基于四元數理論與流形學習的多通道機械故障信號分類方法

何 博, 呂 勇, 易燦燦，黨 章

(武漢科技大學機械自動化學院，湖北 武漢，430081)

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基于四元數理論與流形學習的多通道機械故障信號分類方法

何 博, 呂 勇, 易燦燦，黨 章

(武漢科技大學機械自動化學院，湖北 武漢，430081)

提出一種基于增廣四元數矩陣奇異值分解與流形學習正交鄰域保持嵌入算法的多通道機械故障信號分類方法，通過引入四元數來耦合4個通道信號，并且利用四元數乘方的性質對數據進行增廣處理，充分利用各通道信息并挖掘通道之間的相關性，從而減少因故障特征信息丟失對分類結果的影響。此外，針對傳統奇異譜分析提取特征參數的分類效果受噪聲影響較大的問題，引入正交鄰域保持嵌入算法對奇異值序列進行維數約簡，最后使用分類器完成故障分類。對仿真信號的分類結果表明，在強噪聲背景下，相較于單通道奇異譜分析方法和機械故障信號中常用的排列熵方法，本文提出的方法分類效果更好。將其應用于更為復雜的實測軸承故障信號的分類與識別中，同樣有著較好的效果。

故障診斷；信號處理；四元數；奇異值分解；流形學習；故障分類

機械設備故障信號常常呈現出強非線性、非平穩性，并且包含著與設備運行狀態相聯系的動力學特性[1]，這使得許多傳統信號處理方法難以達到精確的故障診斷效果。奇異譜分析(singular spectrum analysis, SSA)是近年來興起的一種非線性信號處理方法，在機械故障診斷中被廣泛應用[2-3]。然而，與目前絕大部分機械故障診斷方法一樣，SSA算法只針對單通道故障信號數據，這必然會造成有效故障特征信息的遺漏，增大故障診斷結果的不確定性[4-6]。同時采集并分析多個通道的信號數據可以獲得更多包含故障特征的有用信息，從而提高故障診斷結果的準確性和置信度。Enshaeifar等[7]用四元數理論耦合四通道信號，并采用增廣四元數奇異值分解(augmented quaternion singular value decomposition, AQSVD)算法將信號分解為多個子空間信號，最后通過奇異譜分析選擇部分子空間進行重構。該方法被成功地用于生物醫學信號處理，能準確實現信號的降噪及盲源分離。

流形學習近年來一直是模式識別領域的研究熱點，常常被用于高維數據的維數約簡，可挖掘出高維數據的低維結構[8]。目前主要非線性流形學習算法包括局部線性嵌入算法、拉普拉斯特征映射算法、近鄰域保持嵌入算法等[9]。這些方法能夠較好地找到高維數據集所在流形的幾何特性以及非線性結構，并且挖掘原始數據的低維分布。正交鄰域保持嵌入(orthogonal neighborhood preserving embedding, ONPE)是一種根據鄰域保持嵌入改進的算法[10]，該算法使得到的投影向量具有正交性，保留了數據的非線性特征，避免了局部子空間的結構失真，對非線性高維數據具有較好的維數約簡以及分類效果。

為此，本文提出一種基于AQSVD和ONPE的多通道機械故障信號分類方法，并與傳統的排列熵算法及單通道奇異譜分析法相比較，以驗證其對強噪聲背景下故障信號提取及分類的有效性。

1 基于增廣四元數矩陣奇異值分解的故障信號特征提取

1.1 四元數的基本概念與性質

四元數最早是由愛爾蘭數學家哈密頓提出的概念[11]，它的數學意義是一種超復數，一個四元數包括一個實部分量和3個虛部分量，其形式為[7]：

x=xa+ixb+jxc+kxd

(1)

其中，i、j、k表示虛部正交單位向量，具有如下性質：

ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j

(2)

i2=j2=k2=ijk=-1

(3)

四元數域的另一個重要概念即為“自逆映射”，即四元數乘方，其計算公式如下[7]：

xi=-ixi=xa+ixb-jxc-kxd

xj=-jxj=xa-ixb+jxc-kxd

xk=-kxk=xa-ixb-jxc+kxd

(4)

