子偷拿了0.4塊，總共5.8塊，那其余的兩毛呢？

答案：這是一道著名的偷換命題的數(shù)學(xué)題！

他們每人最后花了2-0.2=1.8（元），也就是一共花了1.8×3=5.4（元）.

這5.4元包括了爸爸得到的5元+兒子偷拿的0.4元=5.4元.

再加上他們?nèi)嗣咳四没氐?.2元×3=0.6元，正好是6元.

兒子偷拿的0.4元是包含在那5.4元里的，是他們付出去的錢，而不是他們拿回去的錢！

（2） 偷換命題 偷換命題是指證明時(shí)證明者偷偷加入某些條件用特例代替一般情形來加以證明.這種錯(cuò)誤也叫作以特殊代一般.

例如：證明“三角形內(nèi)角和等于180°” 時(shí)，有的同學(xué)是這樣證明的：在△ABC中，因?yàn)椤螦=30°，∠B=60°，∠C=90°，

所以∠A+∠B+∠C=180°.

這個(gè)同學(xué)就是犯了用特殊三角形代替一般三角形的錯(cuò)誤，把“三角形”偷換成“直角三角形”了.

（3） 循環(huán)論證 循環(huán)論證也是學(xué)生在證明過程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，是指利用要證命題本身或它的等價(jià)命題作證明的根據(jù)，實(shí)質(zhì)上并沒有給出命題的證明.

例如：一個(gè)瘦子問胖子：“你為什么長(zhǎng)得胖？”

胖子回答：“因?yàn)槲页缘枚?”

瘦子又問胖子：“你為什么吃得多？”

胖子回答：“因?yàn)槲议L(zhǎng)得胖.”

胖子的回答真是令人啼笑皆非.他回答瘦子的第一個(gè)問題時(shí)，是以“吃得多”為理由的；而他回答瘦子的第二個(gè)問題時(shí)，又以“長(zhǎng)得胖”為理由.胖子的回答能夠解決瘦子的問題嗎？當(dāng)然不能.胖子的這種論證，就叫作“循環(huán)論證”，是說明不了任何問題的.

在教學(xué)的過程中，會(huì)常常看到同學(xué)有一些似是而非的證法，這個(gè)時(shí)候要認(rèn)真分析這些錯(cuò)誤的原因，及時(shí)給予糾正，才能在今后的學(xué)習(xí)中防止或減少這些錯(cuò)誤的出現(xiàn).

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國(guó)語學(xué)校）