1.2 基于增廣四元數矩陣奇異值分解的特征信號提取方法

對于一個四通道數據，可通過四元數的概念將其耦合。本文將每個通道信號數據都視為四元數的其中一個分量，將4個通道數據耦合表示整體故障信息，即用一個超復數單通道信號來表示原始四通道信號，這樣就可用單通道計算方法來處理四通道信號，有效地利用了多通道信息。將4×N的輸入信號變為1×N的四元數序列，令該四元數序列為x=[x1,x2,…,xN]，通過相空間重構，構建一個Hankel矩陣W：

(5)

式中：N為信號源長度；L為窗口長度，1

不同于傳統奇異值分解算法，為了充分挖掘四通道之間的相關性，AQSVD算法中將對軌道矩陣W進行增廣處理。根據四元數的“自逆映射”(式(4))，可由W計算出3個乘方數軌道矩陣Wi、Wj和Wk。利用3個軌道矩陣對W進行增廣處理，得到增廣四元數矩陣Wa=[WT,WiT,WjT,WkT]T，Wa∈H4L×K,其中H為四元數域。然后計算增廣矩陣的協方差矩陣Ca∈Η4L×4L，計算公式如下：

Ca=E{WaWaH}=

(6)

式中：CWW為標準協方差矩陣，矩陣CWi、CWj和CWk是互補矩陣。

對協方差矩陣進行奇異值分解，由其特征向量和左右奇異值矩陣來表示，公式如下：

Ca=UΛ1/2VT

(7)

(8)

λj按逐個減小的方式排列為(λ1>λ2>…>λL)，序列中的奇異值即為代表機械故障特征的參數。至此，特征提取已經完成，奇異譜分解中的重構部分將不被用到。

2 正交鄰域保持嵌入算法

2.1 正交化處理

設提取的原信號特征參數有n個，樣本維數為D，則原始特征集為X={x1,…,xn}∈D×n。流形學習進行維數約簡首先要計算出轉換矩陣。機械故障診斷中常常需要較多的特征參數，即特征維度大于樣本數，這樣得到的矩陣XXT為奇異矩陣，計算出來的轉換矩陣為非正交，不能保證數據集的幾何結構，因此需要對原特征集進行正交化處理。

將原始特征集X={x1,…,xn}∈D×n投影到PCA子空間，舍棄特征值為0的成分，得到正交處理后的數據X={x1,…,xn}∈d×n，式中d為降維后的維度，則矩陣XXT即為非奇異矩陣。將高維數據轉換到低維數據的轉換矩陣記為Apca。

2.2 鄰域權值矩陣構造

利用K近鄰算法尋找數據集X中任意一點xi的k個近鄰點xj(j=1,…,k)，計算其重構權值矩陣Wij(即節點xj對節點xi的重構貢獻度，兩節點距離越近則Wij越大)，然后通過最小化重構誤差函數構造權值矩陣：

(9)

(10)

其中，xu、xv同樣為xi的近鄰點。權值矩陣Wij代表了原始數據集鄰域的結構關系。

2.3 計算正交鄰域保持嵌入

正交領域保持嵌入的映射矩陣記為AONPE=(a1,a2,…,ad)。存在一種極限情況，即經過PCA投影的數據集X映射到一維直線上，映射結果為y=(y1,y2,…,yn)∈1×n，y=aTX。由于數據從高維嵌入低維后其幾何分布不變，所以直線上每一數據都可視為其鄰域點的線性重構。為了使重構誤差最小，設計其最小懲罰函數為

(11)

定義過渡矩陣z和I：z=yT-WyT=(I-W)yT，那么有：

aTX(I-W)T(I-W)XTa

(12)

由于aTXXTa=1，令aTX(I-W)T(I-W)XTa=λ=λaTXXTa，可得：

(XXT)-1X(I-W)T(I-W)XTa=λa

(13)

其中λ為矩陣(XXT)-1X(I-W)T(I-W)XT的最小特征值，代表最小重構誤差，其對應的特征向量為a1。因此，ONPE的局部保持函數即為

(14)

ONPE的目標函數為

(15)

(16)

·

(XXT)-1X(I-W)T(I-W)XTak=λak

(17)

其中A(k-1)=[a1,a2,…,ak-1]，S(k-1)=(A(k-1))T(XXT)-1A(k-1)(k=2,3,…,d)。

由式(17)迭代可求出映射矩陣AONPE,則低維特征集Y為

Y=(ApcaAONPE)TX

(18)

至此，實現了由高維數據集到低維數據集的正交鄰域保持投影。

3 模擬故障信號分析

3.1 模擬故障信號的設置

軸承故障信號常常表現為調制信號與噪聲信號的線性疊加，因此，本文將使用4種調制信號線性疊加并添加3 dB強背景噪聲來模擬多通道信號數據。調制信號的表達式如下：

ch1=0.2cos(2πf1t+5)+noise

ch2=0.25cos(2πf2t-15)+noise

ch3=0.25cos(2πf3t)+noise

ch4=0.25sin(2πf4t+15)+noise

(19)

式中：chi(i=1，2，3，4)表示通道編號；fi(i=1,2,3,4)為模擬故障信號的頻率；t為時間參數；noise為3 dB的噪聲。

采樣頻率為1024 Hz，每個信號采樣長度均為20 000，則四通道仿真信號S為

(20)

為了驗證分類效果，設置3組模擬故障信號，其頻率如表1所示。

表1 3組模擬故障信號的頻率(單位：Hz)

由于多通道故障信號的各個通道之間存在一定關聯性，對于每組模擬故障信號，生成一個隨機矩陣C，使用隨機矩陣將原始多通道信號混合，則模擬四通道信號為

Xi=C×Si(i=1,2,3)

(21)

每組仿真故障信號的頻譜圖如1所示。由圖1中可見，在強噪聲背景下，各組模擬信號中設置的故障頻率均無法在頻譜圖上被找出。

將每類故障平均分為20組，則每類故障都生成了20個長度為1000的四通道信號樣本。為了驗證本文提出的基于AQSVD與ONPE方法的可靠性，將對其與排列熵算法及單通道奇異值分解算法的分類效果進行對比。

3.2 基于排列熵算法的仿真信號分類

排列熵算法是一種非線性數據處理方法，熵的大小可描述一維數據復雜度，并且可以檢測到系統的動態變化特征[12-13]。因此，排列熵算法近幾年被廣泛應用于機械故障診斷中。

對于任意四通道信號樣本，計算每一通道信號的排列熵，令算法中嵌入維度為5，延時時間為1，結果如圖2所示。由圖2可見，無論在哪一通道，3組故障之間都沒有明顯界限，不同故障之間區分度不明顯，可見使用排列熵算法對仿真信號分類的效果較差，同時充分表明了排列熵算法在強噪聲背景下效果的局限性。

圖1 仿真信號頻譜圖

(a)通道1(b)通道2

(c)通道3(d)通道4

圖2 樣本排列熵值

Fig.2 Permutation entropy of samples

3.3 基于單通道奇異值分解算法的仿真信號分類

傳統單通道奇異值分解算法中，常使用峭度作為分類的特征參數[14]。對于任意四通道信號樣本，分別對其每一通道信號進行奇異值分解，得到奇異值序列，選取奇異值序列中貢獻度之和大于95%的前n個奇異值組成新的奇異值序列，計算該序列的峭度。

采用單通道奇異值分解算法對本文仿真信號進行分析，計算結果如圖3所示。由圖3可見，通道1和通道2中第三組仿真信號可以被準確區分開，而第一組與第二組數據混雜在一起，沒有明顯界限；通道3中也僅有第二組仿真信號可以被區分開；通道4是4個通道中效果最好的一個通道，其中第一組與其他兩組有著明顯界限，但第二、三組之間仍有少量樣本混疊。可見單通道算法明顯存在偶然性，其分類效果也并不理想。

(a)通道1

(b)通道2

(c)通道3

(d)通道4

圖3 樣本奇異值序列峭度

Fig.3 Kurtosis of sample singular value sequence

3.4 基于AQSVD與ONPE算法的仿真信號分類

對于任意四通道信號樣本，利用本文提出的基于AQSVD與ONPE的算法，將原始數據進行四元數耦合處理，生成一個四元數序列；繼而對序列進行相空間重構，形成Hankel矩陣，并依據四元數乘方的性質對矩陣進行增廣處理；然后計算協方差矩陣，對協方差矩陣進行奇異值分解，得到奇異值序列。選取奇異值序列中貢獻度之和大于95%的前n個奇異值組成新的奇異值序列，對新的奇異值序列使用ONPE算法進行維數約簡，之后即可使用分類器進行故障分類。

圖4所示為使用ONPE算法將經AQSVD步驟計算得出的奇異值序列降至二維后的樣本分布。由圖4中可看出，同組故障都有明顯類聚的特點，不同故障之間界限清晰，分類效果優于前兩種方法。并且由于使用了基于四元數理論的AQSVD算法，避免了單通道信號遺漏故障信息且具有偶然性的缺點。

圖4 模擬信號的二維分布圖

Fig.4 2D distribution of the analog signals

4 實測故障信號分析

仿真信號的模擬環境比較理想，而機械設備的工作環境通常較為復雜，并包含了更多不確定因素。因此，為驗證本文所提出方法在實際機械故障信號分類中的有效性，采用美國辛辛那提大學智能維護系統中心提供的標準軸承故障測試數據[15]作進一步分析。所選3組故障信號的描述如表2所示。

由于第二組與第三組同為四通道信號，而第一組為八通道信號，故第一組取四個豎直方向的振動信號組成四通道數據。每組故障隨機取20組樣本，采樣點數為6000。

使用本文提出的基于AQSVD與ONPE的方法處理軸承故障數據，并將奇異值序列維度降至二維，樣本的空間分布情況如圖5所示。由圖5可知，經過基于AQSVD及ONPE算法后，3組軸承故障樣本在二維空間中的投影具有明顯的類聚特點，不同種類的故障樣本之間有著明顯界限。該方法無需對不同通道的信號進行篩選，有效簡化了分類步驟，并且降低了識別偶然性。由于對奇異值序列組成的特征集進行了維數約簡，在使用分類器進行分類時計算量將被大幅度削減。

表2 3組軸承故障信號的描述

圖5 實測信號的二維分布

Fig.5 2D distribution of the measured signals

5 結語

本文在傳統奇異值分解故障診斷方法的基礎上，提出了基于增廣四元數矩陣奇異值分解及正交鄰域保持嵌入的分類方法。針對單通道數據處理方法會造成有效信息遺漏這一缺點以及傳統奇異值分解算法在機械故障診斷應用中的缺陷，提出了基于增廣四元數矩陣奇異值分解的算法，耦合四通道數據并充分挖掘各通道之間相關性，減少了有效信息的遺漏。針對傳統奇異譜分析提取的特征參數分類效果差的缺點，引入了正交鄰域保持嵌入算法對高維數據進行維數約簡并完成分類。對仿真信號以及軸承實測故障信號的分類結果表明，基于增廣四元數矩陣奇異值分解及正交鄰域保持嵌入的分類方法在機械故障診斷應用中具有較好的效果，識別準確度要明顯高于傳統方法。

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[責任編輯 鄭淑芳]

A novel method for multi-channel mechanical fault signal classification based on quaternion and manifold learning

HeBo,LvYong,YiCancan,DangZhang

(College of Machinery and Automation, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

A novel method for multi-channel mechanical fault signal classification based on augmented quaternion matrix singular value decomposition and orthogonal neighborhood preserving embedding algorithm of manifold learning is proposed. Quaternion is used to couple four channel signals, and the nature of the quaternion power is employed for augmented processing of the data. The correlation between channels is made use of, and the information from each channel is employed to offset the negative influence of loss of characteristic information of faults on classification. Considering that the traditional classification method that uses singular spectrum analysis to extract characteristic parameters is seriously affected by noise, the orthogonal neighborhood preserving embedding algorithm is used to reduce the dimension of singular value sequence. Finally, the classifier is used to classify faults. The results show that, with the background of strong noise, the proposed method is superior to the traditional single-channel singular spectrum analysis method and the method of permutation entropy in fault classification. Applied to the complex identification and classification of real bearing fault signals, the proposed method shows good performance.

fault diagnosis; signal processing; quaternion; singular value decomposition; manifold learning; fault classification

2016-09-20

國家自然科學基金資助項目(51475339)；武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室開放基金資助項目(2015B11).

何 博(1990-)，男，武漢科技大學碩士生.E-mail:sainthebo@163.com

呂 勇(1976-)，男，武漢科技大學教授，博士生導師.E-mail:lvyong@wust.edu.cn

TH133.3；TH165.3

A

1674-3644(2016)06-0455-07